.jpg)
正确率40.0%若函数$$y=a^{x} ( a > 0$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$在区间$$[ 0， \ 3 ]$$上的最大值和最小值的和为$$\frac{9} {8}，$$则函数$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{a}}{x}}$$在区间$$\left[ \frac{1} {4}， \ 2 \right]$$上的最小值是（）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
2、['对数型复合函数的应用'， '对数（型）函数的定义域'， '对数（型）函数的值域']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{2} ( 2^{x}+m )，$$则满足函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的定义域和值域都是$${{R}}$$的实数$${{m}}$$构成的集合为（）
A
A.$$\{m | m=0 \}$$
B.$$\{m | m \leqslant0 \}$$
C.$$\{m | m \geqslant0 \}$$
D.$$\{m | m=1 \}$$
3、['对数（型）函数的值域'， '指数（型）函数的值域'， '函数求值域']正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=l o g_{2} \ ( \ 1+2^{-x} )$$，函数的值域是（）
B
A.$$[ 0， \ 2 )$$
B.$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$
C.$$( {\bf0}， ~ {\bf2} )$$
D.$$[ 0， \ \ +\infty)$$
4、['指数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的值域'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%下列函数中，值域为$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$的是（）
A
A.$${{y}{=}{{2}^{x}}}$$
B.$$y=x^{\frac{1} {2}}$$
C.$${{y}{=}{{l}{n}}{x}}$$
D.$${{y}{=}{{c}{o}{s}}{x}}$$
5、['空间向量的正交分解'， '空间向量运算的坐标表示'， '对数（型）函数的值域']正确率40.0%已知空间向量$$\overrightarrow{O A}=( 1， \ 0， \ 0 )， \ \overrightarrow{O B}=( 1， \ 1， \ 0 )， \ \overrightarrow{O C}=( 0， \ 0， \ 1 )，$$向量$$\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+z \overrightarrow{O C}，$$且$$4 x+2 y+z=4$$，则$$| \overrightarrow{O P} |$$不可能是（）
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{4}}$$
6、['对数（型）函数的值域'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知$$y=\operatorname{l o g}_{2} ( x^{2}-2 x+1 7 )$$的值域为$$[ m，+\infty)$$，当正数$${{a}{，}{b}}$$满足$$\frac2 {3 a+b}+\frac1 {a+2 b}=m$$时，则$$7 a+4 b$$的最小值为（）
A
A.$$\frac{9} {4}$$
B.$${{5}}$$
C.$$\frac{5+2 \sqrt{2}} {4}$$
D.$${{9}}$$
7、['对数（型）函数的定义域'， '对数（型）函数的值域'， '充分、必要条件的判定']正确率60.0%设集合$$M=\{y | y=l n x \}， \， \， \， N=\{x | y=l n x \}$$，那么$$^\omega a \in M^{n}$$是$$^\omega a \in N^{n}$$的（）
B
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8、['函数的最大(小)值'， '指数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的值域']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {} & {2^{x}-3， x \leqslant2} \\ {} & {2+\operatorname{l o g}_{a} x， x > 2} \\ \end{array} \right. ( a > 0$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$的最大值为$${{1}}$$，则$${{a}}$$的取值范围（）
C
A.$$( 0， \frac{1} {2} ]$$
B.$$( 0， 1 )$$
C.$$\left[ \frac{1} {2}， 1 \right)$$
D.$$( 1，+\infty)$$
9、['对数（型）函数过定点'， '指数（型）函数过定点'， '指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的定义域'， '指数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的值域'， '指数（型）函数的定义域'， '对数（型）函数的单调性'， '指数方程与指数不等式的解法'， '函数零点个数的判定']正确率60.0%方程$$( \frac{1} {3} )^{x}=| l o g_{3} x |$$的解的个数是（）
C
A.$${{0}}$$个
B.$${{1}}$$个
C.$${{2}}$$个
D.$${{3}}$$个
10、['对数型复合函数的应用'， '对数（型）函数的值域']正确率40.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=l o g_{3} \ ( \begin{matrix} {m x^{2}-2 x+1} \\ \end{matrix} )$$的值域为$${{R}}$$，则$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$
B.$$[ 0， \ 1 ]$$
C.$$[ 1， ~+\infty)$$
D.$$( \mathrm{~-\infty， \ 1 ~} )$$
1. 已知函数 $$y=a^x (a>0, a\neq1)$$ 在区间 $$[0,3]$$ 上的最大值和最小值的和为 $$\frac{9}{8}$$。
当 $$a>1$$ 时，函数单调递增，最大值 $$=a^3$$，最小值 $$=a^0=1$$，所以 $$a^3+1=\frac{9}{8}$$，解得 $$a^3=\frac{1}{8}$$，$$a=\frac{1}{2}$$（不符合 $$a>1$$，舍去）。
当 $$0 所以 $$a=\frac{1}{2}$$，则 $$y=\log_a x=\log_{\frac{1}{2}} x$$ 在区间 $$\left[\frac{1}{4},2\right]$$ 上单调递减。 最小值在 $$x=2$$ 处取得：$$y=\log_{\frac{1}{2}} 2=-1$$。 答案：B
2. 函数 $$f(x)=\log_2 (2^x+m)$$ 的定义域和值域都是 $$R$$。
定义域为 $$R$$ 要求 $$2^x+m>0$$ 对所有 $$x\in R$$ 成立，即 $$m>-2^x$$ 恒成立，所以 $$m>0$$。
值域为 $$R$$ 要求 $$2^x+m$$ 能取遍所有正实数，即 $$m\leq 0$$（因为若 $$m>0$$，则 $$2^x+m>m>0$$，无法取到 $$(0,m)$$ 的值）。
同时满足定义域和值域为 $$R$$，则 $$m$$ 必须满足 $$m>0$$ 且 $$m\leq 0$$，所以 $$m=0$$。
验证：当 $$m=0$$，$$f(x)=\log_2 (2^x)=x$$，定义域和值域均为 $$R$$。
答案：A
3. 函数 $$f(x)=\log_2 (1+2^{-x})$$。
因为 $$2^{-x}>0$$，所以 $$1+2^{-x}>1$$，则 $$f(x)=\log_2 (1+2^{-x})>0$$。
当 $$x\to +\infty$$，$$2^{-x}\to 0$$，$$f(x)\to \log_2 1=0$$。
当 $$x\to -\infty$$，$$2^{-x}\to +\infty$$，$$f(x)\to +\infty$$。
所以值域为 $$(0,+\infty)$$。
答案：B
4. 值域为 $$(0,+\infty)$$ 的函数：
A. $$y=2^x$$，值域 $$(0,+\infty)$$，符合。
B. $$y=x^{\frac{1}{2}}$$，定义域 $$[0,+\infty)$$，值域 $$[0,+\infty)$$，包含 0，不符合。
C. $$y=\ln x$$，值域 $$(-\infty,+\infty)$$，不符合。
D. $$y=\cos x$$，值域 $$[-1,1]$$，不符合。
答案：A
5. 已知 $$\overrightarrow{OA}=(1,0,0)$$，$$\overrightarrow{OB}=(1,1,0)$$，$$\overrightarrow{OC}=(0,0,1)$$，$$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$$，且 $$4x+2y+z=4$$。
计算：$$\overrightarrow{OP}=(x+y, y, z)$$，模长 $$|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{(x+y)^2+y^2+z^2}$$。
由 $$4x+2y+z=4$$ 得 $$z=4-4x-2y$$。
代入模长平方：$$|\overrightarrow{OP}|^2=(x+y)^2+y^2+(4-4x-2y)^2$$。
令 $$u=x+y$$，$$v=y$$，则 $$x=u-v$$，代入约束：$$4(u-v)+2v+z=4$$，即 $$4u-2v+z=4$$，所以 $$z=4-4u+2v$$。
模长平方：$$|\overrightarrow{OP}|^2=u^2+v^2+(4-4u+2v)^2$$。
展开：$$u^2+v^2+16-32u+16v+16u^2-16uv+4v^2=17u^2+5v^2-16uv-32u+16v+16$$。
这是一个二次函数，最小值在梯度为零时取得。计算偏导：
对 $$u$$：$$34u-16v-32=0$$
对 $$v$$：$$10v-16u+16=0$$
解得 $$u=\frac{8}{7}$$，$$v=\frac{12}{7}$$，代入得最小模长平方为 $$\frac{16}{7}$$，最小模长 $$\frac{4}{\sqrt{7}}\approx 1.51$$。
检查选项：A. $$\frac{1}{2}=0.5$$ 小于最小值，不可能。
答案：A
6. 已知 $$y=\log_2 (x^2-2x+17)$$ 的值域为 $$[m,+\infty)$$。
因为 $$x^2-2x+17=(x-1)^2+16\geq 16$$，所以 $$y\geq \log_2 16=4$$，即 $$m=4$$。
所以 $$\frac{2}{3a+b}+\frac{1}{a+2b}=4$$，求 $$7a+4b$$ 的最小值。
令 $$u=3a+b$$，$$v=a+2b$$，解得 $$a=\frac{2u-v}{5}$$，$$b=\frac{3v-u}{5}$$。
则 $$7a+4b=\frac{7(2u-v)+4(3v-u)}{5}=\frac{14u-7v+12v-4u}{5}=\frac{10u+5v}{5}=2u+v$$。
约束为 $$\frac{2}{u}+\frac{1}{v}=4$$，即 $$\frac{2}{u}+\frac{1}{v}=4$$。
由柯西不等式：$$(2u+v)\left(\frac{2}{u}+\frac{1}{v}\right)\geq (\sqrt{4}+\sqrt{1})^2=9$$。
所以 $$2u+v\geq \frac{9}{4}$$。
等号成立当 $$\frac{2u}{\frac{2}{u}}=\frac{v}{\frac{1}{v}}$$，即 $$u^2=v^2$$，结合 $$\frac{2}{u}+\frac{1}{v}=4$$，得 $$u=v=1$$。
所以最小值为 $$\frac{9}{4}$$。
答案：A
7. 集合 $$M=\{y|y=\ln x\}$$，即 $$M=(-\infty,+\infty)$$（值域）。
集合 $$N=\{x|y=\ln x\}$$，即 $$N=(0,+\infty)$$（定义域）。
“$$a\in M$$”是“$$a\in N$$”的什么条件？
$$a\in M$$ 表示 $$a$$ 是实数，$$a\in N$$ 表示 $$a>0$$。
所以 $$a\in M$$ 不能推出 $$a\in N$$（例如 $$a=-1$$），反之 $$a\in N$$ 能推出 $$a\in M$$。
所以是必要不充分条件。
答案：B
8. 函数 $$f(x)=\begin{cases} 2^x-3, & x\leq 2 \\ 2+\log_a x, & x>2 \end{cases}$$ 的最大值为 1。
当 $$x\leq 2$$，$$f(x)=2^x-3$$ 单调递增，最大值在 $$x=2$$ 处：$$f(2)=2^2-3=1$$。
当 $$x>2$$，$$f(x)=2+\log_a x$$。
若 $$a>1$$，则 $$\log_a x$$ 递增，$$f(x)>2+\log_a 2>2>1$$，最大值超过 1，不符合。
若 $$0 要求最大值不超过 1，即 $$2+\log_a 2\leq 1$$，所以 $$\log_a 2\leq -1$$。 因为 $$0 所以 $$a\in \left[\frac{1}{2},1\right)$$。 答案：C
9. 方程 $$\left(\frac{1}{3}\right)^x=|\log_3 x|$$。
令 $$f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x$$，$$g(x)=|\log_3 x|$$。
$$f(x)$$ 单调递减，值域 $$(0,+\infty)$$；$$g(x)$$ 在 $$(0,1]$$ 上递减，在 $$[1,+\infty)$$ 上递增，最小值 $$g(1)=0$$。
画图可知，在 $$(0,1)$$ 上，$$f(x)>0$$，$$g(x)=-\log_3 x>0$$，且 $$f(x)$$ 从 1 递减，$$g(x)$$ 从 $$+\infty$$ 递减，有一个交点。
在 $$(1,+\infty)$$ 上，$$f(x)>0$$，$$g(x)=\log_3 x>0$$，且 $$f(x)$$ 递减，$$g(x)$$ 递增，可能有一个交点。
验证：当 $$x=1$$，$$f(1)=\frac{1}{3}$$，$$g(1)=0$$，不相等。
当 $$x=3$$，$$f(3)=\frac{1}{27}$$，$$g(3)=1$$，$$f(3) 当 $$x=9$$，$$f(9)=\frac{1}{19683}$$，$$g(9)=2$$，$$f(9) 所以在 $$(1,+\infty)$$ 上，由于 $$f(x)$$ 很快趋于 0，而 $$g(x)$$ 趋于无穷，所以有一个交点。 总共有 2 个解。 答案：C
10. 函数 $$f(x)=\log_3 (mx^2-2x+1)$$ 的值域为 $$R$$。
要求真数 $$mx^2-2x+1$$ 能取遍所有正实数。
若 $$m=0$$，则真数为 $$-2x+1$$，是一次函数，能取遍所有实数，但需要为正，所以能取遍所有正实数（因为直线可以取到任意正数），符合。
若 $$m>0$$，则二次函数开口向上，要取遍所有正数，必须最小值小于等于 0（否则最小值大于 0 时，无法取到 0 到最小值之间的正数）。
最小值在 $$x=\frac{1}{m}$$ 处，值为 $$m\cdot \frac{1}{m^2}-2\cdot \frac{1}{m}+1=\frac{1}{m}-\frac{2}{m}+1=1-\frac{1}{m}$$。
要求 $$1-\frac{1}{m}\leq 0$$，即 $$m\leq 1$$。结合 $$m>0$$，得 $$0 若 $$m<0$$，则二次函数开口向下，值域有上界，无法取遍所有正数，不符合。 综上，$$m\in [0,1]$$。 答案：B