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正确率60.0%若函数$$y=f ( x )$$是函数$$y=2^{x-1}$$的反函数，则$$f ( 4 )=$$（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
2、['复合函数的单调性判定'， '对数（型）函数的单调性'， '函数的对称性'， '反函数的定义'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%若函数$$y=f ~ ( x )$$的图象与$${{y}{=}{{2}^{x}}}$$的图象关于$${{y}}$$轴对称，若$$y=f^{-1} ~ ( x )$$是$$y=f ~ ( x )$$的反函数，则$$y=f^{-1} ~ ( \ x^{2}-2 x )$$的单调递增区间是（）
D
A..$$[ 1， ~+\infty)$$
B..$$( \mathrm{\bf~ 2， ~}+\infty)$$
C..$$(-\infty， \ 1 ]$$
D.$$( \mathrm{\mathbf{~-\infty， \ 0 ~}} )$$
3、['复合函数的单调性判定'， '对数（型）函数的定义域'， '对数（型）函数的单调性'， '反函数的定义'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%若函数$$y=f ~ ( x )$$与$${{y}{=}{{1}{0}^{x}}}$$互为反函数，则$$y=f ~ ( x^{2}-2 x )$$的单调递减区间是（）
D
A.$$( \mathrm{\bf~ 2， ~}+\infty)$$
B.$$( \mathrm{~-\infty， \ 1 ~} )$$
C.$$( 1， ~+\infty)$$
D.$$( \mathrm{\mathbf{~-\infty， \ 0 ~}} )$$
4、['导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '反函数的定义']正确率60.0%若实数$${{a}}$$满足方程$$\l n x+x-2=0$$，实数$${{b}}$$满足方程$$e^{x}+x-2=0$$，则函数$$y=x l n | x |+a+b$$的极大值为（）
C
A.$${{1}{+}{e}}$$
B.$$1+\frac{1} {e}$$
C.$$2+\frac{1} {e}$$
D.$${{2}{−}{e}}$$
5、['反函数的性质'， '反函数的定义']正确率60.0%如果函数$$y=f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) )$$的反函数是$$y=f^{-1} ~ ( \textbf{x} ) ~ ( \textbf{x}， \ y \in R )$$，则函数$$y=f^{-1} \， \， ( \ x-1 ) \， \， \， \， ( \ x \in R )$$反函数是（）
A
A.$$y=f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)+1 \left( \begin{matrix} {x \in R} \\ \end{matrix} \right)$$
B.$$y=f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)-1 \left( \begin{matrix} {x \in R} \\ \end{matrix} \right)$$
C.$$y=f \left( \begin{matrix} {x+1} \\ \end{matrix} \right) \ \ ( \begin{matrix} {x \in R} \\ \end{matrix} )$$
D.$$y=f \left( \begin{matrix} {x-1} \\ \end{matrix} \right) \ \left( \begin{matrix} {x \in R} \\ \end{matrix} \right)$$
6、['指数与对数的关系'， '反函数的定义']正确率80.0%若点$$( b， a )$$在函数$${{y}{=}{{e}^{x}}}$$的图像上，$${{a}{≠}{1}}$$，则下列点在函数$${{y}{=}{{l}{n}}{x}}$$的图像上的是
C
A.$$( a^{2}， b )$$
B.$$( a e， 1-b )$$
C.$$( a， b )$$
D.$$( \frac{1} {a}， b )$$
7、['反函数的性质'， '反函数的定义']正确率60.0%函数$$y=\operatorname{l o g}_{a} x ( a > 0， a \neq1 )$$的反函数的图象过$$( \frac{1} {2}， \ \frac{\sqrt{2}} {2} )$$点，则$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$${{3}}$$
8、['函数求值'， '指数与对数的关系'， '反函数的定义']正确率60.0%函数$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{3}}{x}}$$的反函数为$$y=f ( x )$$，则$$f ( 2 )=$$（）
A
A.$${{9}}$$
B.$${{1}{8}}$$
C.$${{3}{2}}$$
D.$${{3}{6}}$$
9、['指数（型）函数的单调性'， '反函数的性质'， '反函数的定义']正确率40.0%设$$f^{-1} ( x )$$是函数$$f ( x )=2^{x}-\left( \frac{1} {3} \right)^{x}+x$$的反函数，则使$$f^{-1} ( x ) > 1$$成立的$${{x}}$$的取值范围是 （）
A
A.$$x > \frac{8} {3}$$
B.$$x < \frac{8} {3}$$
C.$$0 < x < \frac{8} {3}$$
D.$${{x}{<}{0}}$$
10、['反函数的性质'， '反函数的定义']正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，当$${{x}{<}{0}}$$，$$f ( x )=\left( \frac{1} {3} \right)^{x}$$，$$f^{-1} ( x )$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的反函数，那么$$f^{-1} ~ (-9 )=$$（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
1. 首先求函数 $$y=2^{x-1}$$ 的反函数：
设 $$y=2^{x-1}$$，交换 $$x$$ 和 $$y$$ 并解方程：
$$x=2^{y-1}$$
取对数得：
$$y-1=\log_2 x$$
因此反函数为：
$$f(x)=\log_2 x +1$$
计算 $$f(4)$$：
$$f(4)=\log_2 4 +1=2+1=3$$
正确答案：C
2. 函数 $$y=f(x)$$ 与 $$y=2^x$$ 关于 $$y$$ 轴对称，故：
$$f(x)=2^{-x}$$
其反函数 $$f^{-1}(x)$$ 满足 $$x=2^{-y}$$，解得：
$$f^{-1}(x)=-\log_2 x$$
考虑 $$y=f^{-1}(x^2-2x)=-\log_2(x^2-2x)$$，求单调递增区间即求 $$x^2-2x$$ 的单调递减区间（因为外层函数是减函数）。
$$x^2-2x$$ 在 $$(-\infty,1)$$ 单调递减，但需满足定义域 $$x^2-2x>0$$，即 $$x<0$$ 或 $$x>2$$。
综合得单调递增区间为 $$(-\infty,0)$$。
正确答案：D
3. 函数 $$y=f(x)$$ 与 $$y=10^x$$ 互为反函数，故：
$$f(x)=\log_{10} x$$
考虑 $$y=f(x^2-2x)=\log_{10}(x^2-2x)$$，求单调递减区间即求 $$x^2-2x$$ 的单调递减区间且 $$x^2-2x>0$$。
$$x^2-2x$$ 在 $$(-\infty,1)$$ 单调递减，定义域为 $$x<0$$ 或 $$x>2$$。
因此单调递减区间为 $$(-\infty,0)$$。
正确答案：D
4. 解方程 $$\ln a +a-2=0$$，得 $$a=1$$（验证成立）。
解方程 $$e^b+b-2=0$$，得 $$b=0$$（验证成立）。
因此函数为 $$y=x\ln|x|+1$$。
求导得：
$$y'=\ln|x|+1$$
令 $$y'=0$$，得 $$x=\frac{1}{e}$$ 或 $$x=-\frac{1}{e}$$。
分析单调性知 $$x=\frac{1}{e}$$ 是极大值点，极大值为：
$$y\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\ln\left(\frac{1}{e}\right)+1=-\frac{1}{e}+1=1-\frac{1}{e}$$
但选项中没有此答案，可能题目描述有误。重新检查方程：
若方程为 $$\ln a +a-2=0$$ 和 $$e^b+b-2=0$$，则 $$a=1$$，$$b=\ln 2$$。
函数为 $$y=x\ln|x|+1+\ln 2$$，极大值点为 $$x=\frac{1}{e}$$，极大值为 $$1+\ln 2-\frac{1}{e}$$，仍不匹配选项。
可能题目描述应为其他形式，暂无法确定。
（注：原题可能有笔误或描述不完整）
5. 设 $$y=f^{-1}(x-1)$$，求其反函数：
交换 $$x$$ 和 $$y$$ 得 $$x=f^{-1}(y-1)$$，即 $$y-1=f(x)$$，因此反函数为 $$y=f(x)+1$$。
正确答案：A
6. 点 $$(b,a)$$ 在 $$y=e^x$$ 上，故 $$a=e^b$$，即 $$b=\ln a$$。
函数 $$y=\ln x$$ 上的点需满足 $$y=\ln x$$，即 $$(x,\ln x)$$。
检查选项：
A: $$(a^2,b)=(\left(e^b\right)^2,b)=(e^{2b},b)$$，不满足 $$b=\ln(e^{2b})$$。
B: $$(ae,1-b)=(e^{b+1},1-b)$$，不满足 $$1-b=\ln(e^{b+1})$$。
C: $$(a,b)=(e^b,b)$$，满足 $$b=\ln(e^b)$$。
D: $$(\frac{1}{a},b)=(e^{-b},b)$$，不满足 $$b=\ln(e^{-b})$$。
正确答案：C
7. 函数 $$y=\log_a x$$ 的反函数为 $$y=a^x$$。
反函数过点 $$\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$，代入得：
$$\frac{\sqrt{2}}{2}=a^{1/2}$$，即 $$a=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{1}{2}$$。
正确答案：C
8. 函数 $$y=\log_3 x$$ 的反函数为 $$y=3^x$$，即 $$f(x)=3^x$$。
计算 $$f(2)=3^2=9$$。
正确答案：A
9. 求 $$f^{-1}(x)>1$$ 的范围等价于求 $$x>f(1)$$。
计算 $$f(1)=2^1-\left(\frac{1}{3}\right)^1+1=2-\frac{1}{3}+1=\frac{8}{3}$$。
因此 $$x>\frac{8}{3}$$。
正确答案：A
10. 当 $$x<0$$ 时，$$f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x$$。由于 $$f(x)$$ 是奇函数，当 $$x>0$$ 时，$$f(x)=-f(-x)=-\left(\frac{1}{3}\right)^{-x}=-3^x$$。
求 $$f^{-1}(-9)$$ 即求 $$x$$ 使得 $$f(x)=-9$$。
当 $$x>0$$ 时，$$-3^x=-9$$，解得 $$x=2$$。
当 $$x<0$$ 时，$$\left(\frac{1}{3}\right)^x=-9$$ 无解。
因此 $$f^{-1}(-9)=2$$。
正确答案：C