对数函数y=\log_{2}{x}的图象和性质-对数函数知识点课后进阶选择题自测题答案-河北省等高一数学必修,平均正确率54.0%

$对数函数y=\log_{2}{x}的图象和性质-对数函数知识点课后进阶选择题自测题答案-河北省等高一数学必修,平均正确率54.0%$

1、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '根据函数零点个数求参数范围'， '二次函数的图象分析与判断'， '分段函数的图象']

正确率60.0%函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {-x^{2}-2 x， \ x \leqslant0，} \\ {\operatorname{l o g}_{2} x， \ x > 0，} \\ \end{aligned} \right.$$若函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}{+}{a}}$$恰有$${{3}}$$个零点，则$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{1}{]}}$$

B.$${{(}{−}{1}{，}{0}{]}}$$

C.$${{[}{−}{1}{，}{0}{]}}$$

D.$${{[}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$

2、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '正弦曲线的定义'， '不等式比较大小'， '函数单调性的应用']

正确率40.0%设正实数$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$满足$${{e}^{2}{{a}^{2}}{−}{s}{i}{n}{a}{=}{b}{⋅}{{2}^{b}}}$$$${{=}{c}{{l}{o}{g}_{2}}{c}{=}{1}{，}}$$则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$的大小关系为（）

A.$${{c}{>}{a}{>}{b}}$$

B.$${{b}{>}{c}{>}{a}}$$

C.$${{c}{>}{b}{>}{a}}$$

D.$${{a}{>}{b}{>}{c}}$$

3、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '函数单调性的判断'， '函数零点的概念'， '利用函数单调性比较大小']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left( \frac1 3 \right)^{x}-\operatorname{l o g}_{2} x$$，若实数$${{x}_{0}}$$是函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{0}}$$的零点，且$${{0}{<}{{x}_{1}}{<}{{x}_{0}}}$$，则$${{f}{{(}{{x}_{1}}{)}}}$$的值为（）

A.恒为正值

B.等于$${{0}}$$

C.恒为负值

D.不大于$${{0}}$$

4、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '利用函数单调性比较大小']

正确率40.0%已知$${{a}{+}{{2}^{a}}{=}{2}{，}{b}{+}{{3}^{b}}{=}{2}}$$，则$${{b}{{l}{g}}{a}}$$与$${{a}{{l}{g}}{b}}$$的大小关系是（）

A.$${{b}{{l}{g}}{a}{<}{{a}{l}{g}}{b}}$$

B.$${{b}{{l}{g}}{a}{=}{a}{{l}{g}}{b}}$$

C.$${{b}{{l}{g}}{a}{>}{a}{{l}{g}}{b}}$$

D.不确定

5、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '函数零点个数的判定']

正确率60.0%方程$${{l}{g}{x}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$的解的个数为（）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

6、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '底数对指数函数图象的影响'， '全称量词命题、存在量词命题的真假判断'， '不等式比较大小']

正确率60.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{l}{o}{{g}_{a}}{x}{，}{g}{（}{x}{）}{=}{{a}^{x}}{，}{p}{（}{x}{）}{=}{{x}^{n}}{（}}$$其中$${{n}{>}{0}{，}{a}{>}{1}{）}}$$，则下列选项正确的是（）

A.$${{∀}{x}{>}{0}{，}}$$都有$${{a}^{x}{>}{{x}^{n}}{>}{l}{o}{{g}_{a}}{x}}$$

B.$${{∃}{{x}_{0}}{>}{0}{，}}$$当$${{x}{>}{{x}_{0}}}$$时，都有$${{a}^{x}{>}{{x}^{n}}{>}{l}{o}{{g}_{a}}{x}}$$

C.$${{∀}{x}{>}{0}{，}}$$都有$${{x}^{n}{>}{{a}^{x}}{>}{l}{o}{{g}_{a}}{x}}$$

D.$${{∃}{{x}_{0}}{>}{0}{，}}$$当$${{x}{>}{{x}_{0}}}$$时，都有$${{x}^{n}{>}{{a}^{x}}{>}{l}{o}{{g}_{a}}{x}}$$

7、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '对数函数y= log2 X的图象和性质'， '复合函数的单调性判定']

正确率60.0%若函数$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{(}{{x}^{2}}{−}{a}{x}{+}{3}{a}{)}}$$在$${{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$上是单调增函数，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$${{(}{−}{∞}{，}{4}{]}}$$

B.$${{(}{−}{∞}{，}{4}{)}}$$

C.$${{(}{−}{4}{，}{4}{]}}$$

D.$${{[}{−}{4}{，}{4}{]}}$$

8、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '对数（型）函数的单调性'， '对数的运算性质']

正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{|}{l}{o}{{g}_{2}}{x}{|}}$$，若$${{0}{<}{b}{<}{a}}$$，且$${{f}{（}{a}{）}{=}{f}{（}{b}{）}}$$，则图象必定经过点$${（{a}{，}{2}{b}{）}}$$的函数为（）

A.$$y=\frac{2} {x}$$

B.$${{y}{=}{2}{x}}$$

C.$${{y}{=}{{2}^{x}}}$$

D.$${{y}{=}{{x}^{2}}}$$

10、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '对数（型）函数的值域']

正确率60.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{x}}$$在区间$${{[}{1}{，}{2}{]}}$$上的最小值是$${{(}{)}}$$

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{2}}$$

1. 解析：

函数 $$y = f(x) + a$$ 恰有 3 个零点，即方程 $$f(x) = -a$$ 有 3 个解。分段分析：

（1）当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) = -x^2 - 2x$$，其图像为开口向下的抛物线，顶点在 $$x = -1$$ 处，$$f(-1) = 1$$，且 $$f(0) = 0$$。

（2）当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = \log_2 x$$，单调递增，$$f(1) = 0$$，$$f(2) = 1$$。

要使 $$f(x) = -a$$ 有 3 个解，需 $$-a$$ 在 $$(0, 1]$$ 之间，即 $$a \in [-1, 0)$$。故选 B。

2. 解析：

由题意：

（1）$$e^{2a^2} - \sin a = 1$$，因 $$e^{2a^2} \geq 1$$ 且 $$\sin a \leq 1$$，故 $$a \approx 0$$。

（2）$$b \cdot 2^b = 1$$，解得 $$b \approx 0.64$$。

（3）$$c \log_2 c = 1$$，解得 $$c \approx 1.77$$。

因此 $$c > b > a$$，故选 C。

3. 解析：

函数 $$f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x - \log_2 x$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 单调递减（因为两项均为减函数）。

若 $$f(x_0) = 0$$，则当 $$0 < x_1 < x_0$$ 时，$$f(x_1) > f(x_0) = 0$$。故选 A。

4. 解析：

由 $$a + 2^a = 2$$ 和 $$b + 3^b = 2$$，解得 $$a \approx 0.56$$，$$b \approx 0.43$$。

比较 $$b \lg a$$ 和 $$a \lg b$$：

$$b \lg a \approx 0.43 \times (-0.25) = -0.1075$$，

$$a \lg b \approx 0.56 \times (-0.37) = -0.2072$$，

故 $$b \lg a > a \lg b$$。故选 C。

5. 解析：

方程 $$\lg x = \sin x$$ 的解即函数 $$y = \lg x$$ 与 $$y = \sin x$$ 的交点。

$$y = \lg x$$ 定义域为 $$x > 0$$，且单调递增；$$y = \sin x$$ 振荡于 $$[-1, 1]$$。

当 $$x \in (0, 1]$$，$$\lg x \leq 0$$，$$\sin x \geq 0$$，可能有一个交点。

当 $$x \in (1, 10]$$，$$\lg x \in (0, 1]$$，$$\sin x$$ 振荡，可能有 2 个交点。

综上，共有 3 个解。故选 D。

6. 解析：

对于 $$a > 1$$ 和 $$n > 0$$：

（1）当 $$x$$ 较小时，$$x^n$$ 可能大于 $$a^x$$。

（2）当 $$x$$ 充分大时，$$a^x$$ 增长快于 $$x^n$$，故 $$a^x > x^n > \log_a x$$。

因此存在 $$x_0$$，当 $$x > x_0$$ 时，$$a^x > x^n > \log_a x$$。故选 B。

7. 解析：

函数 $$y = \log_2(x^2 - a x + 3a)$$ 在 $$(2, +\infty)$$ 单调增，需满足：

（1）内函数 $$u = x^2 - a x + 3a$$ 在 $$(2, +\infty)$$ 单调增，故对称轴 $$\frac{a}{2} \leq 2$$，即 $$a \leq 4$$。

（2）$$u > 0$$ 在 $$(2, +\infty)$$ 恒成立，即 $$u(2) = 4 - 2a + 3a \geq 0$$，解得 $$a \geq -4$$。

综上，$$a \in [-4, 4]$$。但 $$a = 4$$ 时 $$u(2) = 0$$ 不满足严格增，故 $$a \in (-4, 4]$$。故选 C。

8. 解析：

由 $$f(a) = f(b)$$ 且 $$0 < b < a$$，得 $$\log_2 a = -\log_2 b$$，即 $$a b = 1$$。

点 $$(a, 2b)$$ 满足 $$y = \frac{2}{x}$$（因 $$2b = \frac{2}{a}$$）。故选 A。

10. 解析：

函数 $$f(x) = \log_2 x$$ 在 $$[1, 2]$$ 单调递增，故最小值为 $$f(1) = 0$$。故选 B。

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