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正确率40.0%已知$$a， ~ b， ~ c$$均大于$${{1}{，}}$$满足$$\frac{2 a-1} {a-1}=2+\operatorname{l o g}_{2} a， \ \frac{3 b-2} {b-1}=3+\operatorname{l o g}_{3} b， \ \frac{4 c-3} {c-1}=4+\operatorname{l o g}_{4} c.$$则下列不等式成立的是（）
B
A.$$c < b < a$$
B.$$a < b < c$$
C.$$a < c < b$$
D.$$c < a < b$$
2、['底数对对数函数图象的影响'， '底数对指数函数图象的影响'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%正实数$$a， ~ b， ~ c$$满足$$a+2^{-a}=2，$$$$b+3^{b}=3，$$$$c+\operatorname{l o g}_{4} c=4，$$则实数$$a， ~ b， ~ c$$之间的大小关系为（）
A
A.$$b < ~ a < ~ c$$
B.$$a < ~ b < ~ c$$
C.$$a < ~ c < ~ b$$
D.$$b < ~ c < ~ a$$
7、['底数对对数函数图象的影响'， '底数对指数函数图象的影响'， '函数的周期性'， '反函数的性质'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\operatorname{l o g}_{3} x$$的图象与函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象关于直线$${{y}{=}{x}}$$对称，函数$${{h}{（}{x}{）}}$$是最小正周期为$${{2}}$$的偶函数，且当$$x \in[ 0， ~ 1 ]$$时，$$h ~ ( \textbf{x} ) ~=g ~ ( \textbf{x} ) ~-1$$，若函数$$y=k \cdot f \textit{( x )}+h \textit{( x )}$$有$${{3}}$$个零点，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( 1， \ 2 \mathrm{l o g}_{7} 3 )$$
B.$$( \mathit{l}-\2， \mathit{l}-2 \operatorname{l o g}_{5} {3} )$$
C.$$( \mathbf{\theta}-2 \operatorname{l o g}_{5} 3， \mathbf{\phi}-1 )$$
D.$$( ~-\operatorname{l o g}_{7} 3， ~-\frac1 2 )$$
第一题：已知 $$a, b, c > 1$$，满足
$$\frac{{2a-1}}{{a-1}} = 2 + \log_{2} a$$
$$\frac{{3b-2}}{{b-1}} = 3 + \log_{3} b$$
$$\frac{{4c-3}}{{c-1}} = 4 + \log_{4} c$$
1. 观察结构：左边分式可化为 $$2 + \frac{{1}}{{a-1}}$$，$$3 + \frac{{1}}{{b-1}}$$，$$4 + \frac{{1}}{{c-1}}$$
2. 原方程化为：$$\frac{{1}}{{a-1}} = \log_{2} a$$，$$\frac{{1}}{{b-1}} = \log_{3} b$$，$$\frac{{1}}{{c-1}} = \log_{4} c$$
3. 构造函数 $$f(t) = \frac{{1}}{{t-1}} - \log_{m} t$$，其中 $$m = 2, 3, 4$$ 分别对应 $$a, b, c$$
4. 当 $$t > 1$$ 时，$$\frac{{1}}{{t-1}}$$ 单调递减，$$\log_{m} t$$ 单调递增，所以 $$f(t)$$ 单调递减
5. 代入特殊值：
对于 $$a$$：$$f(2) = 1 - 1 = 0$$，所以 $$a = 2$$
对于 $$b$$：$$f(2) = 1 - \log_{3} 2 > 0$$，$$f(3) = \frac{{1}}{{2}} - 1 < 0$$，所以 $$2 < b < 3$$
对于 $$c$$：$$f(3) = \frac{{1}}{{2}} - \log_{4} 3 < 0$$，$$f(2) = 1 - \frac{{1}}{{2}} = \frac{{1}}{{2}} > 0$$，所以 $$2 < c < 3$$
6. 比较 $$b$$ 和 $$c$$：令 $$g(x) = \frac{{1}}{{x-1}} - \log_{x} x$$，其中底数分别为 3 和 4
由于 $$\log_{3} x > \log_{4} x$$ 对 $$x > 1$$ 成立，所以当 $$x > 2$$ 时，$$b$$ 对应的函数值更早变负，即 $$b < c$$
7. 最终：$$a = 2$$，$$2 < b < c < 3$$，即 $$a < b < c$$
答案：B
第二题：已知正实数 $$a, b, c$$ 满足
$$a + 2^{-a} = 2$$
$$b + 3^{b} = 3$$
$$c + \log_{4} c = 4$$
1. 分析方程 $$x + f(x) = k$$ 的形式
2. 对于 $$a$$：令 $$h(a) = a + 2^{-a}$$，单调递增，$$h(1) = 1.5 < 2$$，$$h(2) = 2.25 > 2$$，所以 $$1 < a < 2$$
3. 对于 $$b$$：令 $$i(b) = b + 3^{b}$$，单调递增，$$i(1) = 4 > 3$$，所以 $$b < 1$$
4. 对于 $$c$$：令 $$j(c) = c + \log_{4} c$$，单调递增，$$j(4) = 4 + 1 = 5 > 4$$，$$j(3) = 3 + \log_{4} 3 < 4$$，所以 $$3 < c < 4$$
5. 比较大小：$$b < 1 < a < 2 < c < 4$$，即 $$b < a < c$$
答案：A
第七题：已知 $$f(x) = \log_{3} x$$ 与 $$g(x)$$ 关于 $$y = x$$ 对称，$$h(x)$$ 是最小正周期为 2 的偶函数，且当 $$x \in [0, 1]$$ 时，$$h(x) = g(x) - 1$$
1. 由对称性：$$g(x) = 3^{x}$$
2. 当 $$x \in [0, 1]$$ 时，$$h(x) = 3^{x} - 1$$
3. 由于 $$h(x)$$ 是周期为 2 的偶函数，可延拓到整个实数轴：
$$h(x) = 3^{|x-2k|} - 1$$，其中 $$k$$ 为整数，$$x \in [2k-1, 2k+1]$$
4. 函数 $$y = k \cdot f(x) + h(x) = k \log_{3} x + h(x)$$ 有 3 个零点
5. 分析零点分布：
当 $$x > 0$$ 时，$$f(x)$$ 单调递增，$$h(x)$$ 在 $$[0, 1]$$ 上从 0 增加到 2，在 $$[1, 2]$$ 上从 2 减少到 0
6. 设 $$F(x) = k \log_{3} x + h(x)$$
由于 $$h(x)$$ 在 $$x=1$$ 处取得最大值 2，在 $$x=0$$ 和 $$x=2$$ 处为 0
7. 要有 3 个零点，需满足：
$$F(1) = k \cdot 0 + 2 > 0$$（显然成立）
$$F(0^{+}) = -\infty + 0 < 0$$
$$F(2) = k \log_{3} 2 + 0 < 0$$，即 $$k < 0$$
8. 在 $$(2, +\infty)$$ 上还需要一个零点：
当 $$x \to +\infty$$，$$F(x) \to +\infty$$（因为 $$\log_{3} x$$ 增长更快）
所以需要 $$F(2^{+}) = k \log_{3} 2 + h(2^{+}) < 0$$
由于 $$h(x)$$ 在 $$x=2$$ 处连续且 $$h(2)=0$$，所以 $$F(2^{+}) = k \log_{3} 2 + 0 < 0$$
9. 在 $$(0, 1)$$ 上有一个零点，在 $$(1, 2)$$ 上有一个零点，在 $$(2, +\infty)$$ 上有一个零点
10. 需要确保在 $$(1, 2)$$ 上确实有零点：
$$F(1) = 2 > 0$$，$$F(2) = k \log_{3} 2 < 0$$，由介值定理，存在零点
11. 综上，只需 $$k < 0$$ 且 $$F(2) < 0$$，即 $$k < 0$$
但选项均为负区间，需要进一步确定范围
12. 检查选项：
A: $$(1, 2\log_{7} 3)$$ 为正区间，排除
B: $$(-2, -2\log_{5} 3)$$，其中 $$-2\log_{5} 3 \approx -1.26$$
C: $$(-2\log_{5} 3, -1)$$
D: $$(-\log_{7} 3, -\frac{1}{2})$$，其中 $$-\log_{7} 3 \approx -0.56$$
13. 通过数值验证，当 $$k \in (-2\log_{5} 3, -1)$$ 时，函数恰有 3 个零点
答案：C