对数（型）函数过定点-4.4 对数函数知识点考前进阶单选题自测题解析-陕西省等高一数学必修,平均正确率54.0%

2、['对数（型）函数过定点']

正确率60.0%函数$$y=\operatorname{l o g}_{a} ( x+2 )+1$$的图象过定点（）

A.$$( 1， 0 )$$

B.$$(-1， 1 )$$

C.$$(-2， 1 )$$

D.$$( 2， 1 )$$

3、['对数（型）函数过定点'， '直线的一般式方程及应用'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%已知函数$$y=\operatorname{l o g}_{a} ( x-1 )+2 ( a > 0$$，且$${{a}{≠}{1}{)}}$$的图象恒过定点$${{A}}$$.若直线$$m x+n y=2$$过点$${{A}{，}}$$其中$${{m}{，}{n}}$$是正实数，则$$\frac1 m+\frac2 n$$的最小值是（）

A.$${{3}{+}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$

C.$$\frac{9} {2}$$

D.$${{5}}$$

4、['对数（型）函数过定点'， '展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{a} ( 3 x-2 )+1 ( a > 0$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$的图象恒过定点$${{A}{，}}$$且定点$${{A}}$$在直线$$s x+t y=6$$上，则二项式$$\left( x-\frac{s+t} {x} \right)^{6}$$的展开式中含$${{x}^{2}}$$的项为（）

A.$${{5}{4}{0}{{x}^{2}}}$$

B.$${{−}{{5}{4}{0}}{{x}^{2}}}$$

C.$${{−}{{5}{4}{0}}}$$

D.$${{5}{4}{0}}$$

5、['对数（型）函数过定点'， '对数（型）函数的定义域'， '对数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的单调性'， '函数零点个数的判定'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{2}+l g x-3$$的一个零点个数是（）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

6、['对数（型）函数过定点'， '函数图象的平移变换']

正确率60.0%函数$$f ( x )=1+\operatorname{l o g}_{a} ( x-2 )$$的图像经过定点$${{(}{)}}$$

A.$$( 3， 1 )$$

B.$$( 2， 0 )$$

C.$$( 2， 2 )$$

D.$$( 3， 0 )$$

7、['对数（型）函数过定点']

正确率60.0%函数$$y=3+l o g_{a} \， \， ( \， 2 x+3 )$$的图象必经过定点$${{P}}$$的坐标为（）

A.$$( \mathbf{\alpha}-\mathbf{1}， \mathbf{\alpha} 3 )$$

B.$$( \ -1， \ 4 )$$

C.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$

D.$$( {\bf2}， {\bf\pi2} )$$

8、['对数（型）函数过定点'， '对数（型）函数的定义域']

正确率60.0%已知$$a > 0， \， \， a \neq1$$，则$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)} & {}=l o g_{a} \frac{2 x+1} {x-1}$$的图象恒过点（）

A.$$( {\bf1}， \enspace0 )$$

B.$$( \mathbf{\theta}-2， \mathbf{\theta} 0 )$$

C.$$( \ -1， \ 0 )$$

D.$$( 1， \ 4 )$$

9、['对数（型）函数过定点'， '指数（型）函数过定点'， '函数求值'， '对数恒等式']

正确率60.0%已知函数$$y=\operatorname{l o g}_{a} \， \， ( \， x+3 ) \， \，-1 \， \， ( \， a > 0$$，且$${{a}{≠}{1}{）}}$$的图象恒过定点$${{A}}$$，若点$${{A}}$$也在函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=3^{x}+b$$的图象上，则$$f ~ ( \operatorname{l o g}_{3} 2 ) ~=~$$（）

A.$$\frac{8} {9}$$

B.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$

C.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {9}} \\ \end{array}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$

2、对于函数 $$y=\log_{a}(x+2)+1$$，对数函数 $$\log_{a}(x+2)$$ 的定点出现在真数为 1 时，即 $$x+2=1$$，解得 $$x=-1$$。此时 $$y=\log_{a}(1)+1=0+1=1$$，因此图象过定点 $$(-1, 1)$$，答案为 B。

3、函数 $$y=\log_{a}(x-1)+2$$ 的定点出现在 $$x-1=1$$ 时，即 $$x=2$$，此时 $$y=\log_{a}(1)+2=0+2=2$$，故定点 $$A$$ 为 $$(2, 2)$$。将其代入直线方程 $$mx+ny=2$$，得 $$2m+2n=2$$，即 $$m+n=1$$。求 $$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$$ 的最小值，利用柯西不等式或权方和不等式：

$$\frac{1}{m}+\frac{2}{n} = \left(\frac{1}{m}+\frac{2}{n}\right)(m+n) = 3 + \frac{n}{m} + \frac{2m}{n} \geq 3 + 2\sqrt{2}$$，当且仅当 $$\frac{n}{m}=\frac{2m}{n}$$ 时取等，即 $$n=\sqrt{2}m$$。结合 $$m+n=1$$，解得 $$m=2-\sqrt{2}$$，$$n=\sqrt{2}-1$$。因此最小值为 $$3+2\sqrt{2}$$，答案为 B。

4、函数 $$f(x)=\log_{a}(3x-2)+1$$ 的定点出现在 $$3x-2=1$$ 时，即 $$x=1$$，此时 $$y=\log_{a}(1)+1=1$$，故定点 $$A$$ 为 $$(1, 1)$$。将其代入直线方程 $$sx+ty=6$$，得 $$s+t=6$$。二项式 $$\left(x-\frac{s+t}{x}\right)^6 = \left(x-\frac{6}{x}\right)^6$$ 的展开式中，通项为：

$$T_{k+1} = C_6^k x^{6-k} \left(-\frac{6}{x}\right)^k = (-6)^k C_6^k x^{6-2k}$$。要求含 $$x^2$$ 的项，令 $$6-2k=2$$，解得 $$k=2$$，故该项为 $$(-6)^2 C_6^2 x^2 = 36 \times 15 x^2 = 540x^2$$，答案为 A。

5、函数 $$f(x)=x^2+\lg x-3$$ 的零点问题。定义域为 $$x>0$$，考察函数单调性和极值：

导数 $$f'(x)=2x+\frac{1}{x \ln 10}>0$$ 对 $$x>0$$ 恒成立，故 $$f(x)$$ 单调递增。又 $$f(1)=1+0-3=-2<0$$，$$f(10)=100+1-3=98>0$$，由中间值定理知存在唯一零点，答案为 B。

6、函数 $$f(x)=1+\log_{a}(x-2)$$ 的定点出现在 $$x-2=1$$ 时，即 $$x=3$$，此时 $$y=1+\log_{a}(1)=1$$，故图象过定点 $$(3, 1)$$，答案为 A。

7、函数 $$y=3+\log_{a}(2x+3)$$ 的定点出现在 $$2x+3=1$$ 时，即 $$x=-1$$，此时 $$y=3+\log_{a}(1)=3$$，但选项中无 $$(-1, 3)$$。检查题目描述，可能为 $$y=3+\log_{a}(2x+3)$$ 的定点 $$(-1, 3)$$ 与选项不符，但最接近的是 $$(-1, 4)$$，可能是题目笔误，暂选 B。

8、函数 $$f(x)=\log_{a}\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)$$ 的定点出现在 $$\frac{2x+1}{x-1}=1$$ 时，解得 $$2x+1=x-1$$，即 $$x=-2$$，此时 $$y=\log_{a}(1)=0$$，故图象恒过点 $$(-2, 0)$$，答案为 B。

9、函数 $$y=\log_{a}(x+3)-1$$ 的定点出现在 $$x+3=1$$ 时，即 $$x=-2$$，此时 $$y=-1$$，故定点 $$A$$ 为 $$(-2, -1)$$。将其代入 $$f(x)=3^x+b$$，得 $$3^{-2}+b=-1$$，解得 $$b=-1-\frac{1}{9}=-\frac{10}{9}$$。因此 $$f(\log_3 2)=3^{\log_3 2} + b = 2 - \frac{10}{9} = \frac{8}{9}$$，答案为 A。

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