对数（型）函数的值域-4.4 对数函数知识点月考进阶单选题自测题解析-江苏省等高一数学必修,平均正确率50.0%

1、['反证法'， '对数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的单调性'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '函数零点个数的判定'， '不等式的性质']

正确率40.0%现有$${{3}}$$个命题$${{p}_{1}}$$:函数$$f \left( x \right)=\mathrm{l g} x-\left| x-2 \right|$$有$${{2}}$$个零点．$$p_{2} : \exists x \in\left( \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {2} \right)， \operatorname{s i n} x+\sqrt{3} \mathrm{c o s} x=\sqrt{2}. p_{3}$$:若$$a+b=c+d=2， a c+b d > 4$$，则$$a， b， c， d$$中至少有$${{1}}$$个为负数.那么，这$${{3}}$$个命题中，真命题的个数是$${{(}{)}}$$

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

2、['分段函数与方程、不等式问题'， '函数的最大(小)值'， '对数（型）函数的值域'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {2 a+\operatorname{l n} x ( x > 1 )} \\ {a+1-x^{2} ( x \leqslant1 )} \\ \end{array} \right.$$的值域为$${{R}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$[ 0，+\infty)$$

B.$$[ 1，+\infty)$$

C.$$(-\infty， 0 ]$$

D.$$(-\infty， 1 ]$$

3、['一元二次方程根与系数的关系'， '复合函数的单调性判定'， '函数的新定义问题'， '指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的单调性']

正确率40.0%函数$${{f}{(}{x}{)}}$$定义域为$${{D}}$$，若满足 $\text{[math]}$ 在$${{D}}$$内是单调函数，$$\textcircled{2} \backslash\backslash;$$存在$$[ a， b ] \subseteq D$$使$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[ a， b ]$$上的值域为$$\left[ \frac{a} {2}， \frac{b} {2} \right]，$$那么就称$$y=f ( x )$$为$${{“}}$$半保值函数$${{”}}$$，若函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{a} \left( a^{x}+t \right) ( a > 0， a \neq1 )$$是$${{“}}$$半保值函数$${{”}}$$，则$${{t}}$$的取值范围为（）

A.$$\mathrm{( 0，+\ l i n f t y ~ )}$$

B.$$(-\mathrm{i n f t y} \，， \frac{1} {4} )$$

C.$$( 0， \frac{1} {4} ]$$

D.$$( 0， \frac{1} {4} )$$

4、['复合函数的单调性判定'， '对数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的单调性'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%若函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{\frac1 3} ( a x^{2}+2 x+8 )$$的值域为$$[-2，+\infty)$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的单调递增区间为（）

A.$$(-\infty，-2 )$$

B.$$(-2， 1 ]$$

C.$$[ 1， 4 )$$

D.$$( 4，+\infty)$$

5、['对数（型）函数的值域'， '利用基本不等式求最值']

正确率60.0%已知$$x > 1， ~ y > 1$$，且$$\operatorname{l g} x+\operatorname{l g} y=4，$$则$$\operatorname{l g} x \cdot\operatorname{l g} y$$的最大值$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1} {4}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{4}}$$

6、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '对数（型）函数的值域']

正确率60.0%在下列函数中，最小值为$${{2}}$$的是（）

A.$$y=x+\frac{1} {x}$$

B.$$y=\operatorname{l n} \， x+{\frac{1} {\operatorname{l n} \， x}} \， \left( \， x > 0 \right.$$，且$${{x}{≠}{1}{）}}$$

C.$$y=\frac{x^{2}+6} {\sqrt{x^{2}+5}}$$

D.$$y=4^{x}+4^{-x}$$

7、['交集'， '对数（型）函数的定义域'， '指数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的值域'， '指数（型）函数的定义域']

正确率60.0%已知集合$$M=\{y | y=3^{x}， x > 0 \}， \; \; N=\{x | y=\operatorname{l g} ( 3 x-x^{2} ) \}$$，则$${{M}{∩}{N}}$$为（）

A.$$[ 1，+\infty)$$

B.$$( 1，+\infty)$$

C.$$[ 3，+\infty)$$

D.$$( 1， 3 )$$

8、['对数（型）函数的值域'， '函数求定义域'， '集合的混合运算']

正确率60.0%设集合$$P=\{y | y=\operatorname{l g} x \}$$，集合$$Q=\left\{x | y=\sqrt{2+x} \right\}$$，则$$P \bigcap( \ss_{R} Q )=\emptyset$$）

A.$$[-2， 0 ]$$

B.$$(-\infty， 0 )$$

C.$$( 0，+\infty)$$

D.$$(-\infty，-2 )$$

9、['二次函数模型的应用'， '对数（型）函数的值域'， '对数的运算性质']

正确率60.0%函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{2} \frac x 2 \cdot\operatorname{l o g}_{2} \frac x 4， \enskip x \backslash\mathrm{i n} \ ( 2， 8 ]$$的值域为$${{(}{)}}$$

A.$$[ 0， 2 ]$$

B.$$[-\frac{1} {4}， 2 ]$$

C.$$( 0， 2 ]$$

D.$$(-\frac{1} {4}， 2 ]$$

10、['函数求值域'， '导数与单调性'， '对数（型）函数的值域']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {\operatorname{l o g}_{2} ( 1-x )+1，} & {1 \leqslant x \leqslant k，} \\ {x^{3}-3 x+2，} & {k < x \leqslant a，} \\ \end{array} \right.$$，若存在$${{k}}$$使得函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的值域是$$[ 0， 2 ] \;，$$则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.svg异常

B.svg异常

C.svg异常

D.$${{\{}{2}{\}}}$$

1. 解析：

对于命题$$p_1$$，函数$$f(x) = \lg x - |x - 2|$$的零点问题，可以通过分析函数在不同区间的行为来判断。当$$x \geq 2$$时，$$f(x) = \lg x - (x - 2)$$，单调递减且$$f(2) = \lg 2 > 0$$，$$f(10) = 1 - 8 = -7 < 0$$，故有一个零点。当$$0 < x < 2$$时，$$f(x) = \lg x - (2 - x)$$，求导分析可知存在一个极大值点，且$$f(1) = 0 - 1 = -1 < 0$$，$$x \to 0^+$$时$$f(x) \to -\infty$$，$$x \to 2^-$$时$$f(x) \to \lg 2 > 0$$，故有一个零点。综上，$$p_1$$正确。

对于命题$$p_2$$，方程$$\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{2}$$可化为$$2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{2}$$，解得$$x = \frac{\pi}{12}$$或$$x = \frac{7\pi}{12}$$，其中$$\frac{\pi}{12} \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$$，故$$p_2$$正确。

对于命题$$p_3$$，假设$$a, b, c, d$$均为非负数，由$$a + b = c + d = 2$$和$$ac + bd \leq \frac{(a + b)^2}{2} = 2$$，与条件$$ac + bd > 4$$矛盾，故至少有一个负数，$$p_3$$正确。综上，真命题个数为3，选D。

2. 解析：

函数$$f(x)$$的值域为$$R$$，需满足两部分的值域覆盖$$R$$。对于$$x \leq 1$$，$$f(x) = a + 1 - x^2$$的值域为$$(-\infty, a + 1]$$；对于$$x > 1$$，$$f(x) = 2a + \ln x$$的值域为$$(2a, +\infty)$$。要使并集为$$R$$，需$$a + 1 \geq 2a$$，即$$a \leq 1$$。同时，$$2a$$必须小于等于$$a + 1$$的最小值，即$$a \leq 1$$。综上，$$a \in (-\infty, 1]$$，选D。

3. 解析：

函数$$f(x) = \log_a(a^x + t)$$是单调递增函数（$$a > 1$$）或单调递减函数（$$0 < a < 1$$）。根据半保值函数的定义，需存在区间$$[a, b]$$使得$$f(x)$$的值域为$$\left[\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right]$$。通过分析，$$t$$需满足$$0 < t < \frac{1}{4}$$，选D。

4. 解析：

函数$$f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(ax^2 + 2x + 8)$$的值域为$$[-2, +\infty)$$，即$$\log_{\frac{1}{3}}(ax^2 + 2x + 8) \geq -2$$，解得$$ax^2 + 2x + 8 \leq 9$$，即$$ax^2 + 2x - 1 \leq 0$$。由判别式$$\Delta = 4 + 4a \geq 0$$得$$a \geq -1$$，且$$a > 0$$。进一步分析单调性，$$f(x)$$的递增区间为$$(-2, 1]$$，选B。

5. 解析：

由$$\lg x + \lg y = 4$$得$$\lg(xy) = 4$$，即$$xy = 10^4$$。利用不等式$$\lg x \cdot \lg y \leq \left(\frac{\lg x + \lg y}{2}\right)^2 = 4$$，当且仅当$$\lg x = \lg y = 2$$时取等，即$$x = y = 100$$。故最大值为4，选D。

6. 解析：

选项A中，$$y = x + \frac{1}{x}$$在$$x > 0$$时最小值为2（$$x = 1$$时取到），但$$x < 0$$时无最小值。选项B中，$$\ln x$$可能为负，不满足最小值为2。选项C中，$$y = \frac{x^2 + 6}{\sqrt{x^2 + 5}}$$的最小值大于2。选项D中，$$y = 4^x + 4^{-x} \geq 2$$，当$$x = 0$$时取到最小值2，选D。

7. 解析：

集合$$M = \{y | y = 3^x, x > 0\} = (1, +\infty)$$。集合$$N = \{x | y = \lg(3x - x^2)\}$$需满足$$3x - x^2 > 0$$，即$$x \in (0, 3)$$。故$$M \cap N = (1, 3)$$，选D。

8. 解析：

集合$$P = \{y | y = \lg x\} = (-\infty, +\infty)$$。集合$$Q = \{x | y = \sqrt{2 + x}\}$$需满足$$2 + x \geq 0$$，即$$x \geq -2$$。补集$$\ss_R Q = (-\infty, -2)$$。故$$P \cap \ss_R Q = (-\infty, -2)$$，选D。

9. 解析：

函数$$f(x) = \log_2 \frac{x}{2} \cdot \log_2 \frac{x}{4}$$，设$$t = \log_2 x$$，则$$x \in (2, 8]$$对应$$t \in (1, 3]$$。表达式化为$$f(t) = (t - 1)(t - 2) = t^2 - 3t + 2$$，在$$t \in (1, 3]$$的最小值为$$-\frac{1}{4}$$（$$t = \frac{3}{2}$$时取到），最大值为2（$$t = 3$$时取到）。故值域为$$[-\frac{1}{4}, 2]$$，选B。

10. 解析：

函数$$f(x)$$在$$1 \leq x \leq k$$时为$$\log_2(1 - x) + 1$$，值域为$$[0, 2]$$需满足$$\log_2(1 - k) + 1 = 0$$，解得$$k = \frac{1}{2}$$。在$$k < x \leq a$$时为$$x^3 - 3x + 2$$，需满足$$f(a) \leq 2$$且$$f(x)$$在$$(\frac{1}{2}, a]$$的值域覆盖$$[0, 2]$$。解得$$a \in [2, 1 + \sqrt{3}]$$，选B。

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