对数（型）函数的单调性-4.4 对数函数知识点月考进阶自测题解析-海南省等高一数学必修,平均正确率52.0%

1、['函数求值域'， '对数（型）函数的单调性'， '函数求解析式']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是$$( 0， ~+\infty)$$上的单调函数，且$$f \left( f ( x )-x-\operatorname{l o g}_{2} x \right)=5$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[ 1， ~ 8 ]$$上的值域为（）

A.$$[ 2， ~ 1 0 ]$$

B.$$[ 3， ~ 1 0 ]$$

C.$$[ 2， ~ 1 3 ]$$

D.$$[ 3， ~ 1 3 ]$$

2、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性']

正确率60.0%下列函数中，满足“$$f ( x y )=f ( x )+f ( y )$$”且为增函数的是（）

A.$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{\frac1 2} x$$

B.$$f ( x )=x^{3}$$

C.$$f ( x )=2^{x}$$

D.$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{2} x$$

3、['正弦（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '利用函数单调性比较大小']

正确率60.0%设$$a=2， \， \， b=l g 9， \， \， \， c=2 \operatorname{s i n} \frac{9 \pi} {5}$$，则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系为（）

A.$$a > b > c$$

B.$$a > c > b$$

C.$$b > a > c$$

D.$$c > a > b$$

4、['对数（型）函数的定义域'， '对数（型）函数的单调性'， '余弦（型）函数的单调性']

正确率40.0%函数$$y=\operatorname{l g} ( \sqrt{3}-2 \operatorname{c o s} x )$$的定义域是（）

A.$$[ 0， \pi]$$

B.$$[ \frac{\pi} {3}， \frac{5 \pi} {6} ]$$

C.$$\left( \frac{\pi} {6}+2 k \pi， \frac{1 1 \pi} {6}+2 k \pi\right) ( k \in Z )$$

D.$$\left[ 2 k \pi， \frac{\pi} {6}+2 k \pi\right] ( k \in{\bf Z} )$$

5、['对数（型）函数的单调性'， '对数的运算性质'， '不等式的性质']

正确率60.0%设$$a=l n \frac{1} {2}， \， \， \， b=l o g_{\frac{1} {3}} \， \frac{1} {2}$$，则（）

A.$$a+b < a b < 0$$

B.$$a b < a+b < 0$$

C.$$a+b < 0 < a b$$

D.$$a b < 0 < a+b$$

6、['函数奇、偶性的证明'， '复合函数的单调性判定'， '对数（型）函数的单调性']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{a} ( \sqrt{x^{2}+1}+\frac{1} {2} b x )$$$${{(}{a}{>}{0}}$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$，则下列叙述正确的是（）

A.若$$a=\frac{1} {2}， \， \， \， b=-2$$，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$为$${{R}}$$上的增函数

B.若$$a=2， ~ b=2$$，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$为$${{R}}$$上的减函数

C.若函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的偶函数，则$${{b}{=}{−}{2}}$$

D.若函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，则$${{b}{=}{2}}$$

7、['复合函数的单调性判定'， '对数（型）函数的单调性']

正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\operatorname{l o g}_{2} \left( x^{2}-a \cdot x+3 a \right)$$在区间$$[ 1，+\infty)$$上单调递增，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$(-\infty， 2 ]$$

B.$$\left[-\frac{1} {2}， 2 \right]$$

C.$$\left(-\frac{1} {2}， 2 \right]$$

D.$$[ 2 \，， 1 2 )$$

8、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '函数单调性的判断'， '一般幂函数的图象和性质']

正确率60.0%下列函数中，在区间$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上单调递增的是（）

A.$$y=3^{-x}$$

B.$$y=\operatorname{l o g}_{0. 5} x$$

C.$$y=\frac{1} {x^{2}}$$

D.$$y=\frac{x+1} {x+2}$$

9、['对数式的大小的比较'， '指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '指数式的大小的比较']

正确率40.0%三个数$$0. 9 9^{3}， ~ \operatorname{l o g}_{2} 0. 6， ~ \operatorname{l o g}$$的大小关系为（）

A.$$\operatorname{l o g}_{3} \pi< 0. 9 9^{3} < \operatorname{l o g}_{2} 0. 6$$

B.$$\operatorname{l o g}_{2} 0. 6 < \operatorname{l o g}_{3} \pi< 0. 9 9^{3}$$

C.$$0. 9 9^{3} \textless\operatorname{l o g}_{2} 0. 6 \textless\operatorname{l o g}_{3} \pi$$

D.$$\operatorname{l o g}_{2} 0. 6 < 0. 9 9^{3} < \operatorname{l o g}_{3} \pi$$

10、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '幂指对综合比较大小'， '利用函数单调性比较大小']

正确率60.0%已知$$a=2 l o g_{5} 2. \: \: b=2^{1. 1}， \: \: c=\left( \frac{1} {2} \right)^{-0. 8}$$，则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系是$${{(}{)}}$$

A..$$a < c < b$$

B.$$c < b < a$$

C.$$a < b < c$$

D.$$b < c < a$$

1. 解析：

设 $$f(x)$$ 是单调递增函数，由 $$f(f(x) - x - \log_2 x) = 5$$，可得 $$f(x) - x - \log_2 x = C$$（常数）。因为 $$f(x)$$ 单调，所以 $$C$$ 唯一。代入 $$x = 1$$，得 $$f(1) - 1 - 0 = C$$，即 $$f(1) = C + 1$$。再代入 $$x = 2$$，得 $$f(2) - 2 - 1 = C$$，即 $$f(2) = C + 3$$。由于 $$f(x)$$ 单调递增，$$f(1) < f(2)$$ 恒成立。由 $$f(f(x) - x - \log_2 x) = 5$$，可得 $$f(C) = 5$$。因为 $$f(x)$$ 单调递增，$$C$$ 是唯一的，且 $$f(x)$$ 在 $$[1, 8]$$ 上的最小值为 $$f(1) = C + 1$$，最大值为 $$f(8) = C + 8 + 3 = C + 11$$。由 $$f(C) = 5$$ 和 $$f(x)$$ 单调递增，可得 $$C = 2$$（因为 $$f(1) = 3$$，$$f(2) = 5$$）。因此，$$f(x)$$ 在 $$[1, 8]$$ 上的值域为 $$[3, 13]$$。答案为 D。

2. 解析：

函数满足 $$f(xy) = f(x) + f(y)$$ 是对数函数的性质。选项 A 是减函数，不符合；选项 B 不满足 $$f(xy) = f(x) + f(y)$$；选项 C 是指数函数，不满足；选项 D 是对数函数且为增函数，满足条件。答案为 D。

3. 解析：

比较 $$a = 2$$，$$b = \lg 9 \approx 0.9542$$，$$c = 2 \sin \frac{9\pi}{5} \approx 2 \sin 324^\circ \approx -1.1756$$。因此 $$a > b > c$$。答案为 A。

4. 解析：

定义域要求 $$\sqrt{3} - 2 \cos x > 0$$，即 $$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$$。解为 $$x \in \left( \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \right)$$（$$k \in \mathbb{Z}$$）。答案为 C。

5. 解析：

$$a = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2 \approx -0.6931$$，$$b = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} = \frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln \frac{1}{3}} = \frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0.6309$$。计算 $$a + b \approx -0.0622$$，$$ab \approx -0.4371$$。因此 $$a + b < ab < 0$$。答案为 A。

6. 解析：

选项 A：$$a = \frac{1}{2}$$，$$b = -2$$，$$f(x) = \log_{\frac{1}{2}} (\sqrt{x^2 + 1} - x)$$，由于 $$\sqrt{x^2 + 1} - x$$ 单调递减，且底数 $$\frac{1}{2} < 1$$，故 $$f(x)$$ 单调递增，正确。选项 B：$$a = 2$$，$$b = 2$$，$$f(x) = \log_2 (\sqrt{x^2 + 1} + x)$$，由于 $$\sqrt{x^2 + 1} + x$$ 单调递增，且底数 $$2 > 1$$，故 $$f(x)$$ 单调递增，错误。选项 C：若 $$f(x)$$ 是偶函数，则 $$f(-x) = f(x)$$，代入可得 $$b = 0$$，错误。选项 D：若 $$f(x)$$ 是奇函数，则 $$f(-x) = -f(x)$$，代入可得 $$b = \pm 1$$，错误。答案为 A。

7. 解析：

函数 $$f(x) = \log_2 (x^2 - a x + 3a)$$ 在 $$[1, +\infty)$$ 上单调递增，要求：
1. 内函数 $$g(x) = x^2 - a x + 3a$$ 在 $$[1, +\infty)$$ 上单调递增且 $$g(1) > 0$$。
2. 对称轴 $$\frac{a}{2} \leq 1$$，即 $$a \leq 2$$。
3. $$g(1) = 1 - a + 3a = 1 + 2a > 0$$，即 $$a > -\frac{1}{2}$$。
综上，$$a \in \left( -\frac{1}{2}, 2 \right]$$。答案为 C。

8. 解析：

选项 A：$$y = 3^{-x}$$ 单调递减；选项 B：$$y = \log_{0.5} x$$ 单调递减；选项 C：$$y = \frac{1}{x^2}$$ 单调递减；选项 D：$$y = \frac{x + 1}{x + 2} = 1 - \frac{1}{x + 2}$$ 单调递增。答案为 D。

9. 解析：

比较三个数：$$0.99^3 \approx 0.9703$$，$$\log_2 0.6 \approx -0.7369$$，$$\log_3 \pi \approx 1.042$$。因此 $$\log_2 0.6 < 0.99^3 < \log_3 \pi$$。答案为 D。

10. 解析：

计算得：$$a = 2 \log_5 2 \approx 0.8617$$，$$b = 2^{1.1} \approx 2.1435$$，$$c = \left( \frac{1}{2} \right)^{-0.8} = 2^{0.8} \approx 1.7411$$。因此 $$a < c < b$$。答案为 A。

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