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正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{a} \left( \frac{x} {a}+\frac{1} {x}-1 \right) ( a > 1 )，$$若对于定义域内任意$${{x}_{1}{，}}$$总存在$${{x}_{2}{，}}$$使得$$f ( x_{2} ) < f ( x_{1} )，$$则满足条件的实数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$$( 2， ~ 6 )$$
B.$$[ 2， ~ 6 )$$
C.$$( 4， ~+\infty)$$
D.$$[ 4， ~+\infty)$$
2、['交集'， '一元二次不等式的解法'， '对数（型）函数的值域']正确率40.0%已知集合$$M=\left\{x | x^{2}-2 x-3 \leqslant0 \right\}， \， \， \， N=\{x | \operatorname{l o g}_{2} x > 1 \}$$，则$${{M}{⋂}{N}{=}}$$
C
A.$$[-1， 2 )$$
B.$$[-1，+\infty)$$
C.$$( 2， 3 ]$$
D.$$( 2，+\infty)$$
3、['复合函数的单调性判定'， '对数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的单调性'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%若函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{\frac1 3} ( a x^{2}+2 x+8 )$$的值域为$$[-2，+\infty)$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的单调递增区间为（）
C
A.$$(-\infty，-2 )$$
B.$$(-2， 1 ]$$
C.$$[ 1， 4 )$$
D.$$( 4，+\infty)$$
4、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '对数（型）函数的值域']正确率60.0%在下列函数中，最小值为$${{2}}$$的是（）
D
A.$$y=x+\frac{1} {x}$$
B.$$y=\operatorname{l n} \， x+{\frac{1} {\operatorname{l n} \， x}} \， \left( \， x > 0 \right.$$，且$${{x}{≠}{1}{）}}$$
C.$$y=\frac{x^{2}+6} {\sqrt{x^{2}+5}}$$
D.$$y=4^{x}+4^{-x}$$
5、['交集'， '全集与补集'， '指数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的值域']正确率40.0%已知$$A=\{y | y=\operatorname{l o g}_{2} x， x > 1 \}， \ B=\{y | y=\bigg( \frac{1} {2} \bigg)^{x}， x > 1 \}.$$则$${{A}{∩}{B}{=}}$$（）
A
A.$$( 0， \frac{1} {2} )$$
B.$$( 0， 1 )$$
C.$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$
D.$${{∅}}$$
6、['交集'， '对数（型）函数的定义域'， '指数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的值域'， '指数（型）函数的定义域']正确率60.0%已知集合$$M=\{y | y=3^{x}， x > 0 \}， \; \; N=\{x | y=\operatorname{l g} ( 3 x-x^{2} ) \}$$，则$${{M}{∩}{N}}$$为（）
D
A.$$[ 1，+\infty)$$
B.$$( 1，+\infty)$$
C.$$[ 3，+\infty)$$
D.$$( 1， 3 )$$
7、['对数（型）函数的值域'， '指数式的大小的比较'， '命题的真假性判断'， '分段函数求值']正确率40.0%下列说法正确的个数有$${{(}{)}}$$
$${①}$$函数$$f ( x )=\operatorname{l g} ( 2 x-1 )$$的值域为$${{R}}$$；
$${②}$$若$$( \frac{2} {3} )^{a} > ( \frac{2} {3} )^{b}$$，则$${{a}{<}{b}}$$；
$${③}$$已知$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {x^{3}+1 \; \; x > 0} \\ {2 0 1 7 x+1 \; \; x \leqslant0} \\ \end{array} \right.$$，则$$f [ f ( 0 ) ]=1$$；
$${④}$$已知$$f ( 1 ) < f ( 2 ) < f ( 3 ) < \ldots< f ( 2 0 1 6 )$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[ 1， 2 0 1 6 ]$$上是增函数．
C
A.$${{0}}$$个
B.$${{1}}$$个
C.$${{2}}$$个
D.$${{3}}$$个
8、['对数（型）函数的定义域'， '对数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的单调性'， '函数的对称性']正确率60.0%关于函数$$y=l n \ ( \ x^{2}-x+1 )$$有如下命题：
$${①}$$函数的定义域为$${{R}}$$；
$${②}$$函数是增函数；
$${③}$$函数的值域为$${{R}}$$；
$${④}$$函数图象关于直线$$x=\frac{1} {2}$$对称．其中正确命题的个数是（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
9、['复合函数的单调性判定'， '对数（型）函数的定义域'， '对数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的单调性']正确率60.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=l o g_{a} \， \left( \begin{matrix} {5-a x} \\ \end{matrix} \right) \， \ \left( \begin{matrix} {a > 0， \ a \neq1} \\ \end{matrix} \right)$$在$$( 1， \ 3 )$$上是减函数，则$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$$[ \frac{5} {3}， ~ ~+\infty)$$
B.$$( \; \frac{1} {5}， \; \; 1 )$$
C.$$( 1， ~ ~ \frac{5} {3} )$$
D.$$( 1， ~ \frac{5} {3} ]$$
10、['函数求值域'， '对数（型）函数的值域'， '指数（型）函数的值域']正确率60.0%下列函数中与函数$${{y}{=}{{2}^{x}}}$$值域相同的是（）
C
A.$${{y}{=}{\sqrt {{x}^{2}}}}$$
B.$$y=l o g_{2} ~ ( \ y+1 )$$
C.$$y=x^{-2}$$
D.$$y=x^{2}-3 x+9$$
以下是各题的详细解析： --- ### 1. **函数定义域与存在性问题** **解析**： 函数 $$f(x) = \log_a \left( \frac{x}{a} + \frac{1}{x} - 1 \right)$$ 定义域要求 $$\frac{x}{a} + \frac{1}{x} - 1 > 0$$。 化简得 $$x^2 - a x + a > 0$$，判别式 $$\Delta = a^2 - 4a$$。 由于 $$a > 1$$，当 $$\Delta < 0$$（即 $$a \in (1, 4)$$）时，不等式恒成立；当 $$\Delta \geq 0$$（即 $$a \geq 4$$）时，需进一步分析。 题目要求对于任意 $$x_1$$，存在 $$x_2$$ 使得 $$f(x_2) < f(x_1)$$，即函数无最小值。 - 当 $$a \in (1, 4)$$，$$f(x)$$ 定义域为全体正实数，且当 $$x \to 0^+$$ 或 $$x \to +\infty$$ 时，$$f(x) \to -\infty$$，满足条件。 - 当 $$a \geq 4$$，需确保函数在定义域内无下界。通过分析，$$a \in [4, +\infty)$$ 也满足条件。 但选项中有 $$(4, +\infty)$$（C）和 $$[4, +\infty)$$（D），进一步验证 $$a = 4$$ 时是否满足： 当 $$a = 4$$，定义域为 $$x \neq 2$$，且 $$f(x)$$ 在 $$x \to 2$$ 时趋向于 $$-\infty$$，故 $$a = 4$$ 也满足。 **答案**：D --- ### 2. **集合的交集** **解析**： - 集合 $$M$$：解不等式 $$x^2 - 2x - 3 \leq 0$$，得 $$x \in [-1, 3]$$。 - 集合 $$N$$：解不等式 $$\log_2 x > 1$$，得 $$x > 2$$。 因此，$$M \cap N = (2, 3]$$。 **答案**：C --- ### 3. **对数函数的值域与单调性** **解析**： 函数 $$f(x) = \log_{\frac{1}{3}} (a x^2 + 2x + 8)$$ 值域为 $$[-2, +\infty)$$，即： $$\log_{\frac{1}{3}} (a x^2 + 2x + 8) \geq -2$$ 转化为 $$a x^2 + 2x + 8 \leq 9$$（因为底数 $$\frac{1}{3} < 1$$），即 $$a x^2 + 2x -1 \leq 0$$。 由于 $$f(x)$$ 值域为 $$[-2, +\infty)$$，说明 $$a x^2 + 2x + 8$$ 能取到最小值 $$\frac{1}{9}$$（因为 $$\log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$$）。 通过判别式 $$\Delta = 4 + 4a = 0$$，得 $$a = -1$$，但 $$a$$ 必须为正，故需重新分析。 实际上，$$a x^2 + 2x + 8$$ 的最小值应为 $$\frac{32a - 4}{4a} = \frac{8a -1}{a}$$。 令 $$\frac{8a -1}{a} = \frac{1}{9}$$，解得 $$a = \frac{9}{71}$$，但验证不满足值域条件。 重新思考： 值域要求 $$a x^2 + 2x + 8 \in (0, 9]$$，因此 $$a > 0$$ 且二次函数最大值不超过 9。 通过顶点和边界分析，得 $$a = 1$$。 此时 $$f(x)$$ 定义域为 $$x^2 + 2x + 8 > 0$$（恒成立），单调递增区间为 $$a x^2 + 2x + 8$$ 的递减区间，即 $$(-\infty, -1]$$。 但选项中最接近的是 $$(-\infty, -2)$$（A），可能题目有其他隐含条件。 **答案**：A（需进一步验证） --- ### 4. **最小值为 2 的函数** **解析**： - A：$$y = x + \frac{1}{x}$$ 在 $$x > 0$$ 时最小值为 2（当 $$x = 1$$ 时）。 - B：$$y = \ln x + \frac{1}{\ln x}$$ 在 $$\ln x = \pm 1$$ 时取极值，但不一定最小为 2。 - C：$$y = \frac{x^2 + 6}{\sqrt{x^2 + 5}}$$ 通过换元法可求最小值不为 2。 - D：$$y = 4^x + 4^{-x} \geq 2$$，当 $$x = 0$$ 时取最小值 2。 **答案**：D --- ### 5. **集合的交集** **解析**： - 集合 $$A$$：$$y = \log_2 x$$，当 $$x > 1$$ 时，$$y > 0$$。 - 集合 $$B$$：$$y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$$，当 $$x > 1$$ 时，$$y \in (0, \frac{1}{2})$$。 因此，$$A \cap B = (0, \frac{1}{2})$$。 **答案**：A --- ### 6. **集合的交集** **解析**： - 集合 $$M$$：$$y = 3^x$$，当 $$x > 0$$ 时，$$y > 1$$。 - 集合 $$N$$：定义域为 $$3x - x^2 > 0$$，即 $$x \in (0, 3)$$。 因此，$$M \cap N = (1, 3)$$（因为 $$M$$ 的值 $$y > 1$$，$$N$$ 的 $$x \in (0, 3)$$）。 **答案**：D --- ### 7. **命题判断** **解析**： 1. ①错误，$$f(x) = \lg(2x -1)$$ 值域为 $$R$$ 当且仅当 $$2x -1$$ 能取遍所有正数，实际定义域限制 $$x > \frac{1}{2}$$，值域为 $$R$$ 正确。 2. ②正确，因为 $$\left(\frac{2}{3}\right)^a > \left(\frac{2}{3}\right)^b$$ 且底数小于 1，故 $$a < b$$。 3. ③正确，$$f(0) = 2017 \times 0 + 1 = 1$$，$$f(f(0)) = f(1) = 1^3 + 1 = 2$$（原解析有误，应为 2）。 4. ④错误，函数可能在离散点递增，不一定是连续增函数。 **答案**：C（①和②正确） --- ### 8. **函数的性质** **解析**： 函数 $$y = \ln(x^2 - x + 1)$$： 1. ①正确，$$x^2 - x + 1 > 0$$ 对所有实数 $$x$$ 成立。 2. ②错误，函数在 $$x \in (-\infty, \frac{1}{2})$$ 递减，在 $$x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$$ 递增。 3. ③错误，值域为 $$[\ln \frac{3}{4}, +\infty)$$，不为 $$R$$。 4. ④正确，因为 $$x^2 - x + 1$$ 关于 $$x = \frac{1}{2}$$ 对称。 **答案**：C（①和④正确） --- ### 9. **对数函数的单调性** **解析**： 函数 $$f(x) = \log_a (5 - a x)$$ 在 $$(1, 3)$$ 上递减，需满足： 1. 底数 $$a > 1$$ 时，内函数 $$5 - a x$$ 递减且 $$5 - a x > 0$$。 2. 即 $$a > 1$$ 且 $$5 - 3a > 0$$，得 $$a \in (1, \frac{5}{3})$$。 **答案**：C --- ### 10. **函数值域** **解析**： 函数 $$y = 2^x$$ 的值域为 $$(0, +\infty)$$。 - A：$$y = \sqrt{x^2} = |x|$$，值域 $$[0, +\infty)$$。 - B：$$y = \log_2 (x + 1)$$，值域 $$R$$。 - C：$$y = x^{-2}$$，值域 $$(0, +\infty)$$。 - D：$$y = x^2 - 3x + 9$$，值域 $$[\frac{27}{4}, +\infty)$$。 **答案**：C 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱