对数式的大小的比较-4.4 对数函数知识点回顾进阶选择题自测题解析-吉林省等高一数学必修,平均正确率52.0%

1、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '对数式的大小的比较']

正确率19.999999999999996%已知$$a=\operatorname{l o g}_{7} 5， \， \， \， b=\operatorname{l o g}_{9} 7， \， \， \， c=\operatorname{l o g}_{1 1} 9，$$则（）

A.$$a < b < c$$

B.$$a < c < b$$

C.$$b < a < c$$

D.$$c < b < a$$

2、['对数式的大小的比较'， '对数（型）函数的单调性']

正确率60.0%三个数$${{a}{=}{{l}{o}{g}_{3}}{{0}{.}{3}}}$$，$${{b}{=}{{l}{o}{g}_{3}}{2}}$$，$$c=\frac{1} {2}$$的大小顺序是（）

A.$$a < b < c$$

B.$$c < a < b$$

C.$$a < c < b$$

D.$$b < c < a$$

3、['对数式的大小的比较'， '指数式的大小的比较'， '不等式的性质']

正确率60.0%$$a， ~ b \in\mathbf{R}$$，且$${{a}{>}{b}}$$，则下列结论正确的是（）

A.$${{a}^{2}{>}{{b}^{2}}}$$

B.$$\frac{b} {a} < 1$$

C.$$\operatorname{l g} \ ( a-b ) \ > \operatorname{l g} \frac1 {a-b}$$

D.$$3^{-a} < 3^{-b}$$

4、['对数式的大小的比较'， '指数式的大小的比较'， '不等式的性质']

正确率60.0%已知$$0 < a < b < 1$$，则下列不等式不成立的是$${{(}{)}}$$

A.$$( \frac{1} {2} )^{a} > ( \frac{1} {2} )^{b}$$

B.$$\operatorname{l n} a > \operatorname{l n} b$$

C.$$\frac{1} {a} > \frac{1} {b}$$

D.$$\frac{1} {\operatorname{l n} a} > \frac{1} {\operatorname{l n} b}$$

5、['对数式的大小的比较'， '利用函数单调性比较大小']

正确率60.0%设$$a > 1， \， \， \， m=\operatorname{l o g}_{a} ( a^{2}+1 )， \， \， \， n=\operatorname{l o g}_{a} ( a+1 )， \， \， \， p=\operatorname{l o g}_{a} ( 2 a )$$，则$$m， n， p$$的大小关系是（）

A.$$n > m > p$$

B.$$p > m > n$$

C.$$m > n > p$$

D.$$m > p > n$$

6、['对数式的大小的比较'， '利用导数讨论函数单调性'， '指数式的大小的比较'， '函数单调性与奇偶性综合应用']

正确率19.999999999999996%已知函数$$y=\! f ( x \!+\! 1 )$$的图象关于点$$(-1， 0 )$$对称，且当$$x \in(-\infty， 0 )$$时，$$f ( x ) \!+\! x f^{\prime} ( x ) \! > \! 0$$成立，$${{(}}$$其中$$f^{\prime} ( x )$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的导数$${{)}}$$；若$$a=( 2^{0. 2} ) f \left( 2^{0. 2} \right)， \， \， b=( \operatorname{l n} 2 ) f ( \operatorname{l n} 2 )， \， \， c=( \operatorname{l o g}_{2} \frac1 4 ) f ( \operatorname{l o g}_{2} \frac1 4 )$$，则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系是$${{(}{)}}$$

A.$$a > b > c$$

B.$$b > a > c$$

C.$$c > a > b$$

D.$$c > b > a$$

7、['对数式的大小的比较'， '指数方程与指数不等式的解法']

正确率60.0%设$$a > 0， \; b > 0$$，下列命题中正确的是（）

A.若$$2^{a}+2 a=2^{b}+3 b$$，则$${{a}{>}{b}}$$

B.若$$2^{a}+2 a=2^{b}+3 b$$，则$${{a}{<}{b}}$$

C.若$$2^{a}-2 a=2^{b}-3 b$$，则$${{a}{>}{b}}$$

D.若$$2^{a}-2 a=2^{b}-3 b$$，则$${{a}{<}{b}}$$

8、['对数式的大小的比较'， '指数式的大小的比较']

正确率60.0%若$$a=\operatorname{l o g}_{\frac{1} {2}} 3， \， \， \， b=\operatorname{l o g}_{3} 4， \， \， \， c=( \frac{1} {3} )^{0. 2}$$，则$$a， b， c$$的大小关系为（）

A.$$a < b < c$$

B.$$b < c < a$$

C.$$a < c < b$$

D.$$b < a < c$$

9、['对数式的大小的比较'， '对数的运算性质']

正确率60.0%已知$$a=\operatorname{l n} 2， \ b=\operatorname{l n} \pi， \ c=\frac1 2 \operatorname{l n} \frac{2 5} {4}$$，则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系为（）

A.$$b < c < a$$

B.$$c < a < b$$

C.$$a < b < c$$

D.$$a < c < b$$

10、['对数式的大小的比较'， '指数式的大小的比较']

正确率60.0%设$$a=0. 5^{0. 4}， b=\operatorname{l o g}_{0. 5} 0. 3， c=\operatorname{l o g}_{0. 3} 0. 6$$，则$$a， b， c$$的大小关系是$${{(}{)}}$$

A.$$a < b < c$$

B.$$c < b < a$$

C.$$c < a < b$$

D.$$a < c < b$$

1. 解析：

首先，利用换底公式将$$a, b, c$$转换为自然对数形式：

$$a = \log_7 5 = \frac{\ln 5}{\ln 7}$$

$$b = \log_9 7 = \frac{\ln 7}{\ln 9}$$

$$c = \log_{11} 9 = \frac{\ln 9}{\ln 11}$$

因为$$\ln 5 < \ln 7 < \ln 9 < \ln 11$$，所以$$\frac{\ln 5}{\ln 7} < \frac{\ln 7}{\ln 9} < \frac{\ln 9}{\ln 11}$$，即$$a < b < c$$。

正确答案为$$A$$。

2. 解析：

计算$$a = \log_3 0.3$$，因为$$0.3 < 1$$，所以$$a < 0$$。

$$b = \log_3 2$$，因为$$2 > 1$$，所以$$0 < b < 1$$。

$$c = \frac{1}{2}$$，显然$$c > b$$。

综上，$$a < b < c$$。

正确答案为$$A$$。

3. 解析：

选项$$A$$错误，例如$$a = 1, b = -2$$时，$$a^2 < b^2$$。

选项$$B$$错误，例如$$a = -1, b = -2$$时，$$\frac{b}{a} = 2 > 1$$。

选项$$C$$正确，因为$$a - b > 0$$，且$$a - b > \frac{1}{a - b}$$（因为$$(a - b)^2 > 1$$），所以$$\lg(a - b) > \lg \frac{1}{a - b}$$。

选项$$D$$错误，因为$$3^{-a} = \frac{1}{3^a}$$，$$3^{-b} = \frac{1}{3^b}$$，由于$$a > b$$，$$3^a > 3^b$$，所以$$3^{-a} < 3^{-b}$$。

正确答案为$$D$$。

4. 解析：

选项$$A$$成立，因为$$0 < \frac{1}{2} < 1$$，且$$a < b$$，所以$$\left(\frac{1}{2}\right)^a > \left(\frac{1}{2}\right)^b$$。

选项$$B$$不成立，因为$$0 < a < b < 1$$，$$\ln a < \ln b < 0$$，所以$$\ln a < \ln b$$。

选项$$C$$成立，因为$$a < b$$，所以$$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$。

选项$$D$$成立，因为$$\ln a < \ln b < 0$$，所以$$\frac{1}{\ln a} > \frac{1}{\ln b}$$。

不成立的是$$B$$。

正确答案为$$B$$。

5. 解析：

因为$$a > 1$$，对数函数单调递增。

比较真数：$$a^2 + 1 > 2a > a + 1$$（因为$$a > 1$$）。

所以$$\log_a(a^2 + 1) > \log_a(2a) > \log_a(a + 1)$$，即$$m > p > n$$。

正确答案为$$D$$。

6. 解析：

由题意，$$f(x)$$关于$$(0, 0)$$对称，且$$x \in (-\infty, 0)$$时，$$f(x) + x f'(x) > 0$$，即$$(x f(x))' > 0$$，说明$$x f(x)$$在$$(-\infty, 0)$$单调递增。

由于$$f(x)$$为奇函数，$$x f(x)$$在$$(0, +\infty)$$也单调递增。

计算$$c = (\log_2 \frac{1}{4}) f(\log_2 \frac{1}{4}) = (-2) f(-2) = 2 f(2)$$。

$$a = (2^{0.2}) f(2^{0.2})$$，$$b = (\ln 2) f(\ln 2)$$。

因为$$2^{0.2} < \ln 2 < 2$$，且$$x f(x)$$单调递增，所以$$a < b < c$$。

正确答案为$$C$$。

7. 解析：

设$$f(x) = 2^x + 2x$$，则$$f'(x) = 2^x \ln 2 + 2 > 0$$，$$f(x)$$单调递增。

若$$2^a + 2a = 2^b + 3b$$，因为$$3b > 2b$$，所以$$f(a) > f(b)$$，由于$$f(x)$$单调递增，$$a > b$$。

选项$$A$$正确，$$B$$错误。

设$$g(x) = 2^x - 2x$$，则$$g'(x) = 2^x \ln 2 - 2$$，当$$x > 1$$时$$g'(x) > 0$$，$$g(x)$$单调递增。

若$$2^a - 2a = 2^b - 3b$$，因为$$-3b < -2b$$，所以$$g(a) < g(b)$$，由于$$g(x)$$单调递增，$$a < b$$。

选项$$D$$正确，$$C$$错误。

正确答案为$$A$$和$$D$$。

8. 解析：

$$a = \log_{\frac{1}{2}} 3 = -\log_2 3 < 0$$。

$$b = \log_3 4 > 1$$。

$$c = \left(\frac{1}{3}\right)^{0.2} = 3^{-0.2} \in (0, 1)$$。

所以$$a < c < b$$。

正确答案为$$C$$。

9. 解析：

$$a = \ln 2 \approx 0.693$$。

$$b = \ln \pi \approx 1.144$$。

$$c = \frac{1}{2} \ln \frac{25}{4} = \ln \frac{5}{2} \approx 0.916$$。

所以$$a < c < b$$。

正确答案为$$D$$。

10. 解析：

$$a = 0.5^{0.4} \in (0, 1)$$。

$$b = \log_{0.5} 0.3 > \log_{0.5} 0.5 = 1$$。

$$c = \log_{0.3} 0.6 \in (0, 1)$$，且$$c = \frac{\ln 0.6}{\ln 0.3} \approx \frac{-0.511}{-1.204} \approx 0.424$$。

比较$$a$$和$$c$$：$$0.5^{0.4} = e^{0.4 \ln 0.5} \approx e^{-0.277} \approx 0.758$$，所以$$c < a < b$$。

正确答案为$$C$$。

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