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正确率19.999999999999996%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =2 \operatorname{s i n} \pi x+1$$，若函数$$y=\frac{x+1} {x}$$与$$y=f ~ ( x )$$图象的交点为$$( \， x_{1}， \， \， y_{1} \， ) \， \， \，， \， \， \， \， \， ( \， x_{2} \，， \， \， y_{2} \， ) \， \， \，， \， \， \， \， \ldots\， \， \， \， \， ( \， x_{m} \，， \， \， \， y_{m} \， )$$，则$$\sum_{i=1}^{m} ( x_{i}+y_{i} )=\langle($$）
B
A.$${{0}}$$
B.$${{m}}$$
C.$${{2}{m}}$$
D.$${{4}{m}}$$
2、['直线中的对称问题'， '反函数的性质'， '反函数的定义']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=k x ( x \in[ \frac{1} {e}， ~ e ] )， ~ g ( x )=( \frac{1} {e} )^{\frac{x} {2}}$$，若$$f \left( \begin{matrix} {\chi} \\ \end{matrix} \right)， \textit{g} \left( \begin{matrix} {\chi} \\ \end{matrix} \right)$$图象上分别存在点$${{M}{，}{N}}$$，使得$${{M}{，}{N}}$$关于直线$${{y}{=}{x}}$$对称，则实数$${{k}}$$的取值范围为（）
B
A.$$[-\frac{1} {e}， ~ e ]$$
B.$$[-\frac{2} {e}， ~ 2 e ]$$
C.$$[-\frac{3} {e}， ~ 3 e ]$$
D.$$(-\frac{2} {e}， ~ 2 e )$$
3、['两条直线垂直'， '反函数的性质'， '直线的斜率']正确率40.0%已知直线$$l_{1} : m x-y+3=0$$与$${{l}_{2}}$$关于直线$${{y}{=}{x}}$$对称，$${{l}_{2}}$$与$$\l_{3} : y=-\frac{1} {2} x+\frac{1} {2}$$垂直，则$${{m}{=}{(}{)}}$$
B
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{2}}$$
4、['平面上中点坐标公式'， '反函数的性质'， '函数零点的值或范围问题']正确率19.999999999999996%已知$${{α}}$$与$${{β}}$$分别是函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=2^{x}+x-5$$与$$g ( x )=l o g_{8} x^{3}+x-5$$的零点，则$$2^{\alpha}+l o g_{2} \beta$$的值为（）
D
A.$$4+l o g_{2} 3$$
B.$$2+l o g_{2} 3$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
5、['函数求值'， '反函数的性质']正确率60.0%若函数$$y=g ( x )$$与函数$$f ( x )=2^{x}$$的图象关于直线$${{y}{=}{x}}$$对称，则$$g ( \frac{1} {2} )$$的值为（）
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$${{−}{1}}$$
6、['反函数的性质']正确率60.0%已知$$y=f ~ ( x )$$在$${{R}}$$上单调递增，且满足$$f \ ( \textbf{1} ) \ =2$$，则$$y=f ~ ( x )$$的反函数恒过点（）
C
A.$$( 1， \ 2 )$$
B.$$( {\bf0}， ~ {\bf2} )$$
C.
D.$$( \mathbf{2}， \ \mathbf{0} )$$
7、['对数（型）函数的值域'， '反函数的性质']正确率60.0%函数的图象$$y=f ~ ( x )$$与$${{y}{=}{{2}^{x}}}$$的图象关于直线$${{y}{=}{x}}$$对称，则函数$$y=f ~ ( x^{2}-2 x )$$的递增区间是（）
B
A.$$( 1， ~+\infty)$$
B.$$( \mathrm{\bf~ 2， ~}+\infty)$$
C.$$( \mathrm{\mathbf{~-\infty， \ 0 ~}} )$$
D.$$( \mathrm{~-\infty， \ 1 ~} )$$
8、['反函数的性质'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%若$${{x}_{1}}$$是方程$${{x}{{e}^{x}}{=}{4}}$$的解，$${{x}_{2}}$$是方程$$x \operatorname{l n} x=4$$的解，则$${{x}_{1}{⋅}{{x}_{2}}}$$等于（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{e}}$$
D.$${{1}}$$
9、['反函数的性质'， '反函数的定义']正确率40.0%已知函数$$y=f ~ ( x )$$的图象与函数$${{y}{=}{{2}^{x}}}$$的图象关于直线$${{y}{=}{x}}$$对称，则$${{f}{（}{2}{）}}$$的值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
10、['指数与对数的关系'， '反函数的性质']正确率60.0%设函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{a} ( x+b ) ( a > 0， a \neq1 )$$的图象过点$$( 0， 0 )$$，其反函数过点$$( 1， 2 )$$，则
）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
以下是各题的详细解析：
1. 解析：
函数 $$f(x) = 2\sin(\pi x) + 1$$ 与 $$y = \frac{x+1}{x}$$ 的交点满足 $$2\sin(\pi x) + 1 = \frac{x+1}{x}$$。
观察 $$y = \frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$$，其图像关于点 $$(0, 1)$$ 对称。而 $$f(x) = 2\sin(\pi x) + 1$$ 也是关于 $$(0, 1)$$ 对称的函数。
因此，交点 $$(x_i, y_i)$$ 成对出现，且每对的和为 $$(0, 2)$$。若有 $$m$$ 个交点，则 $$\sum_{i=1}^m (x_i + y_i) = \sum_{i=1}^m x_i + \sum_{i=1}^m y_i = 0 + 2m = 2m$$。
答案为 $$C$$。
2. 解析：
点 $$M$$ 和 $$N$$ 关于直线 $$y = x$$ 对称，设 $$M = (a, f(a))$$，则 $$N = (f(a), a)$$。
因为 $$N$$ 在 $$g(x)$$ 上，所以 $$a = g(f(a)) = \left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{f(a)}{2}}$$。
代入 $$f(a) = k a$$，得 $$a = \left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{k a}{2}}$$，取自然对数得 $$\ln a = -\frac{k a}{2}$$，即 $$k = -\frac{2 \ln a}{a}$$。
定义 $$h(a) = -\frac{2 \ln a}{a}$$，求其极值。$$h'(a) = -\frac{2(1 - \ln a)}{a^2}$$，极值点在 $$a = e$$，$$h(e) = -\frac{2}{e}$$。
当 $$a \in \left[\frac{1}{e}, e\right]$$，$$h(a)$$ 的取值范围为 $$\left[-\frac{2}{e}, 2e\right]$$。
答案为 $$B$$。
3. 解析：
直线 $$l_1: m x - y + 3 = 0$$ 关于 $$y = x$$ 对称的直线 $$l_2$$ 为交换 $$x$$ 和 $$y$$，即 $$l_2: m y - x + 3 = 0$$。
$$l_2$$ 与 $$l_3: y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$$ 垂直，斜率乘积为 $$-1$$。
$$l_2$$ 的斜率为 $$\frac{1}{m}$$，$$l_3$$ 的斜率为 $$-\frac{1}{2}$$，所以 $$\frac{1}{m} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$$，解得 $$m = \frac{1}{2}$$。
答案为 $$B$$。
4. 解析：
函数 $$f(x) = 2^x + x - 5$$ 的零点为 $$\alpha$$，即 $$2^\alpha + \alpha - 5 = 0$$，故 $$2^\alpha = 5 - \alpha$$。
函数 $$g(x) = \log_8 x^3 + x - 5 = \log_2 x + x - 5$$ 的零点为 $$\beta$$，即 $$\log_2 \beta + \beta - 5 = 0$$，故 $$\log_2 \beta = 5 - \beta$$。
注意到 $$2^\alpha = 5 - \alpha$$ 和 $$\log_2 \beta = 5 - \beta$$ 形式对称，因此 $$\alpha$$ 和 $$\beta$$ 是函数 $$h(x) = 2^x + \log_2 x - 5$$ 的零点。
由单调性可知 $$\alpha + \log_2 \beta = 5$$，因此 $$2^\alpha + \log_2 \beta = (5 - \alpha) + \log_2 \beta = 5$$。
答案为 $$D$$。
5. 解析：
函数 $$y = g(x)$$ 是 $$f(x) = 2^x$$ 的反函数，因此 $$g(x) = \log_2 x$$。
$$g\left(\frac{1}{2}\right) = \log_2 \frac{1}{2} = -1$$。
答案为 $$D$$。
6. 解析：
反函数的定义是 $$y = f(x)$$ 的反函数为 $$x = f^{-1}(y)$$。
因为 $$f(1) = 2$$，所以反函数恒过点 $$(2, 1)$$。
答案为 $$D$$。
7. 解析：
函数 $$y = f(x)$$ 是 $$y = 2^x$$ 的反函数，因此 $$f(x) = \log_2 x$$。
$$y = f(x^2 - 2x) = \log_2 (x^2 - 2x)$$，定义域为 $$x^2 - 2x > 0$$，即 $$x < 0$$ 或 $$x > 2$$。
函数 $$u = x^2 - 2x$$ 在 $$(1, +\infty)$$ 单调递增，因此 $$y = \log_2 u$$ 的递增区间为 $$(2, +\infty)$$。
答案为 $$B$$。
8. 解析：
方程 $$x e^x = 4$$ 的解为 $$x_1 = W(4)$$，其中 $$W$$ 是 Lambert W 函数。
方程 $$x \ln x = 4$$ 的解为 $$x_2 = e^{W(4)}$$。
因此 $$x_1 \cdot x_2 = W(4) \cdot e^{W(4)} = 4$$。
答案为 $$A$$。
9. 解析：
函数 $$y = f(x)$$ 是 $$y = 2^x$$ 的反函数，因此 $$f(x) = \log_2 x$$。
$$f(2) = \log_2 2 = 1$$。
答案为 $$A$$。
10. 解析：
函数 $$f(x) = \log_a (x + b)$$ 过点 $$(0, 0)$$，故 $$\log_a b = 0$$，即 $$b = 1$$。
反函数 $$f^{-1}(x) = a^x - b$$ 过点 $$(1, 2)$$，故 $$a^1 - 1 = 2$$，即 $$a = 3$$。
因此 $$a + b = 4$$。
答案为 $$B$$。