底数对对数函数图象的影响-4.4 对数函数知识点专题进阶选择题自测题答案-广西壮族自治区等高一数学必修,平均正确率48.0%

第2题：已知正实数 $$a, b, c$$ 满足 $$a + 2^{-a} = 2$$，$$b + 3^{b} = 3$$，$$c + \log_{4} c = 4$$，求大小关系。

分析：考虑函数单调性。设 $$f(x) = x + k^{-x}$$，但各方程形式不同。实际上，每个方程可视为函数零点问题。

对于 $$a$$：令 $$f(a) = a + 2^{-a} - 2$$，$$f(1) = 1 + 0.5 - 2 = -0.5$$，$$f(2) = 2 + 0.25 - 2 = 0.25$$，故 $$a \in (1,2)$$。

对于 $$b$$：令 $$g(b) = b + 3^{b} - 3$$，$$g(1) = 1 + 3 - 3 = 1$$，$$g(0.5) = 0.5 + \sqrt{3} - 3 \approx 0.5 + 1.732 - 3 = -0.768$$，故 $$b \in (0.5,1)$$。

对于 $$c$$：令 $$h(c) = c + \log_{4} c - 4$$，$$h(4) = 4 + 1 - 4 = 1$$，$$h(2) = 2 + 0.5 - 4 = -1.5$$，故 $$c \in (2,4)$$。

因此 $$b < a < c$$，对应选项 A。

第3题：已知 $$a, b, c \in (0,+\infty)$$，$$a = 5 + \log_{\frac{1}{4}} a$$，$$b + \frac{1}{2^{b}} = 3$$，$$c + 4^{c} = 4$$，求大小关系。

分析：同样用函数零点法。

对于 $$a$$：改写为 $$a - 5 = \log_{\frac{1}{4}} a$$，即 $$\left(\frac{1}{4}\right)^{a-5} = a$$。尝试 $$a=4$$：$$\left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4$$，成立，故 $$a=4$$。

对于 $$b$$：令 $$f(b) = b + \frac{1}{2^{b}} - 3$$，$$f(2) = 2 + 0.25 - 3 = -0.75$$，$$f(3) = 3 + 0.125 - 3 = 0.125$$，故 $$b \in (2,3)$$。

对于 $$c$$：令 $$g(c) = c + 4^{c} - 4$$，$$g(0) = 0 + 1 - 4 = -3$$，$$g(1) = 1 + 4 - 4 = 1$$，故 $$c \in (0,1)$$。

因此 $$c < a < b$$，但选项无直接匹配。检查 $$a=4$$，$$b \in (2,3)$$，$$c \in (0,1)$$，故 $$c < b < a$$，对应选项 D。

第4题：若 $$a, b, c$$ 满足 $$2^{a} = \frac{1}{a}$$，$$\ln b = \frac{1}{b}$$，$$e^{c} = \frac{1}{c}$$，求大小关系。

分析：每个方程可写为函数形式。

对于 $$a$$：$$2^{a} = \frac{1}{a}$$ 即 $$a \cdot 2^{a} = 1$$，显然 $$a>0$$。尝试 $$a=0.5$$：$$0.5 \times \sqrt{2} \approx 0.707$$；$$a=0.4$$：$$0.4 \times 2^{0.4} \approx 0.4 \times 1.32 = 0.528$$；$$a=0.3$$：$$0.3 \times 1.23 = 0.369$$；值随a减小而减，但需等于1，故无解？实际上方程等价于 $$a = 2^{-a}$$，函数 $$y=a$$ 与 $$y=2^{-a}$$ 有交点，在 $$a \in (0,1)$$ 内，约 $$a \approx 0.64$$ 时成立。

对于 $$b$$：$$\ln b = \frac{1}{b}$$，尝试 $$b=1$$：$$0=1$$ 不成立；$$b=2$$：$$\ln 2 \approx 0.693$$，$$\frac{1}{2}=0.5$$；$$b=3$$：$$\ln 3 \approx 1.099$$，$$\frac{1}{3} \approx 0.333$$；$$b=0.5$$：$$\ln 0.5 \approx -0.693$$，$$\frac{1}{0.5}=2$$。实际上函数 $$y=\ln b$$ 与 $$y=\frac{1}{b}$$ 在 $$b>1$$ 有交点，约 $$b \approx 1.76$$。

对于 $$c$$：$$e^{c} = \frac{1}{c}$$ 即 $$c \cdot e^{c} = 1$$，$$c>0$$。尝试 $$c=0.5$$：$$0.5 \times 1.649 \approx 0.824$$；$$c=0.3$$：$$0.3 \times 1.35 = 0.405$$；$$c=0.6$$：$$0.6 \times 1.822 = 1.093$$；故 $$c \in (0.5,0.6)$$，约 $$c \approx 0.567$$。

因此 $$c < a < b$$，对应选项 B。

第5题：设 $$a, b$$ 均为不等于1的正实数，则“$$a > b > 1$$”是“$$\log_{b} 2 > \log_{a} 2$$”的什么条件。

分析：考虑对数性质。$$\log_{b} 2 > \log_{a} 2$$ 可写为 $$\frac{1}{\log_{2} b} > \frac{1}{\log_{2} a}$$。

若 $$\log_{2} a$$ 和 $$\log_{2} b$$ 同号（即 $$a,b>1$$ 或 $$0

但这里条件是 $$a > b > 1$$，恰好有 $$b < a$$，故充分。

必要吗？若 $$\log_{b} 2 > \log_{a} 2$$，则可能 $$a,b>1$$ 且 $$ba$$（因为底数在0到1时对数函数减）。但条件要求 $$a>b>1$$，故不必要（反例：$$0

因此是充分不必要条件，对应选项 A。

第8题：设 $$x_{1}, x_{2}, x_{3}$$ 均为实数，且 $$e^{-x_{1}} = \ln (x_{1}+1)$$，$$e^{-x_{2}} = \lg x_{2}$$，$$e^{-x_{3}} = \ln x_{3}$$，求大小关系。

分析：每个方程定义了一个交点。

对于 $$x_{1}$$：$$e^{-x_{1}} = \ln (x_{1}+1)$$，定义域 $$x_{1} > -1$$。函数 $$y=e^{-x}$$ 减，$$y=\ln(x+1)$$ 增。在 $$x=0$$：左=1，右=0；$$x=-0.5$$：左≈1.648，右=ln0.5≈-0.693；$$x=1$$：左≈0.368，右=ln2≈0.693。故有唯一解，且 $$x_{1} \in (0,1)$$。

对于 $$x_{2}$$：$$e^{-x_{2}} = \lg x_{2}$$，定义域 $$x_{2}>0$$。$$x=1$$：左≈0.368，右=0；$$x=0.1$$：左≈1.105，右=-1；$$x=2$$：左≈0.135，右=lg2≈0.301。故有解在 $$x_{2} \in (1,2)$$。

对于 $$x_{3}$$：$$e^{-x_{3}} = \ln x_{3}$$，定义域 $$x_{3}>0$$。$$x=1$$：左≈0.368，右=0；$$x=0.5$$：左≈0.607，右=ln0.5≈-0.693；$$x=2$$：左≈0.135，右=ln2≈0.693。故有解在 $$x_{3} \in (1,2)$$，但与 $$x_{2}$$ 比较？由于 $$\lg x < \ln x$$ 对于 $$x>1$$，故 $$e^{-x}$$ 需更小以满足等式，即 $$x_{3} > x_{2}$$。

因此 $$x_{1} < x_{2} < x_{3}$$，但选项无直接。实际上 $$x_{1} \in (0,1)$$，$$x_{2},x_{3} \in (1,2)$$ 且 $$x_{2} < x_{3}$$，故 $$x_{1} < x_{2} < x_{3}$$，对应选项 A（但A是 $$x_{3}

重算 $$x_{3}$$：方程 $$e^{-x} = \ln x$$，在 $$x=1.5$$：左≈0.223，右=ln1.5≈0.405；$$x=1.8$$：左≈0.165，右=ln1.8≈0.588；$$x=1.2$$：左≈0.301，右=ln1.2≈0.182；故 $$x_{3} \in (1.2,1.5)$$。$$x_{2}$$：$$e^{-x} = \lg x$$，在 $$x=1.5$$：左≈0.223，右=lg1.5≈0.176；$$x=1.4$$：左≈0.247，右=lg1.4≈0.146；$$x=1.6$$：左≈0.202，右=lg1.6≈0.204；故 $$x_{2} \approx 1.6$$。因此 $$x_{1} \in (0,1)$$，$$x_{3} \in (1.2,1.5)$$，$$x_{2} \approx 1.6$$，故 $$x_{1} < x_{3} < x_{2}$$，对应选项 D。

第9题：若实数 $$a, b$$ 满足 $$\log_{a} 2 < \log_{b} 2$$，则下列关系中不可能成立的是？

分析：利用对数换底公式：$$\log_{a} 2 = \frac{1}{\log_{2} a}$$，$$\log_{b} 2 = \frac{1}{\log_{2} b}$$，故不等式化为 $$\frac{1}{\log_{2} a} < \frac{1}{\log_{2} b}$$。

分情况讨论：

1. 若 $$\log_{2} a$$ 和 $$\log_{2} b$$ 同正（即 $$a,b>1$$），则 $$\log_{2} b < \log_{2} a$$，即 $$b < a$$。

2. 若同负（即 $$0 \log_{2} a$$（因负数的倒数不等式反向），即 $$b > a$$。

3. 若一正一负，则 $$\frac{1}{\log_{2} a}$$ 和 $$\frac{1}{\log_{2} b}$$ 异号，不等式可能成立。

看选项：

A. $$0 < b < a < 1$$：此时 $$a,b \in (0,1)$$，应有 $$b > a$$，但这里 $$b < a$$，故不可能。

B. $$0 < a < 1 < b$$：此时 $$\log_{2} a < 0$$，$$\log_{2} b > 0$$，故 $$\frac{1}{\log_{2} a} < 0$$，$$\frac{1}{\log_{2} b} > 0$$，不等式成立。

C. $$a > b > 1$$：此时应有 $$b < a$$，成立。

D. $$0 < b < 1 < a$$：此时 $$\log_{2} b < 0$$，$$\log_{2} a > 0$$，故 $$\frac{1}{\log_{2} b} < 0$$，$$\frac{1}{\log_{2} a} > 0$$，不等式 $$\frac{1}{\log_{2} a} < \frac{1}{\log_{2} b}$$ 不成立（正<负？），但原不等式是 $$\log_{a} 2 < \log_{b} 2$$，即 $$\frac{1}{\log_{2} a} < \frac{1}{\log_{2} b}$$，这里左正右负，故成立（正<负？实际上正数大于负数，故左>右，不满足<）。因此D也不成立？但选项问“不可能”，A和D都可能不可能？

详细：对于D，$$0 0$$（因为底>1真数>1），$$\log_{b} 2 < 0$$（因为底<1真数>1），故 $$\log_{a} 2 > 0 > \log_{b} 2$$，即 $$\log_{a} 2 > \log_{b} 2$$，与已知矛盾，故D也不可能。

但选项A和D都不可能？检查A：$$01），且因为 $$b \log_{b} 2$$，与已知 $$\log_{a} 2 < \log_{b} 2$$ 矛盾，故A不可能。

但题目要求选一个“不可能”，可能A是答案。

标准答案：A不可能。