.jpg)
正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{l n} ( x^{2}+1 )， \ g ( x )=\left( \frac{1} {2} \right)^{x}-m.$$若对任意的$${{x}_{1}{∈}{[}{0}{，}{3}{]}{，}}$$存在$${{x}_{2}{∈}{[}{1}{，}{2}{]}{，}}$$使得$${{f}{(}{{x}_{1}}{)}{⩾}{g}{(}{{x}_{2}}{)}}$$成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
A
A.$${\left[ \frac{1} {4}， ~+\infty\right)}$$
B.$$(-\infty， ~ \frac{1} {4} \biggr]$$
C.$$[ \frac{1} {2}， ~+\infty)$$
D.$$(-\infty， ~ \frac{1} {2} \biggr]$$
2、['对数型复合函数的应用']正确率60.0%若函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} \operatorname{l o g}_{9} x-\frac{3} {4}， \ x > 1，} \\ {} & {{} \frac{1} {x^{2}+2 x+3}， \ x \leqslant1.} \\ \end{aligned} \right.$$则$$f [ f ( 3^{\frac{5} {2}} ) ]=$$（）
C
A.$$\frac{5} {1 7}$$
B.$$\frac{1 7} {5}$$
C.$$\frac{4} {1 7}$$
D.$$\frac{1 7} {4}$$
3、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '对数型复合函数的应用']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{|}{{l}{o}{g}_{2}}{(}{x}{+}{1}{)}{|}{，}}$$若$${{f}{(}{m}{)}{=}{f}{(}{n}{)}{，}{m}{≠}{n}{，}}$$则$$\frac{1} {m}+\frac{1} {n}$$等于（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{2}}$$
4、['对数型复合函数的应用'， '复合函数的单调性判定'， '对数（型）函数的定义域']正确率60.0%函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{2} \frac{1-x} {x-4}$$在定义域上（）
B
A.为减函数
B.为增函数
C.先增后减
D.先减后增
5、['对数型复合函数的应用'， '函数图象的对称变换'， '对数（型）函数的单调性']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{|}{{l}{n}}{|}{1}{+}{x}{|}{|}{，}}$$若存在互不相等的实数$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}{{x}_{3}}{，}{{x}_{4}}{，}}$$满足$${{f}{(}{{x}_{1}}{)}{=}{f}{(}{{x}_{2}}{)}{=}{f}{(}{{x}_{3}}{)}{=}{f}{(}{{x}_{4}}{)}{，}}$$则$$f \left( \sum_{i=1}^{4} \frac{x_{i}} {2} \right)=$$（）
A
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
6、['在R上恒成立问题'， '对数型复合函数的应用'， '对数（型）函数的定义域']正确率40.0%若函数$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{(}{k}{{x}^{2}}{+}{4}{k}{x}{+}{5}{)}}$$的定义域为$${{R}}$$，则$${{k}}$$的取值范围是（）
B
A.$$\left( 0， \frac{5} {4} \right)$$
B.$$\left[ 0， \frac{5} {4} \right)$$
C.$$[ 0， \frac{5} {4} \Biggr]$$
D.$${{(}{−}{∞}}$$，$$0 ) \cup\left( \frac{5} {4}，+\infty\right)$$
7、['对数型复合函数的应用'， '指数型复合函数的应用'， '函数单调性的判断']正确率60.0%下列函数在$${（{0}{，}{2}{）}}$$上是增函数的是（）
D
A.$${{y}{=}{\sqrt {{2}{−}{x}}}}$$
B.$$y=\frac{1} {x-2}$$
C.$$y=( \frac{1} {2} )^{x-2}$$
D.$$y=\operatorname{l o g}_{\frac{1} {2}} ( 2-x )$$
8、['对数型复合函数的应用'， '函数图象的平移变换'， '对数（型）函数的单调性'， '函数单调性的判断']正确率60.0%下列区间中，函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{|}{{l}{n}}{(}{2}{−}{x}{)}{|}}$$在其上为增函数的是（）
D
A.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{]}}$$
B.$$[-1， \frac{4} {3} ]$$
C.$$[ 0， \frac{2} {3} ]$$
D.$${{[}{1}{，}{2}{)}}$$
10、['对数型复合函数的应用'， '对数（型）函数的定义域'， '指数方程与指数不等式的解法']正确率60.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{l}{n}}{(}{{2}^{x}}{−}{4}{)}}$$的定义域是（）
D
A.$${{(}{0}}$$，$${{2}{)}}$$
B.$${{(}{0}{，}{2}{]}}$$
C.$${{[}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{(}{2}}$$，$${{+}{∞}{)}}$$
1. 首先求函数 $$f(x)$$ 在区间 $$[0,3]$$ 的最小值和函数 $$g(x)$$ 在区间 $$[1,2]$$ 的最小值。
对于 $$f(x) = \ln(x^2 + 1)$$，其导数 $$f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \geq 0$$ 在 $$[0,3]$$ 上单调递增，因此最小值在 $$x = 0$$ 处取得：$$f(0) = \ln(1) = 0$$。
对于 $$g(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x - m$$，由于 $$\left( \frac{1}{2} \right)^x$$ 单调递减，其在 $$[1,2]$$ 上的最小值在 $$x = 2$$ 处取得：$$g(2) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 - m = \frac{1}{4} - m$$。
根据题意，对任意 $$x_1 \in [0,3]$$，存在 $$x_2 \in [1,2]$$ 使得 $$f(x_1) \geq g(x_2)$$，即 $$f(x_1)$$ 的最小值必须大于等于 $$g(x_2)$$ 的最小值：$$0 \geq \frac{1}{4} - m$$，解得 $$m \geq \frac{1}{4}$$。
因此，实数 $$m$$ 的取值范围是 $$\left[ \frac{1}{4}, +\infty \right)$$，选项 A 正确。
2. 首先计算 $$f(3^{\frac{5}{2}})$$。
由于 $$3^{\frac{5}{2}} = 3^2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 9\sqrt{3} > 1$$，使用第一段定义：$$f(3^{\frac{5}{2}}) = \log_9 (9\sqrt{3}) - \frac{3}{4} = \log_9 9 + \log_9 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4} = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = 1 + \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$$。
接下来计算 $$f\left( \frac{1}{2} \right)$$，因为 $$\frac{1}{2} \leq 1$$，使用第二段定义：$$f\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 3} = \frac{1}{\frac{1}{4} + 1 + 3} = \frac{1}{\frac{17}{4}} = \frac{4}{17}$$。
因此，$$f[f(3^{\frac{5}{2}})] = \frac{4}{17}$$，选项 C 正确。
3. 函数 $$f(x) = |\log_2 (x + 1)|$$ 的图像关于 $$x = 0$$ 对称。若 $$f(m) = f(n)$$ 且 $$m \neq n$$，则 $$m$$ 和 $$n$$ 关于 $$x = 0$$ 对称，即 $$m + n = -2$$。
因此，$$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m + n}{mn} = \frac{-2}{mn}$$。又因为 $$m$$ 和 $$n$$ 满足 $$\log_2 (m + 1) = -\log_2 (n + 1)$$，即 $$(m + 1)(n + 1) = 1$$，展开得 $$mn + m + n + 1 = 1$$，代入 $$m + n = -2$$ 得 $$mn - 2 + 1 = 1$$，即 $$mn = 2$$。
所以 $$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{-2}{2} = -1$$，选项 B 正确。
4. 函数 $$f(x) = \log_2 \frac{1 - x}{x - 4}$$ 的定义域为 $$\frac{1 - x}{x - 4} > 0$$，解得 $$x \in (1, 4)$$。
设 $$u(x) = \frac{1 - x}{x - 4}$$，化简得 $$u(x) = -\frac{x - 1}{x - 4}$$。求导得 $$u'(x) = -\frac{(1)(x - 4) - (x - 1)(1)}{(x - 4)^2} = -\frac{-3}{(x - 4)^2} = \frac{3}{(x - 4)^2} > 0$$，因此 $$u(x)$$ 在定义域内单调递增。
由于对数函数 $$\log_2 u$$ 在 $$u > 0$$ 时单调递增，复合函数 $$f(x)$$ 在定义域内单调递增，选项 B 正确。
5. 函数 $$f(x) = |\ln |1 + x||$$ 的图像关于 $$x = -1$$ 对称。若存在四个不同的实数 $$x_1, x_2, x_3, x_4$$ 满足 $$f(x_1) = f(x_2) = f(x_3) = f(x_4)$$，则它们必须两两关于 $$x = -1$$ 对称，即 $$x_1 + x_4 = x_2 + x_3 = -2$$。
因此，$$\sum_{i=1}^4 x_i = -4$$，$$\sum_{i=1}^4 \frac{x_i}{2} = -2$$。代入函数得 $$f(-2) = |\ln |-1|| = |\ln 1| = 0$$。
所以 $$f\left( \sum_{i=1}^4 \frac{x_i}{2} \right) = 0$$，选项 A 正确。
6. 函数 $$y = \log_2 (kx^2 + 4kx + 5)$$ 的定义域为 $$kx^2 + 4kx + 5 > 0$$ 对所有 $$x \in \mathbb{R}$$ 成立。
若 $$k = 0$$，不等式化为 $$5 > 0$$，恒成立。
若 $$k \neq 0$$，需满足 $$k > 0$$ 且判别式 $$\Delta = (4k)^2 - 4 \cdot k \cdot 5 < 0$$，即 $$16k^2 - 20k < 0$$，解得 $$0 < k < \frac{5}{4}$$。
综上，$$k$$ 的取值范围是 $$\left[ 0, \frac{5}{4} \right)$$，选项 B 正确。
7. 逐一分析选项：
A. $$y = \sqrt{2 - x}$$ 在 $$(0, 2)$$ 上单调递减。
B. $$y = \frac{1}{x - 2}$$ 在 $$(0, 2)$$ 上单调递增（因为分母 $$x - 2$$ 为负且绝对值减小）。
C. $$y = \left( \frac{1}{2} \right)^{x - 2}$$ 在 $$(0, 2)$$ 上单调递减。
D. $$y = \log_{\frac{1}{2}} (2 - x)$$ 在 $$(0, 2)$$ 上单调递增（因为内函数 $$2 - x$$ 递减，外函数对数底数小于 1）。
因此，选项 B 和 D 在 $$(0, 2)$$ 上是增函数，但题目要求单选，可能选项 D 更符合题意。
8. 函数 $$f(x) = |\ln (2 - x)|$$ 在定义域 $$x < 2$$ 上需分析其单调性。
当 $$2 - x \geq 1$$（即 $$x \leq 1$$），$$\ln (2 - x) \geq 0$$，$$f(x) = \ln (2 - x)$$ 单调递减。
当 $$0 < 2 - x < 1$$（即 $$1 < x < 2$$），$$\ln (2 - x) < 0$$，$$f(x) = -\ln (2 - x)$$ 单调递增。
因此，函数在 $$[1, 2)$$ 上为增函数，选项 D 正确。
10. 函数 $$f(x) = \ln (2^x - 4)$$ 的定义域为 $$2^x - 4 > 0$$，即 $$2^x > 4$$，解得 $$x > 2$$。
因此，定义域是 $$(2, +\infty)$$，选项 D 正确。