反函数的定义-对数函数知识点教师选题进阶单选题自测题解析-安徽省等高一数学必修,平均正确率54.0%

1. 解析：

由 $$αe^α = 2$$，设 $$f(x) = xe^x$$，则 $$f(α) = 2$$。注意到 $$f(1) = e > 2$$，$$f(\ln 2) = 2 \ln 2 < 2$$，故 $$α \in (\ln 2, 1)$$。

由 $$β \ln β = 2$$，设 $$g(x) = x \ln x$$，则 $$g(β) = 2$$。注意到 $$g(e) = e > 2$$，$$g(2) = 2 \ln 2 < 2$$，故 $$β \in (2, e)$$。

观察 $$f(α) = g(β) = 2$$，且 $$f$$ 和 $$g$$ 互为反函数关系（因为 $$f(x) = xe^x$$ 的反函数是 $$g(x) = x \ln x$$）。因此 $$α \ln α = β e^β$$ 不直接成立，但可以通过变量替换发现 $$α = \ln β$$ 或 $$β = e^α$$。

验证 $$α = \ln β$$：代入 $$αe^α = \ln β \cdot e^{\ln β} = β \ln β = 2$$，符合题意。因此 $$αβ = \ln β \cdot β = 2$$，故选 D。

3. 解析：

函数 $$y = f(x)$$ 与 $$y = 2^x$$ 关于 $$y$$ 轴对称，故 $$f(x) = 2^{-x}$$。

其反函数 $$f^{-1}(x)$$ 满足 $$y = 2^{-x}$$，即 $$x = 2^{-y}$$，解得 $$f^{-1}(x) = -\log_2 x$$。

求 $$y = f^{-1}(x^2 - 2x) = -\log_2 (x^2 - 2x)$$ 的单调递增区间，需先求定义域：$$x^2 - 2x > 0$$，即 $$x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$$。

由于 $$-\log_2 u$$ 随 $$u$$ 的增大而减小，故需 $$x^2 - 2x$$ 单调递减。$$x^2 - 2x$$ 在 $$(-\infty, 1)$$ 单调递减，结合定义域，单调递增区间为 $$(-\infty, 0)$$，故选 D。

4. 解析：

设 $$f$$ 为奇函数，则 $$f^{-1}$$ 也是奇函数。验证点 $$(-f(t), -t)$$ 是否在 $$y = f^{-1}(x + 1)$$ 上：

将 $$x = -f(t) - 1$$ 代入 $$y = f^{-1}(x + 1)$$，得 $$y = f^{-1}(-f(t)) = -t$$（因为 $$f^{-1}$$ 是奇函数）。

因此，点 $$(-f(t) - 1, -t)$$ 在函数图像上，对应选项 C。

5. 解析：

设幂函数 $$f(x) = x^k$$，代入点 $$(\frac{1}{3}, \sqrt{3})$$ 得 $$(\frac{1}{3})^k = 3^{1/2}$$，即 $$3^{-k} = 3^{1/2}$$，解得 $$k = -\frac{1}{2}$$。

故 $$f(x) = x^{-1/2}$$，其反函数 $$f^{-1}(x) = x^{-2}$$。

比较 $$f(a) = a^{-1/2}$$ 和 $$f^{-1}(a) = a^{-2}$$：

由于 $$0 < a < 1$$，取对数得 $$-\frac{1}{2} \ln a$$ 和 $$-2 \ln a$$。因为 $$\ln a < 0$$，故 $$-\frac{1}{2} \ln a < -2 \ln a$$，即 $$f(a) < f^{-1}(a)$$，故选 A。

6. 解析：

$$y = e^x$$ 的反函数为 $$f(x) = \ln x$$。

验证选项：

A: $$f(2x) = \ln(2x) \neq e^{2x}$$，错误。

B: $$f(2x) = \ln(2x) = \ln 2 + \ln x \neq \ln 2 \cdot \ln x$$，错误。

C: $$f(2x) = \ln(2x) \neq 2e^x$$，错误。

D: $$f(2x) = \ln(2x) = \ln x + \ln 2$$，正确。

故选 D。

7. 解析：

$$y = f(x)$$ 与 $$y = 2^x$$ 关于 $$y = x$$ 对称，故 $$f(x)$$ 是 $$2^x$$ 的反函数，即 $$f(x) = \log_2 x$$。

因此 $$f(2) = \log_2 2 = 1$$，故选 A。

8. 解析：

函数 $$f(x) = e^{x/3} - 3 \ln x$$ 的零点即 $$e^{x/3} = 3 \ln x$$。

设 $$g(x) = e^{x/3} - 3 \ln x$$，求导得 $$g'(x) = \frac{1}{3} e^{x/3} - \frac{3}{x}$$。

当 $$x \to 0^+$$，$$g(x) \to +\infty$$；当 $$x \to +\infty$$，$$g(x) \to +\infty$$。

通过数值分析或图像可知 $$g(x)$$ 在 $$(1, e)$$ 和 $$(e, +\infty)$$ 各有一个零点，共 2 个，故选 A。

9. 解析：

$$y = f(x)$$ 是 $$y = a^x$$ 的反函数，故 $$f(x) = \log_a x$$。

验证选项：

A: $$f(x^2) = \log_a (x^2) = 2 \log_a x = 2 f(x)$$，正确。

B: $$f(2x) = \log_a (2x) = \log_a 2 + \log_a x = f(2) + f(x)$$，正确。

C: $$f(\frac{1}{2} x) = \log_a (\frac{1}{2} x) = \log_a \frac{1}{2} + \log_a x = -f(2) + f(x)$$，即 $$f(x) - f(2)$$，正确。

D: $$f(2x) = \log_a (2x) \neq 2 \log_a x = 2 f(x)$$，错误。

故选 D。

10. 解析：

$$h(x)$$ 是 $$g(x) = e^x$$ 的反函数，故 $$h(x) = \ln x$$。

设点 $$A = (x, ax - x^2)$$，则其关于 $$x$$ 轴的对称点 $$A' = (x, -ax + x^2)$$ 在 $$h(x)$$ 上，即 $$-ax + x^2 = \ln x$$。

整理得 $$a = x - \frac{\ln x}{x}$$，需在 $$\frac{1}{e} \leq x \leq e$$ 内求解 $$a$$ 的范围。

设 $$φ(x) = x - \frac{\ln x}{x}$$，求导得 $$φ'(x) = 1 - \frac{1 - \ln x}{x^2}$$。

分析极值点：当 $$x = 1$$ 时 $$φ'(1) = 0$$，且 $$φ(x)$$ 在 $$(0, 1)$$ 单调递减，在 $$(1, +\infty)$$ 单调递增。

计算边界值：$$φ(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} - \frac{-1}{1/e} = \frac{1}{e} + e$$，$$φ(e) = e - \frac{1}{e}$$，$$φ(1) = 1$$。

因此 $$a$$ 的最小值为 $$φ(1) = 1$$，最大值为 $$φ(e) = e - \frac{1}{e}$$，故选 B。