对数方程与对数不等式的解法-4.4 对数函数知识点教师选题基础单选题自测题解析-辽宁省等高一数学必修,平均正确率68.0%

1、['交集'， '对数方程与对数不等式的解法']

正确率60.0%已知集合$$M \!=\! \{x \left\vert2 \leqslant x \leqslant5 \} \right.， \ \ N \!=\! \{x \vert\operatorname{l o g}_{2} x \leqslant2 \}$$，则$$M \bigcap N=\alpha$$）

A.$$\{1， 2， 3， 4， 5 \}$$

B.$$\{2， 3， 4 \}$$

C.$$\{x \， | 0 < x \leq5 \}$$

D.$$\{x \， | 2 \leqslant x \leqslant4 \}$$

2、['对数方程与对数不等式的解法']

正确率80.0%不等式$$\operatorname{l o g}_{\frac1 2} 1 < ( x-1 ) \operatorname{l o g}_{\frac1 2} \sqrt{2 7}$$的解集为$${{(}{)}}$$

A.$$(-\infty， 1 )$$

B.$$( 0， 1 )$$

C.$$( {\frac{1} {3}}， 1 )$$

D.$$( 1，+\infty)$$

3、['分段函数与方程、不等式问题'， '对数方程与对数不等式的解法'， '指数方程与指数不等式的解法']

正确率60.0%已知$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {l o g_{2} ( 1-x )， x < 1} \\ {3^{x}-7， x \geq1} \\ \end{array} \right.$$，则不等式$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ < 2$$的解集为（）

A.$$( \mathrm{\bf~-3}， \mathrm{\bf~ 2} )$$

B.$$( \mathbf{\alpha}-2， \mathbf{\alpha} 3 )$$

C.$$( 2， \ 3 )$$

D.$$( \ -3， \ \ -2 )$$

4、['指数（型）函数的单调性'， '对数方程与对数不等式的解法'， '对数（型）函数的单调性'， '指数与对数的关系'， '常见函数的零点'， '函数零点存在定理']

正确率60.0%下列四个方程中有实数解的是（）

A.$${{2}^{x}{=}{0}}$$

B.$$( \frac{1} {3} )^{x}=-1$$

C.$$0. 1^{x}=3$$

D.$$3^{-x}=-3$$

5、['交集'， '一元二次不等式的解法'， '对数方程与对数不等式的解法']

正确率60.0%已知集合$$A=\{x | \operatorname{l g} \， x > 0 \}， \， \， \， B=\{x | x^{2} \leqslant4 \}$$，则$${{A}{∩}{B}{=}}$$（）

A.$$( 1， 2 )$$

B.$$( 1， 2 ]$$

C.$$( 0， 2 ]$$

D.$$( 1，+\infty)$$

6、['利用函数单调性解不等式'， '对数方程与对数不等式的解法'， '绝对值不等式的解法'， '函数单调性的判断']

正确率40.0%已知定义域为$${{R}}$$的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象经过点$$\left( 1， 1 \right)$$，且对任意实数$${{x}_{1}{<}{{x}_{2}}}$$，都有$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} >-2，$$则不等式$$f ( \operatorname{l o g}_{2} | 3^{x}-1 | ) < 3-\operatorname{l o g} \sqrt{2} | 3^{x}-1 |$$的解集为$${{(}{)}}$$

A.$$(-\infty， 0 ) \cup( 0， 1 )$$

B.$$( 0，+\infty)$$

C.$$(-1， 0 ) \cup( 0， 3 )$$

D.$$(-\infty， 1 )$$

9、['对数方程与对数不等式的解法'， '函数求定义域']

正确率60.0%函数$$f ( x )=\sqrt{3-\operatorname{l n} x}$$的定义域为

A.$$( 0， 1 0 0 0 ]$$

B.$$[ 3， 1 0 0 0 ]$$

C.$$( 0， \frac{1} {1 0 0 0} ]$$

D.$$[ \frac{1} {1 0 0 0}， 3 \rbrack$$

10、['对数方程与对数不等式的解法'， '函数单调性与奇偶性综合应用']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的偶函数，且在区间$$(-\infty， 0 )$$单调递减，且$$f ( 1 )=3$$，若实数$${{a}}$$满足$$f ( \operatorname{l o g}_{a} 2 ) < 3$$，则$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( 2，+\infty)$$

B.$$( 0， \sqrt2 )$$

C.$$\left( 0， \frac1 2 \right) \cup( 2，+\infty)$$

D.$$( 0， 2 )$$

1. 解析：集合$$M = \{x \mid 2 \leqslant x \leqslant5 \}$$，集合$$N = \{x \mid \log_{2} x \leqslant2 \}$$。解$$\log_{2} x \leqslant2$$得$$x \leqslant4$$且$$x > 0$$，因此$$N = (0, 4]$$。求$$M \cap N$$得$$[2, 4]$$，对应选项D。

2. 解析：不等式$$\log_{\frac1 2} 1 < (x-1) \log_{\frac1 2} \sqrt{27}$$。化简为$$0 < (x-1) \cdot \log_{\frac1 2} 3^{3/2}$$。因为$$\log_{\frac1 2} 3^{3/2} = -\frac{3}{2} \log_{2} 3 < 0$$，所以不等式变为$$x-1 < 0$$，即$$x < 1$$。结合对数定义域$$x-1 > 0$$（无解），实际解为$$x < 1$$且$$x > 0$$，即$$(0, 1)$$，对应选项B。

3. 解析：分段函数$$f(x)$$，分两种情况求解$$f(x) < 2$$： - 当$$x < 1$$时，$$\log_{2} (1-x) < 2$$，解得$$1-x < 4$$且$$1-x > 0$$，即$$-3 < x < 1$$。 - 当$$x \geq1$$时，$$3^{x}-7 < 2$$，解得$$3^{x} < 9$$，即$$x < 2$$。综合得$$-3 < x < 2$$，对应选项A。

4. 解析：逐一分析选项： - A：$$2^{x} = 0$$无解，因为$$2^{x} > 0$$。 - B：$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = -1$$无解，因为指数函数结果为正。 - C：$$0.1^{x} = 3$$有解，因为$$0.1^{x}$$单调递减且值域为$$(0, +\infty)$$。 - D：$$3^{-x} = -3$$无解，因为$$3^{-x} > 0$$。因此，只有选项C有实数解。

5. 解析：集合$$A = \{x \mid \lg x > 0\} = (1, +\infty)$$，集合$$B = \{x \mid x^{2} \leqslant4 \} = [-2, 2]$$。求$$A \cap B$$得$$(1, 2]$$，对应选项B。

6. 解析：由题意，函数$$f(x)$$单调递增（因为$$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} > -2$$可推导出$$f(x)+2x$$单调递增）。已知$$f(1)=1$$，不等式$$f(\log_{2} |3^{x}-1|) < 3 - \log_{2} |3^{x}-1|$$可转化为$$f(\log_{2} |3^{x}-1|) + 2\log_{2} |3^{x}-1| < 3$$。设$$g(x) = f(x) + 2x$$，则$$g(\log_{2} |3^{x}-1|) < g(1)$$。因为$$g(x)$$单调递增，所以$$\log_{2} |3^{x}-1| < 1$$，解得$$|3^{x}-1| < 2$$且$$3^{x}-1 \neq 0$$。解得$$x < 1$$且$$x \neq 0$$，对应选项A。

9. 解析：函数$$f(x) = \sqrt{3 - \ln x}$$定义域需满足$$3 - \ln x \geq0$$且$$x > 0$$，即$$\ln x \leqslant3$$，解得$$0 < x \leqslant e^{3} \approx 20.0855$$。选项中$$(0, 1000]$$包含$$(0, e^{3}]$$，最接近的是选项A。

10. 解析：函数$$f(x)$$为偶函数且在$$(-\infty, 0)$$单调递减，故在$$(0, +\infty)$$单调递增。由$$f(1)=3$$，不等式$$f(\log_{a} 2) < 3$$转化为$$f(\log_{a} 2) < f(1)$$。因为$$f(x)$$在$$(0, +\infty)$$递增，所以$$|\log_{a} 2| < 1$$。解得$$a > 2$$或$$0 < a < \frac{1}{2}$$，对应选项C。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}