对数函数的定义-4.4 对数函数知识点回顾基础单选题自测题解析-辽宁省等高一数学必修,平均正确率60.0%

1、['交集'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '对数函数的定义']

正确率60.0%设集合$$A=\{y | y=\operatorname{s i n} x， x \in R \}， \， \， \， B=\{x | y=\operatorname{l g} (-x ) \}$$，则$$A \cap B=( \eta)$$

A.$$( 0， 1 ]$$

B.$$[-1， 0 )$$

C.$$[-1， 0 ]$$

D.$$(-\infty， 1 ]$$

2、['交集'， '对数（型）函数的值域'， '指数（型）函数的定义域'， '对数函数的定义']

正确率60.0%集合$$M=\{y | y=\operatorname{l n} ( x^{2}+1 ) \}， \， \， \， N=\{x | 2^{x} < 4 \}$$，则$${{M}{∩}{N}}$$等于$${{(}{)}}$$

A.$$[ 0， 2 ]$$

B.$$( 0， 2 )$$

C.$$[ 0， 2 )$$

D.$$( 0， 2 ]$$

3、['交集'， '对数型复合函数的应用'， '一元二次不等式的解法'， '对数函数的定义']

正确率60.0%已知集合$$\mathbf{A} \!=\! \{\mathbf{x} | \mathbf{x}^{2} < \mathbf{1} \}， \， \， \， \mathbf{B} \!=\! \{\mathbf{x} | \mathbf{y} \!=\! \operatorname{l n} ( \mathbf{-x} ) \}，$$则$$\mathbf{A} \cap\mathbf{B} \mathbf{=} ( \eta)$$

A.$${{∅}}$$

B.$$\{\mathbf{x} | \mathbf{x} < \mathbf{0} \}$$

C.$$\{\mathbf{x} | \mathbf{-1 < x < 0} \}$$

D.$$\{\mathbf{x} | \mathbf{0} < \mathbf{x} < \mathbf{1} \}$$

4、['对数函数的定义']

正确率80.0%下列函数中为对数函数的是（）

A.$$y=\operatorname{l o g}_{a} ( 2 x )$$

B.$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{{2}^{x}}}$$

C.$$y=\operatorname{l o g}_{2} x+1$$

D.$${{y}{=}{{l}{g}}{x}}$$

5、['函数的对称性'， '对数函数的定义']

正确率60.0%下列函数中，其图象与函数$$y=l n x$$的图象关于$$( \mathbf{2}， \ \mathbf{0} )$$对称的是（）

A.$$y=-\l n \left( \frac{2} {}-x \right)$$

B.$$y=-\l n \left( \mathbf{2}+x \right)$$

C.$$y=-\l n \mathbf{\epsilon} ( 4+x )$$

D.$$y=-\l n \mathbf{\epsilon} ( 4-x )$$

6、['函数的综合问题'， '指数函数的定义'， '对数函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']

正确率40.0%在$$y=2^{x}， y=\operatorname{l o g}_{2} x， y=x^{2}$$，这三个函数中，当$$0 < x_{1} < x_{2} < 1$$时，使$$f \left( \frac{x_{1}+x_{2}} {2} \right) < \frac{f \left( x_{1} \right)+f \left( x_{2} \right)} {2}$$恒成立的函数的个数是（）

A.$${{3}}$$个

B.$${{2}}$$个

C.$${{1}}$$个

D.$${{0}}$$个

7、['导数中不等式恒成立与存在性问题'， '对数函数的定义']

正确率40.0%若关于$${{x}}$$的不等式$$\mathit{l o g_{2}} ~ ( a x^{2}-2 x+3 ) ~ > 0$$的解集为$${{R}}$$，则$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( 0， ~ \frac{1} {3} )$$

B.$$( 0， ~ \frac{1} {2} )$$

C.$$( \frac{1} {2}， \enskip+\infty)$$

D.$$( \frac{1} {3}， \enskip+\infty)$$

8、['函数求值'， '指数与对数的关系'， '函数求解析式'， '对数函数的定义']

正确率60.0%已知$$f ( 1 0^{x} )=x$$，则$$f ( 5 )=$$（）

A.$${{1}{0}^{5}}$$

B.$$5^{1 0}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{l}{g}{5}}$$

9、['对数函数的定义']

正确率80.0%下列函数是对数函数的是（）

A.$$y=\operatorname{l o g}_{a} {( 2 x )} ( a > 0$$，且$${{a}{≠}{1}{)}}$$

B.$$y=\operatorname{l o g}_{a} {( x^{2}+1 )} ( a > 0$$，且$${{a}{≠}{1}{)}}$$

C.$$y=\operatorname{l o g}_{\frac{1} {a}} x ( a > 0$$，且$${{a}{≠}{1}{)}}$$

D.$$y=2 \mathrm{l g} ~ x$$

10、['指数与对数的关系'， '分段函数求值'， '对数函数的定义']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} \operatorname{l o g}_{2} ( x+1 )， \ x \geqslant6，} \\ {} & {{} f ( x+2 )， \ x < 6，} \\ \end{aligned} \right.$$则$$f ( 5 )=$$（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

1. 解析：

集合 $$A$$ 表示正弦函数的值域，即 $$A = [-1, 1]$$。集合 $$B$$ 的定义域要求 $$-x > 0$$，即 $$x < 0$$，因此 $$B = (-\infty, 0)$$。两集合的交集 $$A \cap B = [-1, 0)$$，故选 **B**。

2. 解析：

集合 $$M$$ 表示函数 $$y = \ln(x^2 + 1)$$ 的值域，因为 $$x^2 + 1 \geq 1$$，所以 $$M = [0, +\infty)$$。集合 $$N$$ 的解为 $$2^x < 4$$，即 $$x < 2$$，因此 $$N = (-\infty, 2)$$。两集合的交集 $$M \cap N = [0, 2)$$，故选 **C**。

3. 解析：

集合 $$A$$ 的解为 $$x^2 < 1$$，即 $$A = (-1, 1)$$。集合 $$B$$ 的定义域要求 $$-x > 0$$，即 $$x < 0$$，因此 $$B = (-\infty, 0)$$。两集合的交集 $$A \cap B = (-1, 0)$$，故选 **C**。

4. 解析：

对数函数的定义形式为 $$y = \log_a x$$（$$a > 0$$，$$a \neq 1$$）。选项 **D** $$y = \lg x$$ 是以 10 为底的对数函数，符合定义。其他选项均不符合对数函数的标准形式，故选 **D**。

5. 解析：

函数 $$y = \ln x$$ 关于点 $$(2, 0)$$ 对称的函数可以通过对称变换得到。设对称后的函数为 $$y = f(x)$$，则满足 $$(x, y)$$ 关于 $$(2, 0)$$ 的对称点为 $$(4 - x, -y)$$。代入原函数得 $$-y = \ln(4 - x)$$，即 $$y = -\ln(4 - x)$$，故选 **D**。

6. 解析：

题目要求函数在区间 $$(0, 1)$$ 内满足凹性（即二阶导数大于零）。计算三个函数的二阶导数： - $$y = 2^x$$：二阶导数为 $$2^x (\ln 2)^2 > 0$$，满足凹性。 - $$y = \log_2 x$$：二阶导数为 $$-\frac{1}{x^2 \ln 2} < 0$$，不满足凹性。 - $$y = x^2$$：二阶导数为 $$2 > 0$$，满足凹性。因此，有两个函数满足条件，故选 **B**。

7. 解析：

不等式 $$\log_2 (a x^2 - 2 x + 3) > 0$$ 等价于 $$a x^2 - 2 x + 3 > 1$$，即 $$a x^2 - 2 x + 2 > 0$$ 对所有 $$x \in \mathbb{R}$$ 成立。需满足： 1. $$a > 0$$； 2. 判别式 $$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot a \cdot 2 < 0$$，即 $$4 - 8a < 0$$，解得 $$a > \frac{1}{2}$$。综上，$$a \in \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$$，故选 **C**。

8. 解析：

已知 $$f(10^x) = x$$，设 $$10^x = 5$$，则 $$x = \lg 5$$，因此 $$f(5) = \lg 5$$，故选 **D**。

9. 解析：

对数函数的定义形式为 $$y = \log_a x$$（$$a > 0$$，$$a \neq 1$$）。选项 **C** $$y = \log_{\frac{1}{a}} x$$ 可以改写为 $$y = -\log_a x$$，但仍符合对数函数的定义。其他选项均不符合标准形式，故选 **C**。

10. 解析：

根据分段函数的定义： - $$f(5) = f(5 + 2) = f(7)$$； - $$f(7) = \log_2 (7 + 1) = \log_2 8 = 3$$。因此，$$f(5) = 3$$，故选 **B**。

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