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正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{\frac{2} {5 \pi}} x-\mathrm{s i n} x$$的零点个数为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
2、['对数型复合函数的应用'， '底数对对数函数图象的影响'， '函数零点的值或范围问题']正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{a} x-4^{x-1} ( a > 0$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$在$$\left( 0， \ \frac{1} {2} \right]$$上无零点，在$$\left( \frac{1} {2}， \， 1 \right)$$上有零点，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
D
A.$$\left( 0， \ \frac{1} {4} \right)$$
B.$$\left( \frac{1} {4}， ~ 1 \right) \cup( 1， ~+\infty)$$
C.$$\left( 0， \enspace\frac{1} {4} \right]$$
D.$$\left( \frac{1} {4}， \， 1 \right)$$
3、['底数对对数函数图象的影响'， '函数图象的平移变换'， '底数对指数函数图象的影响']正确率60.0%函数$$f ( x )=1+\operatorname{l o g}_{2} x$$与$$g ( x )=\left( \frac{1} {2} \right)^{x-1}$$在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）
C
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
4、['底数对对数函数图象的影响'， '底数对指数函数图象的影响'， '正弦函数图象的画法'， '函数零点的概念']正确率40.0%设函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} x-\operatorname{l o g}_{3} x，$$$$g ( x )=3^{x}-\operatorname{l o g}_{0. 5} x，$$$$h ( x )=\operatorname{s i n} x-\operatorname{l o g}_{0. 5} x$$的零点分别为$$a， ~ b， ~ c，$$则（）
A
A.$$a > c > b$$
B.$$c > b > a$$
C.$$c > a > b$$
D.$$a > b > c$$
5、['底数对对数函数图象的影响'， '底数对指数函数图象的影响'， '幂指对综合比较大小'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%已知$${{a}}$$，$${{b}}$$，$$c \in( 0，+\infty)$$，$$a=5+\operatorname{l o g}_{\frac{1} {4}} \， a$$，$$b+\frac{1} {2^{b}}=3$$，$$c+4^{c}=4$$，则（）
D
A.$$b < a < c$$
B.$$a < c < b$$
C.$$c < a < b$$
D.$$c < b < a$$
6、['底数对对数函数图象的影响'， '函数图象的识别']正确率60.0%若$$0 < a < 1，$$则函数$$g ( x )=\operatorname{l o g}_{a} ( | x |-1 )$$的图象可能是（）
D
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
7、['底数对对数函数图象的影响'， '指数（型）函数的单调性'， '底数对指数函数图象的影响'， '对数（型）函数的单调性'， '指数与对数的关系'， '不等式比较大小'， '反比例函数模型的应用']正确率40.0%若$$a， b， c$$满足$$2^{a}=\frac{1} {a}， ~ \operatorname{l n} b=\frac{1} {b}， ~ e^{c}=\frac{1} {c}$$，则$$a， b， c$$的大小关系为（）
B
A.$$a < b < c$$
B.$$c < a < b$$
C.$$b < c < a$$
D.$$c < b < a$$
8、['底数对对数函数图象的影响'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '对数的运算性质'， '函数中的恒成立问题'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%已知$${{a}{>}{0}}$$且$${{a}{≠}{1}}$$，若不等式$$x^{2}-\operatorname{l o g}_{a} x \leqslant0$$在$$x \in( 0， \frac{1} {2} ]$$内恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
B
A.$${\frac{1} {1 6}} < a < 1$$
B.$$\frac{1} {1 6} \leqslant a < 1$$
C.$$0 < a < \frac{1} {1 6}$$
D.$$0 < a \leq\frac{1} {1 6}$$
9、['指数（型）函数过定点'， '底数对对数函数图象的影响'， '底数对指数函数图象的影响']正确率60.0%svg异常
D
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
10、['底数对对数函数图象的影响'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%若$$\operatorname{l o g}_{m} 0. 5 > \operatorname{l o g}_{n} 0. 5 > 0$$，则（）
D
A.$$m < ~ n < ~ 1$$
B.$$1 < ~ m < ~ n$$
C.$$1 < ~ n < ~ m$$
D.$$n < ~ m < ~ 1$$
1. 函数$$f(x)=\log_{\frac{2}{5\pi}} x - \sin x$$的零点个数为（）。
解析：首先分析定义域$$x > 0$$。由于$$\frac{2}{5\pi} < 1$$，对数函数单调递减。考虑$$f(1) = 0 - \sin 1 \approx -0.8415 < 0$$，$$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \log_{\frac{2}{5\pi}} \frac{\pi}{2} - 1$$。计算$$\log_{\frac{2}{5\pi}} \frac{\pi}{2} = \frac{\ln \frac{\pi}{2}}{\ln \frac{2}{5\pi}} \approx \frac{0.4516}{-2.2347} \approx -0.2021$$，所以$$f\left(\frac{\pi}{2}\right) \approx -1.2021 < 0$$。进一步分析$$f\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \log_{\frac{2}{5\pi}} \frac{5\pi}{2} - \sin \frac{5\pi}{2} = \frac{\ln \frac{5\pi}{2}}{\ln \frac{2}{5\pi}} - 1 \approx \frac{1.7047}{-2.2347} - 1 \approx -1.763 < 0$$。由于$$\sin x$$在$$(0, \pi)$$内为正，在$$(\pi, 2\pi)$$内为负，结合对数函数的单调性，可以推断$$f(x)$$在$$(0, \pi)$$内有一个零点，在$$(\pi, 2\pi)$$内有一个零点，在$$(2\pi, 3\pi)$$内有一个零点，共3个零点。
答案：B
2. 已知函数$$f(x)=\log_a x - 4^{x-1}$$在$$\left(0, \frac{1}{2}\right]$$上无零点，在$$\left(\frac{1}{2}, 1\right)$$上有零点，求实数$$a$$的取值范围。
解析：首先，$$f(x)$$在$$\left(0, \frac{1}{2}\right]$$上无零点，意味着$$f\left(\frac{1}{2}\right) \leq 0$$，即$$\log_a \frac{1}{2} - 4^{-\frac{1}{2}} \leq 0$$，化简得$$\log_a \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}$$。对于$$a > 1$$，$$\log_a \frac{1}{2} < 0$$，不等式成立；对于$$0 < a < 1$$，不等式变为$$\frac{1}{2} \leq a^{\frac{1}{2}}$$，即$$a \geq \frac{1}{4}$$。其次，$$f(x)$$在$$\left(\frac{1}{2}, 1\right)$$上有零点，意味着$$f\left(\frac{1}{2}^+\right) > 0$$且$$f(1^-) < 0$$。由于$$f(1) = \log_a 1 - 4^{0} = -1 < 0$$，只需$$f\left(\frac{1}{2}^+\right) > 0$$，即$$\log_a \frac{1}{2} - \frac{1}{2} > 0$$，解得$$a < \frac{1}{4}$$。综上，$$a \in \left(\frac{1}{4}, 1\right)$$。
答案：D
3. 函数$$f(x)=1+\log_2 x$$与$$g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}$$的图像大致是（）。
解析：$$f(x)$$是单调递增的对数函数，经过点$$(1,1)$$；$$g(x)$$是单调递减的指数函数，经过点$$(1,1)$$。两者在$$x=1$$处相交。由于图像选项缺失，无法具体选择。
答案：无
4. 设函数$$f(x)=\sin x - \log_3 x$$，$$g(x)=3^x - \log_{0.5} x$$，$$h(x)=\sin x - \log_{0.5} x$$的零点分别为$$a, b, c$$，比较大小。
解析：对于$$f(x)$$，在$$x \in (0, \pi)$$内，$$\sin x$$从0增加到1，$$\log_3 x$$从$$-\infty$$增加到$$\log_3 \pi$$，零点$$a \in (0, \pi)$$。对于$$g(x)$$，$$3^x$$从1增加到$$3^{\pi}$$，$$\log_{0.5} x$$从$$+\infty$$减少到$$\log_{0.5} \pi$$，零点$$b \in (0,1)$$。对于$$h(x)$$，$$\sin x$$在$$(0, \pi)$$内为正，$$\log_{0.5} x$$在$$(0,1)$$内为正，在$$(1, \pi)$$内为负，零点$$c \in (1, \pi)$$。因此$$b < a < c$$。
答案：C
5. 已知$$a, b, c \in (0,+\infty)$$，$$a=5+\log_{\frac{1}{4}} a$$，$$b+\frac{1}{2^b}=3$$，$$c+4^c=4$$，比较大小。
解析：对于$$a$$，设$$a=4^{-k}$$，则$$4^{-k}=5+k$$，解得$$k \approx -1.38$$，$$a \approx 4^{1.38} \approx 6.96$$。对于$$b$$，设$$b=2$$，$$2+\frac{1}{4}=2.25 < 3$$；设$$b=1$$，$$1+\frac{1}{2}=1.5 < 3$$；设$$b=3$$，$$3+\frac{1}{8}=3.125 > 3$$，故$$b \in (2,3)$$。对于$$c$$，设$$c=1$$，$$1+4=5 > 4$$；设$$c=0.5$$，$$0.5+2=2.5 < 4$$；设$$c=0.8$$，$$0.8+4^{0.8} \approx 0.8+3.03 \approx 3.83 < 4$$；设$$c=0.9$$，$$0.9+4^{0.9} \approx 0.9+3.48 \approx 4.38 > 4$$，故$$c \in (0.8,0.9)$$。因此$$c < b < a$$。
答案：D
6. 若$$0 < a < 1$$，函数$$g(x)=\log_a (|x|-1)$$的图像可能是（）。
解析：定义域为$$|x| > 1$$，即$$x < -1$$或$$x > 1$$。由于$$0 < a < 1$$，对数函数单调递减。图像在$$x > 1$$时从$$+\infty$$递减，在$$x < -1$$时从$$+\infty$$递减。由于图像选项缺失，无法具体选择。
答案：无
7. 若$$a, b, c$$满足$$2^a=\frac{1}{a}$$，$$\ln b=\frac{1}{b}$$，$$e^c=\frac{1}{c}$$，比较大小。
解析：对于$$2^a=\frac{1}{a}$$，设$$a=0.5$$，$$2^{0.5} \approx 1.414 > 2$$；设$$a=0.3$$，$$2^{0.3} \approx 1.231 > 3.333$$；设$$a=0.4$$，$$2^{0.4} \approx 1.319 > 2.5$$，故$$a \in (0,1)$$且较小。对于$$\ln b=\frac{1}{b}$$，设$$b=1.5$$，$$\ln 1.5 \approx 0.405 < 0.666$$；设$$b=2$$，$$\ln 2 \approx 0.693 < 0.5$$；设$$b=1.7$$，$$\ln 1.7 \approx 0.530 \approx 0.588$$，故$$b \approx 1.7$$。对于$$e^c=\frac{1}{c}$$，设$$c=0.5$$，$$e^{0.5} \approx 1.648 > 2$$；设$$c=0.3$$，$$e^{0.3} \approx 1.349 > 3.333$$；设$$c=0.4$$，$$e^{0.4} \approx 1.491 > 2.5$$，故$$c \in (0,1)$$且比$$a$$大。因此$$a < c < b$$。
答案：A
8. 已知$$a > 0$$且$$a \neq 1$$，若不等式$$x^2 - \log_a x \leq 0$$在$$x \in \left(0, \frac{1}{2}\right]$$内恒成立，求实数$$a$$的取值范围。
解析：不等式等价于$$x^2 \leq \log_a x$$。对于$$x \in \left(0, \frac{1}{2}\right]$$，$$\log_a x$$在$$0 < a < 1$$时为正。取$$x=\frac{1}{2}$$，得$$\frac{1}{4} \leq \log_a \frac{1}{2}$$，即$$\frac{1}{4} \leq \frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln a}$$，解得$$a \leq \frac{1}{16}$$。同时$$a$$必须满足$$0 < a < 1$$。因此$$a \in \left(0, \frac{1}{16}\right]$$。
答案：D
10. 若$$\log_m 0.5 > \log_n 0.5 > 0$$，则（）。
解析：不等式等价于$$\frac{\ln 0.5}{\ln m} > \frac{\ln 0.5}{\ln n} > 0$$。由于$$\ln 0.5 < 0$$，所以$$\ln m < \ln n < 0$$，即$$0 < m < n < 1$$。
答案：D