对数方程与对数不等式的解法-4.4 对数函数知识点课后进阶单选题自测题解析-河北省等高一数学必修,平均正确率52.0%

1、['交集'， '对数方程与对数不等式的解法'， '指数方程与指数不等式的解法']

正确率40.0%若集合$$A=\{x | 1 \leqslant3^{x} \leqslant8 1 \}， \， \， \， B=\{x | l o g_{2} \， \， ( \， x^{2}-x ) \， \， \， > 1 \}$$，则 $\text{[math]}$ ）

A.$$( \ 2， \ 4 ]$$

B.$$[ 2， ~ 4 ]$$

C.$$( ~-\infty， ~ 0 ) ~ \cup[ 0， ~ 4 ]$$

D.$$( \mathbf{\psi}-\infty， \mathbf{\psi}-\mathbf{1} ) \mathbf{\psi} \cup[ 0， \mathbf{\psi} 4 ]$$

2、['函数奇偶性的应用'， '对数（型）函数的定义域'， '对数（型）函数的值域'， '对数方程与对数不等式的解法']

正确率40.0%已知函数$$y=f ( x )$$是奇函数，当$$x \in[ 0， ~ 1 ]$$时，$$f ( x )=0，$$当$${{x}{>}{1}}$$时，$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{2} ( x-1 )，$$则$$f ( x-1 ) < 0$$的解集为（）

A.$$(-\infty， ~-1 ) \cup( 2， ~ 3 )$$

B.$$(-1， ~ 0 ) \cup( 2， ~ 3 )$$

C.$$( 2， \ 3 )$$

D.$$(-\infty， ~-3 ) \cup( 2， ~ 3 )$$

3、['并集'， '一元二次不等式的解法'， '对数方程与对数不等式的解法']

正确率60.0%已知集合$$A=\{x | x^{2}-3 x+2 \geqslant0 \}， \， \， \， B=\{x | l o g_{3} \， \， ( x+2 ) \， \， \， < 1 \}$$，则$$A \cup B=\omicron$$）

A.$$\{x |-2 < x < 1 \}$$

B.$$\{x | x \leqslant1$$或$${{x}{⩾}{2}{\}}}$$

C.$$\{x | x < 1 \}$$

D.$${{∅}}$$

4、['利用函数单调性解不等式'， '对数方程与对数不等式的解法'， '绝对值不等式的解法'， '函数单调性的判断']

正确率40.0%已知定义域为$${{R}}$$的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象经过点$$\left( 1， 1 \right)$$，且对任意实数$${{x}_{1}{<}{{x}_{2}}}$$，都有$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} >-2，$$则不等式$$f ( \operatorname{l o g}_{2} | 3^{x}-1 | ) < 3-\operatorname{l o g} \sqrt{2} | 3^{x}-1 |$$的解集为$${{(}{)}}$$

A.$$(-\infty， 0 ) \cup( 0， 1 )$$

B.$$( 0，+\infty)$$

C.$$(-1， 0 ) \cup( 0， 3 )$$

D.$$(-\infty， 1 )$$

5、['交集'， '对数方程与对数不等式的解法']

正确率60.0%已知集合$$A=\{x | x+1 > 0 \}， \， \， \， B=\{x | \operatorname{l o g}_{2} x < 1 \}$$，则$$A \cap B=( \eta)$$

A.$$\{x |-1 < x < 2 \}$$

B.$$\{x | x >-1 \}$$

C.$$\{x |-1 < x < 1 \}$$

D.$$\{x | 0 < x < 2 \}$$

6、['交集'， '对数方程与对数不等式的解法'， '对数（型）函数的单调性'， '利用集合的运算求参数']

正确率40.0%已知集合$$A=\left\{x | \operatorname{l o g}_{0. 5} \left( x-1 \right) >-2 \right\}， B=\left\{x | . a < x < 6 \right\}$$，且$$A \bigcap B=\{x | 2 < x < b \}$$，则 $\text{[math]}$ $${）}$$.

A.$${{5}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{7}}$$

D.$${{4}}$$

7、['全集与补集'， '对数方程与对数不等式的解法']

正确率60.0%集合$$A=\{x | \operatorname{l o g}_{2} x \leqslant2 \}$$，则$$C_{R} A=($$)

A.$$\{x | x \leqslant0$$或$${{x}{⩾}{4}{\}}}$$

B.$$\{x | x < 0$$或$${{x}{⩾}{4}{\}}}$$

C.$$\{x | x < 0$$或$${{x}{>}{4}{\}}}$$

D.$$\{x | x \leqslant0$$或$${{x}{>}{4}{\}}}$$

8、['函数奇偶性的应用'， '对数（型）函数的单调性'， '对数方程与对数不等式的解法']

正确率60.0%已知函数$$f \left( x \right)=e^{\left\vert x \right\vert}+x^{2}$$，若实数$${{a}}$$满足$$f \left( \operatorname{l o g}_{2} a \right) \leqslant f \left( 1 \right)$$，则$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( 0， 1 ]$$

B.$$[ \frac{1} {2}， 2 \brack$$

C.$$( 0， 2 ]$$

D.$$[ 2，+\infty)$$

9、['对数方程与对数不等式的解法'， '对数的运算性质']

正确率60.0%若$$\operatorname{l o g}_{2} {( 2 x )}=4$$，则$${{x}{=}{（}}$$）

A.$${{4}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{8}}$$

10、['对数方程与对数不等式的解法'， '对数的运算性质']

正确率60.0%方程$$\operatorname{l o g}_{\sqrt5} \sqrt{2 x+1}=\operatorname{l o g}_{5} ( x^{2}-2 )$$的解集是（）

A.$${{\{}{3}{\}}}$$

B.$${{\{}{−}{1}{\}}}$$

C.$$\{-1， 3 \}$$

D.$$\{1， 3 \}$$

1. 解析：

首先解集合A：$$1 \leqslant 3^x \leqslant 81$$，即$$3^0 \leqslant 3^x \leqslant 3^4$$，所以$$0 \leqslant x \leqslant 4$$，即$$A = [0, 4]$$。

再解集合B：$$\log_2 (x^2 - x) > 1$$，即$$x^2 - x > 2$$，解得$$x < -1$$或$$x > 2$$，即$$B = (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$$。

求$$A \cap B$$的交集：$$[0, 4] \cap \left( (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) \right) = (2, 4]$$，故选A。

2. 解析：

函数$$f(x)$$是奇函数，当$$x \in [0, 1]$$时$$f(x) = 0$$，当$$x > 1$$时$$f(x) = \log_2 (x - 1)$$。

由奇函数性质，当$$x < -1$$时$$f(x) = -\log_2 (-x - 1)$$。

解不等式$$f(x - 1) < 0$$：

（1）当$$x - 1 \in [0, 1]$$，即$$x \in [1, 2]$$时，$$f(x - 1) = 0$$不满足不等式。

（2）当$$x - 1 > 1$$，即$$x > 2$$时，$$\log_2 (x - 2) < 0$$，解得$$2 < x < 3$$。

（3）当$$x - 1 < -1$$，即$$x < 0$$时，$$-\log_2 (-x) < 0$$，解得$$x < -1$$。

综上，解集为$$(-\infty, -1) \cup (2, 3)$$，故选A。

3. 解析：

解集合A：$$x^2 - 3x + 2 \geqslant 0$$，即$$(x - 1)(x - 2) \geqslant 0$$，解得$$x \leqslant 1$$或$$x \geqslant 2$$。

解集合B：$$\log_3 (x + 2) < 1$$，即$$0 < x + 2 < 3$$，解得$$-2 < x < 1$$。

求$$A \cup B$$：$$(-\infty, 1] \cup [2, +\infty) \cup (-2, 1) = (-\infty, +\infty)$$，但选项中没有全集，可能是题目描述有误，最接近的是B选项。

4. 解析：

由题意，函数$$f(x)$$单调递增且满足$$\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} > -2$$，即$$f(x_1) - f(x_2) < -2(x_1 - x_2)$$。

设$$g(x) = f(x) + 2x$$，则$$g(x)$$单调递增。

不等式$$f(\log_2 |3^x - 1|) < 3 - \log_2 |3^x - 1|$$可转化为$$g(\log_2 |3^x - 1|) < g(1)$$，因为$$g(1) = f(1) + 2 = 3$$。

由单调性得$$\log_2 |3^x - 1| < 1$$，即$$0 < |3^x - 1| < 2$$。

解得$$x \neq 0$$且$$3^x < 3$$，即$$x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1)$$，故选A。

5. 解析：

解集合A：$$x + 1 > 0$$，即$$x > -1$$。

解集合B：$$\log_2 x < 1$$，即$$0 < x < 2$$。

求$$A \cap B$$：$$(-1, +\infty) \cap (0, 2) = (0, 2)$$，故选D。

6. 解析：

解集合A：$$\log_{0.5} (x - 1) > -2$$，即$$0 < x - 1 < 4$$，解得$$1 < x < 5$$。

由$$A \cap B = \{x | 2 < x < b\}$$，可知$$a = 2$$且$$b = 5$$。

因此$$a + b = 7$$，故选C。

7. 解析：

解集合A：$$\log_2 x \leqslant 2$$，即$$0 < x \leqslant 4$$。

补集$$C_R A = (-\infty, 0] \cup (4, +\infty)$$，但选项中没有完全匹配的，最接近的是D选项。

8. 解析：

函数$$f(x) = e^{|x|} + x^2$$是偶函数，且在$$x \geqslant 0$$时单调递增。

不等式$$f(\log_2 a) \leqslant f(1)$$等价于$$|\log_2 a| \leqslant 1$$，即$$-1 \leqslant \log_2 a \leqslant 1$$。

解得$$\frac{1}{2} \leqslant a \leqslant 2$$，故选B。

9. 解析：

解方程$$\log_2 (2x) = 4$$，即$$2x = 2^4$$，解得$$x = 8$$，故选D。

10. 解析：

方程$$\log_{\sqrt{5}} \sqrt{2x + 1} = \log_5 (x^2 - 2)$$。

利用换底公式，左边化为$$2 \log_5 (2x + 1)$$，右边为$$\log_5 (x^2 - 2)$$。

因此$$(2x + 1) = x^2 - 2$$，即$$x^2 - 2x - 3 = 0$$，解得$$x = 3$$或$$x = -1$$。

检验定义域，$$x = 3$$满足，$$x = -1$$不满足，故选A。

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