反函数的性质-对数函数知识点回顾进阶单选题自测题答案-湖北省等高一数学必修,平均正确率54.0%

1、['指数函数与对数函数的差异'， '反函数的性质']

正确率60.0%已知$${{x}_{1}}$$是方程$${{x}{⋅}{{3}^{x}}{=}{4}}$$的根$${，{{x}_{2}}}$$是方程$${{x}{⋅}{{l}{o}{g}_{3}}{x}{=}{4}}$$的根，则$${{x}_{1}{{x}_{2}}{=}}$$（）

A.$${{1}{6}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{4}}$$

2、['反函数的性质']

正确率60.0%已知函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的图象与$${{y}{=}{{l}{g}}{x}}$$的图象关于直线$${{y}{=}{x}}$$对称，则$${{f}{(}{{l}{g}}{3}{)}{⋅}{f}{(}{{l}{g}}{4}{)}{=}}$$（）

A.$${{l}{g}{7}}$$

B.$${{1}{0}}$$

C.$${{1}{2}}$$

D.$${{1}{0}^{7}}$$

3、['反函数的性质']

正确率80.0%设$${{a}{>}{0}}$$且$${{a}{≠}{1}{，}}$$则函数$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{a}}{x}}$$的反函数和$$y=\operatorname{l o g}_{a} \frac1 x$$的反函数的图像关于（）

A.$${{x}}$$轴对称

B.$${{y}}$$轴对称

C.直线$${{y}{=}{x}}$$对称

D.原点对称

4、['反函数的性质'， '三角函数的图象变换']

正确率19.999999999999996%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{2}{{s}{i}{n}}{π}{x}{+}{1}}$$，若函数$$y=\frac{x+1} {x}$$与$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$图象的交点为$${（{{x}_{1}}{，}{{y}_{1}}{）}{，}{（}{{x}_{2}}{，}{{y}_{2}}{）}{，}{…}{，}{（}{{x}_{m}}{，}{{y}_{m}}{）}}$$，则$$\sum_{i=1}^{m} ( x_{i}+y_{i} )=\langle($$）

A.$${{0}}$$

B.$${{m}}$$

C.$${{2}{m}}$$

D.$${{4}{m}}$$

5、['反函数的性质']

正确率40.0%函数$${{y}{=}{l}{o}{{g}_{a}}{x}{（}{a}{>}{0}}$$且$${{a}{≠}{1}{）}}$$的图象为$${{C}_{1}{，}{y}{=}{{5}^{x}}}$$的图象为$${{C}_{2}}$$，则下列说法不正确的是（）

A.$${{C}_{1}}$$恒过点$${（{1}{，}{0}{）}{，}{{C}_{2}}}$$恒过点$${（{0}{，}{1}{）}}$$

B.$${{C}_{1}}$$与$${{C}_{2}}$$都不经过第三象限

C.若$${{C}_{1}}$$与$${{C}_{2}}$$关于直线$${{y}{=}{x}}$$对称，那么$${{a}{=}{5}}$$

D.若$${{C}_{1}}$$与$${{C}_{2}}$$关于直线$${{y}{=}{x}}$$对称，那么$$a=\frac{1} {5}$$

6、['函数求值'， '反函数的性质']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{1}{+}{2}{l}{g}{x}}$$，则$$f ( 1 )+f^{-1} ( 1 )=( \begin{array} {c} {~} \\ {~} \\ \end{array} )$$

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

7、['反函数的性质'， '反函数的定义'， '函数求解析式']

正确率60.0%已知对数函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{l}{o}{g}_{a}}{x}{（}{a}{>}{0}{，}{a}{≠}{1}{）}}$$，且过点$${（{9}{，}{2}{）}{，}{f}{（}{x}{）}}$$的反函数记为$${{y}{=}{g}{（}{x}{）}}$$，则$${{g}{（}{x}{）}}$$的解析式是（）

A.$${{g}{（}{x}{）}{=}{{4}^{x}}}$$

B.$${{g}{（}{x}{）}{=}{{2}^{x}}}$$

C.$${{g}{（}{x}{）}{=}{{9}^{x}}}$$

D.$${{g}{（}{x}{）}{=}{{3}^{x}}}$$

8、['反函数的性质'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%若$${{x}_{1}}$$是方程$${{x}{{e}^{x}}{=}{4}}$$的解，$${{x}_{2}}$$是方程$${{x}{{l}{n}}{x}{=}{4}}$$的解，则$${{x}_{1}{⋅}{{x}_{2}}}$$等于（）

A.$${{4}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{e}}$$

D.$${{1}}$$

9、['对数的性质'， '反函数的性质']

正确率60.0%若函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$是函数$${{y}{=}{{a}^{x}}{(}{a}{>}{0}}$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$的反函数，且$${{f}{{(}{2}{)}}{=}{1}}$$，则$${{f}{{(}{8}{)}}{=}{(}}$$)

A.$${{3}}$$

B.$$\frac{1} {3}$$

C.$${{−}{3}}$$

D.$$- \frac{1} {3}$$

10、['反函数的性质'， '反函数的定义']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，当$${{x}{<}{0}}$$，$$f ( x )=\left( \frac{1} {3} \right)^{x}$$，$$f^{-1} ( x )$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的反函数，那么$$f^{-1} ~ (-9 )=$$（）

A.$${{3}}$$

B.$${{−}{3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{−}{2}}$$

1. 解析：

设$$x_1$$是方程$$x \cdot 3^x = 4$$的根，可以改写为$$3^{x_1} = \frac{4}{x_1}$$，两边取对数得$$x_1 = \log_3 \left( \frac{4}{x_1} \right)$$。

设$$x_2$$是方程$$x \cdot \log_3 x = 4$$的根，可以改写为$$\log_3 x_2 = \frac{4}{x_2}$$，即$$x_2 = 3^{\frac{4}{x_2}}$$。

比较两式，可以发现$$x_1$$和$$\frac{4}{x_2}$$满足相同的关系，因此$$x_1 = \frac{4}{x_2}$$，即$$x_1 x_2 = 4$$。

正确答案是D。

2. 解析：

函数$$y = f(x)$$与$$y = \lg x$$关于直线$$y = x$$对称，说明$$f(x)$$是$$y = \lg x$$的反函数，即$$f(x) = 10^x$$。

因此，$$f(\lg 3) \cdot f(\lg 4) = 10^{\lg 3} \cdot 10^{\lg 4} = 3 \cdot 4 = 12$$。

正确答案是C。

3. 解析：

函数$$y = \log_a x$$的反函数是$$y = a^x$$。

函数$$y = \log_a \frac{1}{x}$$的反函数是$$y = a^{-x}$$。

两者图像关于$$y$$轴对称，因为$$a^{-x}$$是$$a^x$$关于$$y$$轴的镜像。

正确答案是B。

4. 解析：

函数$$y = \frac{x+1}{x}$$可以化简为$$y = 1 + \frac{1}{x}$$，其图像关于点$$(0,1)$$对称。

函数$$y = 2\sin \pi x + 1$$是周期为2的正弦函数，其图像也关于点$$(0,1)$$对称。

因此，两者的交点成对出现，且每对交点的横纵坐标之和为$$(x_i + y_i) + (x_j + y_j) = 2$$。

若有$$m$$个交点，则总和为$$m$$。

正确答案是B。

5. 解析：

选项A正确，$$C_1$$恒过$$(1,0)$$，$$C_2$$恒过$$(0,1)$$。

选项B不正确，$$C_2 = 5^x$$经过第三象限。

选项C和D中，若$$C_1$$与$$C_2$$关于$$y = x$$对称，则$$a = \frac{1}{5}$$，因此D正确，C错误。

题目要求选择不正确的说法，因此答案是B。

6. 解析：

函数$$f(x) = 1 + 2\lg x$$，则$$f(1) = 1 + 2\lg 1 = 1$$。

反函数$$f^{-1}(x)$$满足$$x = 1 + 2\lg y$$，解得$$y = 10^{\frac{x-1}{2}}$$，因此$$f^{-1}(1) = 10^0 = 1$$。

所以$$f(1) + f^{-1}(1) = 1 + 1 = 2$$。

正确答案是C。

7. 解析：

对数函数$$f(x) = \log_a x$$过点$$(9,2)$$，即$$2 = \log_a 9$$，解得$$a = 3$$。

反函数$$g(x)$$为$$y = 3^x$$。

正确答案是D。

8. 解析：

设$$x_1$$是方程$$x e^x = 4$$的解，可以改写为$$e^{x_1} = \frac{4}{x_1}$$，取自然对数得$$x_1 = \ln \left( \frac{4}{x_1} \right)$$。

设$$x_2$$是方程$$x \ln x = 4$$的解，可以改写为$$\ln x_2 = \frac{4}{x_2}$$，即$$x_2 = e^{\frac{4}{x_2}}$$。

比较两式，可以发现$$x_1$$和$$\frac{4}{x_2}$$满足相同的关系，因此$$x_1 = \frac{4}{x_2}$$，即$$x_1 x_2 = 4$$。

正确答案是A。

9. 解析：

函数$$y = f(x)$$是$$y = a^x$$的反函数，因此$$f(x) = \log_a x$$。

由$$f(2) = 1$$，得$$\log_a 2 = 1$$，即$$a = 2$$。

所以$$f(8) = \log_2 8 = 3$$。

正确答案是A。

10. 解析：

函数$$f(x)$$是奇函数，当$$x < 0$$时，$$f(x) = \left( \frac{1}{3} \right)^x$$。

由奇函数性质，$$f(-x) = -f(x)$$，因此当$$x > 0$$时，$$f(x) = -3^x$$。

反函数$$f^{-1}(x)$$满足$$x = -3^y$$（$$x < -1$$），解得$$y = \log_3 (-x)$$。

因此，$$f^{-1}(-9) = \log_3 9 = 2$$。

正确答案是C。

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