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正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {x^{2}+2 x， x \geq0，} \\ {x^{2}-2 x， x < 0，} \\ \end{matrix} \right.$$若$$f (-a )+f ( a ) \leqslant2 f ( 1 )，$$则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$[-1， \ 0 )$$
B.$$[ 0， \ 1 ]$$
C.$$[-1， 1 ]$$
D.$$[-2， 2 ]$$
2、['分段函数与方程、不等式问题'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%已知$${{a}{>}{2}}$$，函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\left\{\begin{matrix} {l o g_{a} ( x+1 )+x-2， \ x > 0} \\ {x+4-( \frac{1} {a} )^{x+1} x \leqslant0} \\ \end{matrix} \right.$$若函数$${{f}{（}{x}{）}}$$有两个零点$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，则（）
D
A.$$\exists a > 2， ~ x_{1}-x_{2}=0$$
B.$$\exists a > 2， ~ x_{1}-x_{2}=1$$
C.$$\forall a > 2， ~ | x_{1}-x_{2} |=2$$
D.$$\forall a > 2， ~ | x_{1}-x_{2} |=3$$
3、['分段函数与方程、不等式问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']正确率40.0%$${{9}}$$.已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\left\{\begin{matrix} {\frac{1} {x+1}-3， x \in(-1， 0 ]} \\ {x， x \in( 0， 1 ]} \\ \end{matrix} \right.$$，且$$g \textbf{\textit{( x )}}=f \textbf{\textit{( x )}}-m x-m$$在$$( \ -1， \ 1 ]$$内有且仅有两个不同的零点，则实数$${{m}}$$的取值范围是
A
A.$$( ~-\frac{9} {4}， ~-2 ] \cup~ ( 0， ~ \frac{1} {2} ]$$
B.$$( \ y-\frac{1 1} {4}， \ y-2 ] \cup( \ 0， \ \frac{1} {2} ]$$
C.$$( ~-\frac{9} {4}， ~-2 ] \cup~ ( 0， ~ \frac{2} {3} ]$$
D.$$( \ y-\frac{1 1} {4}， \ y-2 ] \cup\ ( \ 0， \ \frac{2} {3} ]$$
4、['分段函数与方程、不等式问题'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{}-x^{2}+a x， x \leqslant1，} \\ {} & {{} a^{2} x^{2}-7， x > 1，} \\ \end{aligned} \right.$$若存在$$x_{1}， ~ x_{2} \in R$$，且$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，使$$f ( x_{1} )=f ( x_{2} )$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$${{a}{<}{3}}$$
B.$$- 2 < a < 3$$
C.$$- 2 \leqslant a \leqslant2$$
D.$${{a}{<}{2}}$$
5、['分段函数与方程、不等式问题'， '分段函数的单调性'， '函数单调性的应用'， '二次函数的图象分析与判断'， '不等式的性质']正确率40.0%函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{aligned} {} & {{} x+\frac{1} {2}， x \in\left[ 0， \frac{1} {2} \right]} \\ {} & {{} 3 x^{2}， x \in\left[ \frac{1} {2}， 1 \right]} \\ \end{aligned} \right.$$，若存在$${{a}{<}{b}}$$，使得$$f \left( a \right)=f \left( b \right)$$，则$${{a}{⋅}{f}{{(}{b}{)}}}$$取值范围是（）
A
A.$$\left[ \frac{3} {1 6}， \frac{1} {2} \right)$$
B.$$[ \frac{1} {8}， \frac{\sqrt{3}} {6} )$$
C.$$[ \frac{3} {8}， 3 )$$
D.$$\left[ \frac{3} {4}， 1 \right)$$
6、['分段函数与方程、不等式问题'， '已知函数值（值域）求自变量或参数'， '分段函数求值'， '分段函数的定义']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {2^{x}+1， x < 1} \\ {x^{2}+a x， x \geq1，} \\ \end{array} \right.$$若$$f ( f ( 0 ) )=4 a$$，则实数$${{a}}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{9}}$$
7、['分段函数与方程、不等式问题'， '指数方程与指数不等式的解法']正确率40.0%设函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {x+1， x \leqslant0} \\ {2^{x}， x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$，则满足$$f \left( x \right)+f \left( x-\frac1 2 \right) > 1$$的$${{x}}$$的取值范围是（）
C
A.$$\left(-\frac1 2，+\infty\right)$$
B.$$(-\infty， 0 )$$
C.$$\left(-\frac1 4，+\infty\right)$$
D.$$\left( \frac1 4，+\infty\right)$$
8、['分段函数与方程、不等式问题'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']正确率40.0%函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {-\left( x-a \right)^{2}-k-a， x \leqslant a} \\ {\frac{\mathrm{e}^{x}} {a-x}， x > a} \\ \end{aligned} \right.$$，对$${{∀}{a}{∈}{R}}$$，若$$\exists x_{0} \in(-\infty， ~ a ]，$$使得$$\forall x_{1} \in( a，+\infty)$$都有$$f ( x_{1} ) \leqslant f ( x_{0} )$$，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）
C
A.$$(-\infty， 1 )$$
B.$$[ 1， ~+\infty)$$
C.$$(-\infty， 2 ]$$
D.$$[ 2， ~+\infty)$$
9、['分段函数与方程、不等式问题'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {2^{x}， x \geqslant a} \\ {-x， x < a} \\ \end{matrix} \right.$$，若函数$${{f}{(}{x}{)}}$$存在零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$$(-\infty， 0 )$$
B.$$(-\infty， 1 )$$
C.$$( 1，+\infty)$$
D.$$( 0，+\infty)$$
10、['分段函数与方程、不等式问题']正确率40.0%已知$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} \frac{1} {2} x+1， \ x \leqslant0，} \\ {} & {{}-( x-1 )^{2}， \ x > 0，} \\ \end{aligned} \right.$$使$$f ( x ) \geqslant-1$$成立的$${{x}}$$的取值范围是（）
B
A.$$[-4， 1 ]$$
B.$$[-4， 2 ]$$
C.$$[-3， 2 ]$$
D.$$[-3， 1 ]$$
以下是各题的详细解析： --- ### 第1题解析函数$$f(x)$$分段定义，需分别计算$$f(-a)$$和$$f(a)$$。
当$$a \geq 0$$时： - $$f(a) = a^2 + 2a$$ - $$f(-a) = (-a)^2 - 2(-a) = a^2 + 2a$$ 不等式变为$$2a^2 + 4a \leq 2(1^2 + 2 \cdot 1) = 6$$，即$$a^2 + 2a - 3 \leq 0$$，解得$$a \in [-3, 1]$$。结合$$a \geq 0$$，得$$a \in [0, 1]$$。
当$$a < 0$$时： - $$f(a) = a^2 - 2a$$ - $$f(-a) = (-a)^2 + 2(-a) = a^2 - 2a$$ 不等式同样为$$2a^2 - 4a \leq 6$$，即$$a^2 - 2a - 3 \leq 0$$，解得$$a \in [-1, 3]$$。结合$$a < 0$$，得$$a \in [-1, 0)$$。
综上，$$a \in [-1, 1]$$，选项**C**正确。
--- ### 第2题解析函数$$f(x)$$在$$x > 0$$时为$$ \log_a(x+1) + x - 2 $$，在$$x \leq 0$$时为$$ x + 4 - \left(\frac{1}{a}\right)^{x+1} $$。
分析零点条件： 1. **$$x > 0$$部分**：设$$ \log_a(x+1) + x - 2 = 0 $$。当$$x=1$$时，$$ \log_a(2) - 1 = 0 $$，即$$a=2$$。但$$a > 2$$，故$$x_1 > 1$$。
2. **$$x \leq 0$$部分**：设$$ x + 4 - \left(\frac{1}{a}\right)^{x+1} = 0 $$。当$$x=-1$$时，$$ -1 + 4 - 1 = 2 \neq 0 $$；当$$x=-2$$时，$$ -2 + 4 - a = 0 $$，得$$a=2$$。但$$a > 2$$，故$$x_2 < -2$$。
通过计算，$$x_1 - x_2 = 3$$恒成立，但选项中无此答案。进一步分析发现，当$$a$$接近2时，$$x_1 \to 1$$，$$x_2 \to -2$$，差值趋近3。选项**D**正确。
--- ### 第3题解析函数$$g(x) = f(x) - mx - m$$在$$(-1, 1]$$内有两个零点。
分段分析： 1. **$$x \in (-1, 0]$$**：$$ \frac{1}{x+1} - 3 - mx - m = 0 $$，即$$ \frac{1}{x+1} = mx + m + 3 $$。
2. **$$x \in (0, 1]$$**：$$ x - mx - m = 0 $$，即$$ x(1 - m) = m $$，解得$$ x = \frac{m}{1 - m} $$（需满足$$0 < x \leq 1$$）。
结合图像和边界条件，解得$$m \in \left(-\frac{9}{4}, -2\right] \cup \left(0, \frac{1}{2}\right]$$，选项**A**正确。
--- ### 第4题解析函数$$f(x)$$在$$x \leq 1$$时为$$-x^2 + a x$$，在$$x > 1$$时为$$a^2 x^2 - 7$$。
要求存在$$x_1 \neq x_2$$使$$f(x_1) = f(x_2)$$，即函数非单调。
分析临界点$$x=1$$： - 左极限：$$f(1) = -1 + a$$ - 右极限：$$f(1^+) = a^2 - 7$$
需满足$$-1 + a \geq a^2 - 7$$，即$$a^2 - a - 6 \leq 0$$，解得$$a \in [-2, 3]$$。选项**B**正确。
--- ### 第5题解析函数$$f(x)$$在$$[0, \frac{1}{2}]$$为$$x + \frac{1}{2}$$，在$$[\frac{1}{2}, 1]$$为$$3x^2$$。
设$$f(a) = f(b)$$，则$$a \in [0, \frac{1}{2}]$$，$$b \in [\frac{1}{2}, 1]$$，且$$a + \frac{1}{2} = 3b^2$$。
解得$$b \in \left[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$$，$$a = 3b^2 - \frac{1}{2}$$。
计算$$a \cdot f(b) = \left(3b^2 - \frac{1}{2}\right) \cdot 3b^2 = 9b^4 - \frac{3}{2}b^2$$，其取值范围为$$\left[\frac{3}{16}, \frac{1}{2}\right)$$，选项**A**正确。
--- ### 第6题解析计算$$f(0) = 2^0 + 1 = 2$$，再计算$$f(f(0)) = f(2) = 2^2 + a \cdot 2 = 4 + 2a$$。
由题意$$4 + 2a = 4a$$，解得$$a = 2$$，选项**C**正确。
--- ### 第7题解析函数$$f(x)$$分段定义，需分情况讨论不等式$$f(x) + f\left(x - \frac{1}{2}\right) > 1$$。
1. **$$x \leq 0$$**：$$f(x) = x + 1$$，$$f\left(x - \frac{1}{2}\right) = \left(x - \frac{1}{2}\right) + 1 = x + \frac{1}{2}$$。不等式为$$2x + \frac{3}{2} > 1$$，即$$x > -\frac{1}{4}$$。结合$$x \leq 0$$，得$$x \in \left(-\frac{1}{4}, 0\right]$$。
2. **$$0 < x \leq \frac{1}{2}$$**：$$f(x) = 2^x$$，$$f\left(x - \frac{1}{2}\right) = \left(x - \frac{1}{2}\right) + 1 = x + \frac{1}{2}$$。不等式为$$2^x + x + \frac{1}{2} > 1$$，恒成立。
3. **$$x > \frac{1}{2}$$**：$$f(x) = 2^x$$，$$f\left(x - \frac{1}{2}\right) = 2^{x - \frac{1}{2}}$$。不等式为$$2^x + 2^{x - \frac{1}{2}} > 1$$，恒成立。
综上，$$x \in \left(-\frac{1}{4}, +\infty\right)$$，选项**C**正确。
--- ### 第8题解析函数$$f(x)$$在$$x \leq a$$时为$$-(x - a)^2 - k - a$$，在$$x > a$$时为$$\frac{e^x}{a - x}$$。
要求对任意$$a$$，存在$$x_0 \leq a$$，使得$$f(x_0) \geq f(x_1)$$对所有$$x_1 > a$$成立。即$$f(x_0)$$为全局最大值。
分析$$f(x)$$在$$x \leq a$$的最大值为$$f(a) = -k - a$$，在$$x > a$$时$$f(x)$$趋近$$-\infty$$。需满足$$-k - a \geq 0$$对所有$$a$$成立，即$$k \leq -a$$对所有$$a$$成立，故$$k \leq 1$$（取$$a = -1$$），选项**A**正确。
--- ### 第9题解析函数$$f(x)$$在$$x \geq a$$时为$$2^x$$，在$$x < a$$时为$$-x$$。
若$$a \leq 0$$，$$f(x)$$在$$x < a$$时为$$-x > 0$$，在$$x \geq a$$时$$2^x \geq 1$$，无零点。
若$$a > 0$$，需$$2^a = -a$$，但$$2^a > 0$$且$$-a < 0$$，无解。进一步分析发现，当$$a < 0$$时，$$f(x)$$在$$x \to a^-$$时为$$-a$$，在$$x \to a^+$$时为$$2^a$$。若$$2^a = -a$$，即$$a = -1$$，此时有零点。
综上，$$a \in (-\infty, 0)$$，选项**A**正确。
--- ### 第10题解析函数$$f(x)$$在$$x \leq 0$$时为$$\frac{1}{2}x + 1$$，在$$x > 0$$时为$$-(x - 1)^2$$。
解不等式$$f(x) \geq -1$$： 1. **$$x \leq 0$$**：$$\frac{1}{2}x + 1 \geq -1$$，即$$x \geq -4$$。
2. **$$x > 0$$**：$$-(x - 1)^2 \geq -1$$，即$$(x - 1)^2 \leq 1$$，解得$$x \in [0, 2]$$。
综上，$$x \in [-4, 2]$$，选项**B**正确。
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