对数函数的定义-4.4 对数函数知识点考前进阶自测题解析-辽宁省等高一数学必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['指数函数的定义'， '判断元素与集合的关系'， '对数函数的定义'， '幂函数的定义']

正确率60.0%设点集$${{M}{=}}$$$${{\{}}$$$${{P}{|}{P}}$$是指数函数与幂函数图像的公共点或对数函数与幂函数图像的公共点$${{\}}}$$，则下列选项中的点可能是集合$${{M}}$$中的元素的是（）

A.$$\left( 1， \frac{1} {2} \right)$$

B.$$\left( 1，-\frac{1} {2} \right)$$

C.$$\left(-2，-\frac{1} {4} \right)$$

D.$$\left(-2， \frac{1} {4} \right)$$

3、['分段函数求值'， '对数函数的定义']

正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {\operatorname{l n} \! x， \ 0 < x \leqslant1，} \\ {2 f ( x-1 )， x > 1，} \\ \end{aligned} \right.$$则$$f \left( \frac{7} {2} \right)=$$（）

A.$${{−}{{1}{6}}{{l}{n}}{2}}$$

B.$${{1}{6}{{l}{n}}{2}}$$

C.$${{−}{8}{{l}{n}}{2}}$$

D.$${{−}{{3}{2}}{{l}{n}}{2}}$$

4、['利用基本不等式求最值'， '对数函数的定义']

正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}}$$均为正数，函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{a}{{l}{o}{g}_{2}}{x}{+}{b}}$$的图像过点$${{(}{4}{，}{1}{)}{，}}$$则$$\frac{a+2 b} {a b}$$的最小值为（）

A.$${{6}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{9}}$$

5、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '对数（型）函数的单调性'， '不等式比较大小'， '对数函数的定义']

正确率40.0%已知$${{a}{=}{l}{o}{{g}_{4}}{5}{，}{b}{=}{l}{o}{{g}_{2}}{3}{，}{c}{=}{{s}{i}{n}}{2}}$$，则$${{a}{、}{b}{、}{c}}$$的大小关系为（）

A.$${{a}{<}{b}{<}{c}}$$

B.$${{c}{<}{a}{<}{b}}$$

C.$${{b}{<}{c}{<}{a}}$$

D.$${{c}{<}{b}{<}{a}}$$

6、['有理数指数幂的运算性质'， '指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '对数函数的定义'， '对数的换底公式及其推论']

正确率40.0%已知$${{2}^{x}{=}{{3}^{y}}{=}{{5}^{z}}}$$，且$${{x}{，}{y}{，}{z}}$$均为正数，则$${{2}{x}{，}{3}{y}{，}{5}{z}}$$的大小关系为（）

A.$${{2}{x}{<}{3}{y}{<}{5}{z}}$$

B.$${{3}{y}{<}{2}{x}{<}{5}{z}}$$

C.$${{5}{z}{<}{3}{y}{<}{2}{x}}$$

D.$${{5}{z}{<}{2}{x}{<}{3}{y}}$$

7、['指数函数的定义'， '指数与对数的关系'， '对数函数的定义']

正确率60.0%设$$a=4^{0. 9}， \， \， \， b=8^{0. 4 8}， \， \， \， c=\operatorname{l o g}_{2} 1. 5$$，则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$的大小关系为$${{(}{)}}$$

A.$${{c}{>}{a}{>}{b}}$$

B.$${{a}{>}{c}{>}{b}}$$

C.$${{a}{>}{b}{>}{c}}$$

D.$${{b}{>}{c}{>}{a}}$$

8、['指数函数的定义'， '不等式比较大小'， '对数函数的定义'， '幂函数的定义']

正确率60.0%已知$$x \in{\textit{(}} \frac{1} {2}， \ 1 \ro{)} \， \ a=x^{\frac{1} {2}}，$$$$b=2^{x-1}， \， \， \， c=\operatorname{l n} \， \， x+1$$，则下列关系正确的是（）

A.$${{c}{<}{b}{<}{a}}$$

B.$${{c}{<}{a}{<}{b}}$$

C.$${{b}{<}{c}{<}{a}}$$

D.$${{a}{<}{c}{<}{b}}$$

9、['函数的综合问题'， '指数函数的定义'， '对数函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']

正确率40.0%在$${{y}{=}{{2}^{x}}{，}{y}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{x}{，}{y}{=}{{x}^{2}}}$$，这三个函数中，当$${{0}{<}{{x}_{1}}{<}{{x}_{2}}{<}{1}}$$时，使$$f \left( \frac{x_{1}+x_{2}} {2} \right) < \frac{f \left( x_{1} \right)+f \left( x_{2} \right)} {2}$$恒成立的函数的个数是（）

A.$${{3}}$$个

B.$${{2}}$$个

C.$${{1}}$$个

D.$${{0}}$$个

10、['函数求值域'， '对数函数的定义'， '函数求定义域']

正确率60.0%函数$$f ( x )=\frac{\operatorname{l g} ( 2 x-1 )} {x^{2}-4}$$的定义域为$${{(}{)}}$$

A.$$( \frac{1} {2}，+\infty)$$

B.$$( \frac{1} {2}， 2 ) \cup( 2，+\infty)$$

C.$$[ \frac{1} {2}， 2 ) \cup( 2，+\infty)$$

D.$${{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$

1. 解析：

点集$$M$$包含指数函数与幂函数或对数函数与幂函数图像的公共点。考虑选项中的点是否满足这些条件：

- 对于选项A，$$(1, \frac{1}{2})$$可能是指数函数$$y = a^x$$与幂函数$$y = x^b$$的交点，因为$$a^1 = \frac{1}{2}$$和$$1^b = \frac{1}{2}$$有解（如$$a = \frac{1}{2}$$，$$b$$任意）。

- 选项B的纵坐标为负，不满足指数函数或对数函数的定义域和值域要求。

- 选项C和D的横坐标为负，不满足对数函数的定义域要求。

因此，正确答案是A。

3. 解析：

分段函数$$f(x)$$的定义如下：

- 当$$0 < x \leq 1$$时，$$f(x) = \ln x$$。

- 当$$x > 1$$时，$$f(x) = 2f(x-1)$$。

计算$$f\left(\frac{7}{2}\right)$$：

$$f\left(\frac{7}{2}\right) = 2f\left(\frac{5}{2}\right) = 4f\left(\frac{3}{2}\right) = 8f\left(\frac{1}{2}\right) = 8\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -8\ln 2$$。

因此，正确答案是C。

4. 解析：

函数$$f(x) = a\log_2 x + b$$过点$$(4, 1)$$，代入得：

$$a\log_2 4 + b = 1 \Rightarrow 2a + b = 1$$。

目标是最小化$$\frac{a + 2b}{ab}$$。

由$$b = 1 - 2a$$，代入得：

$$\frac{a + 2(1 - 2a)}{a(1 - 2a)} = \frac{2 - 3a}{a - 2a^2}$$。

求导或配凑可得最小值为8，当$$a = \frac{1}{4}$$，$$b = \frac{1}{2}$$时成立。

因此，正确答案是C。

5. 解析：

比较$$a = \log_4 5$$，$$b = \log_2 3$$，$$c = \sin 2$$：

- 将$$a$$和$$b$$转换为以2为底的对数：$$a = \frac{\log_2 5}{2} \approx 1.16$$，$$b \approx 1.585$$。

- $$c = \sin 2$$（弧度制）约为0.909。

因此，大小关系为$$c < a < b$$。

正确答案是B。

6. 解析：

设$$2^x = 3^y = 5^z = k$$，则$$x = \log_2 k$$，$$y = \log_3 k$$，$$z = \log_5 k$$。

比较$$2x$$，$$3y$$，$$5z$$：

$$2x = 2\log_2 k$$，$$3y = 3\log_3 k$$，$$5z = 5\log_5 k$$。

取$$k = 30$$，计算得：

$$2x \approx 9.03$$，$$3y \approx 8.38$$，$$5z \approx 6.90$$。

因此，$$5z < 3y < 2x$$。

正确答案是C。

7. 解析：

计算$$a = 4^{0.9} = 2^{1.8}$$，$$b = 8^{0.48} = 2^{1.44}$$，$$c = \log_2 1.5 \approx 0.585$$。

比较得：$$a > b > c$$。

正确答案是C。

8. 解析：

对于$$x \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)$$：

- $$a = x^{\frac{1}{2}} \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$。

- $$b = 2^{x-1} \in \left(2^{-0.5}, 1\right) \approx (0.707, 1)$$。

- $$c = \ln x + 1$$，当$$x \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)$$时，$$\ln x \in (-\ln 2, 0)$$，故$$c \in (1 - \ln 2, 1) \approx (0.307, 1)$$。

因此，$$c < a < b$$。

正确答案是B。

9. 解析：

题目要求函数在$$(0, 1)$$区间内满足凹性（即$$f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$$）。

- $$y = 2^x$$：二阶导数为$$2^x (\ln 2)^2 > 0$$，是凸函数，不满足。

- $$y = \log_2 x$$：二阶导数为$$-\frac{1}{x^2 \ln 2} < 0$$，是凹函数，满足。

- $$y = x^2$$：二阶导数为$$2 > 0$$，是凸函数，不满足。

因此，只有1个函数满足条件。

正确答案是C。

10. 解析：

函数$$f(x) = \frac{\lg(2x - 1)}{x^2 - 4}$$的定义域需满足：

1. $$2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$$。

2. $$x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$$。

综合得定义域为$$\left(\frac{1}{2}, 2\right) \cup \left(2, +\infty\right)$$。

正确答案是B。

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