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正确率60.0%已知函数$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{a}}{(}{x}{−}{1}{)}{+}{3}{，}{(}{a}{>}{0}}$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$的图象恒过定点$${{P}}$$，若角$${{α}}$$的顶点与原点重合，始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，终边经过点$${{P}}$$，则$${{s}{i}{n}^{2}{α}{−}{{s}{i}{n}}{2}{α}}$$的值为（）
D
A.$$\frac{5} {1 3}$$
B.$$- \frac{5} {1 3}$$
C.$$\frac{3} {1 3}$$
D.$$- \frac{3} {1 3}$$
3、['对数（型）函数过定点'， '常见函数的零点'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {\operatorname{l g} x， x > 0，} \\ {x^{2}-2 x， x \leqslant0} \\ \end{matrix} \right.$$的零点个数是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
4、['对数（型）函数过定点'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%已知函数$${{y}{=}{l}{o}{{g}_{a}}{x}{−}{1}{，}{（}{a}{>}{0}}$$，且$${{a}{≠}{1}{）}}$$的图象恒过定点$${{A}}$$，若点$${{A}}$$在直线$${{m}{x}{−}{n}{y}{−}{1}{=}{0}}$$上，其中$${{m}{>}{0}{，}{n}{>}{0}}$$，则$$\frac{1} {m}+\frac{2} {n}$$的最小值为（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{8}}$$
6、['对数（型）函数过定点'， '对数（型）函数的定义域'， '对数（型）函数的值域'， '单调性的定义与证明'， '对数（型）函数的单调性'， '函数单调性的判断'， '函数的单调区间'， '对数函数的定义']正确率19.999999999999996%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{l}{n}{（}{−}{{x}^{2}}{−}{2}{x}{+}{3}{）}}$$，则$${{f}{（}{x}{）}}$$的增区间为（）
B
A.$${{(}{{−}{∞}{，}{−}}{1}{)}}$$
B.$${{(}{−}{3}{，}{−}{1}{)}}$$
C.$${{[}{−}{1}{{，}{+}{∞}}{)}}$$
D.$${{[}{−}{1}{，}{1}{)}}$$
8、['对数（型）函数过定点']正确率60.0%函数$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{a}}{{(}{x}{+}{2}{)}}{+}{1}{{(}{a}{>}{0}{且}{a}{≠}{1}{)}}}$$的图象过定点（）
D
A.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$
B.$${{(}{2}{，}{1}{)}}$$
C.$${{(}{−}{2}{，}{1}{)}}$$
D.$${{(}{−}{1}{，}{1}{)}}$$
9、['对数（型）函数过定点']正确率60.0%函数$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{a}}{(}{x}{−}{4}{)}{+}{2}{(}{a}{>}{0}}$$，且$${{a}{≠}{1}{)}}$$的图象必经过点$${{(}{)}}$$
C
A.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
B.$${{(}{5}{，}{1}{)}}$$
C.$${{(}{5}{，}{2}{)}}$$
D.$${{(}{1}{，}{5}{)}}$$
10、['对数（型）函数过定点']正确率60.0%若函数$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{a}}{(}{x}{+}{3}{)}{(}{a}{>}{0}}$$，且$${{a}{≠}{1}{)}}$$的图象恒过定点$${{P}}$$，则点$${{P}}$$的坐标是
A
A.$${{(}{−}{2}{，}{0}{)}}$$
B.$${{(}{0}{，}{2}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{3}{)}}$$
D.$${{(}{−}{3}{，}{0}{)}}$$
2. 解析：
函数 $$y = \log_a(x - 1) + 3$$ 的图象恒过定点 $$P$$，当 $$x - 1 = 1$$ 时，即 $$x = 2$$，此时 $$y = \log_a 1 + 3 = 0 + 3 = 3$$，所以 $$P(2, 3)$$。
角 $$α$$ 的终边经过点 $$P(2, 3)$$，则 $$r = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$$。
因此，$$\sin α = \frac{3}{\sqrt{13}}$$，$$\cos α = \frac{2}{\sqrt{13}}$$。
计算 $$\sin^2 α - \sin 2α$$：
$$\sin^2 α - \sin 2α = \sin^2 α - 2 \sin α \cos α = \left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)^2 - 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{9}{13} - \frac{12}{13} = -\frac{3}{13}$$。
答案为 D。
3. 解析：
函数 $$f(x)$$ 的零点即 $$f(x) = 0$$ 的解。
当 $$x > 0$$ 时，$$\lg x = 0$$ 解得 $$x = 1$$。
当 $$x \leq 0$$ 时，$$x^2 - 2x = 0$$ 解得 $$x = 0$$ 或 $$x = 2$$（舍去 $$x = 2$$，因为 $$x \leq 0$$）。
因此，零点为 $$x = 1$$ 和 $$x = 0$$，共 2 个。
答案为 B。
4. 解析：
函数 $$y = \log_a x - 1$$ 的图象恒过定点 $$A$$，当 $$x = 1$$ 时，$$y = \log_a 1 - 1 = 0 - 1 = -1$$，所以 $$A(1, -1)$$。
将 $$A(1, -1)$$ 代入直线方程 $$m x - n y - 1 = 0$$，得 $$m \cdot 1 - n \cdot (-1) - 1 = 0$$，即 $$m + n = 1$$。
求 $$\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$$ 的最小值：
利用柯西不等式或均值不等式：
$$\frac{1}{m} + \frac{2}{n} = \left(\frac{1}{m} + \frac{2}{n}\right)(m + n) = 1 + \frac{n}{m} + \frac{2m}{n} + 2 \geq 3 + 2\sqrt{2}$$。
当且仅当 $$\frac{n}{m} = \frac{2m}{n}$$ 即 $$n = \sqrt{2}m$$ 时取等。
答案为 B。
6. 解析：
函数 $$f(x) = \ln(-x^2 - 2x + 3)$$ 的定义域为 $$-x^2 - 2x + 3 > 0$$，即 $$x^2 + 2x - 3 < 0$$，解得 $$x \in (-3, 1)$$。
令 $$u(x) = -x^2 - 2x + 3$$，则 $$f(x) = \ln u(x)$$。
$$u(x)$$ 的开口向下，对称轴为 $$x = -1$$，在 $$(-3, -1)$$ 上单调递增，在 $$(-1, 1)$$ 上单调递减。
因为 $$f(x) = \ln u(x)$$ 是增函数，所以 $$f(x)$$ 的增区间与 $$u(x)$$ 的增区间一致，即 $$(-3, -1)$$。
答案为 B。
8. 解析：
函数 $$y = \log_a(x + 2) + 1$$ 的图象恒过定点，当 $$x + 2 = 1$$ 时，即 $$x = -1$$，此时 $$y = \log_a 1 + 1 = 0 + 1 = 1$$，所以定点为 $$(-1, 1)$$。
答案为 D。
9. 解析：
函数 $$y = \log_a(x - 4) + 2$$ 的图象恒过定点，当 $$x - 4 = 1$$ 时，即 $$x = 5$$，此时 $$y = \log_a 1 + 2 = 0 + 2 = 2$$，所以定点为 $$(5, 2)$$。
答案为 C。
10. 解析：
函数 $$y = \log_a(x + 3)$$ 的图象恒过定点 $$P$$，当 $$x + 3 = 1$$ 时，即 $$x = -2$$，此时 $$y = \log_a 1 = 0$$，所以 $$P(-2, 0)$$。
答案为 A。