函数求解析式-函数的拓展与综合知识点专题基础自测题解析-山西省等高一数学必修,平均正确率64.0%

1、['函数求解析式']

正确率80.0%已知$$f ( x+1 )=x^{2}-1，$$则$${{f}{(}{x}{)}}$$的解析式为（）

A.$$x^{2}-2 x-1$$

B.$$x^{2}-2 x+1$$

C.$$x^{2}-2 x$$

D.$$x^{2}+2 x$$

2、['函数的奇偶性'， '函数求解析式']

正确率80.0%已知$${{f}{(}{x}{)}}$$是偶函数，当$${{x}{>}{0}}$$时，$$f ( x )=x ( x+1 )$$，$${{x}{<}{0}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}}$$等于$${{(}{)}}$$

A.$$f ( x )=x^{2}+1$$

B.$$f ( x )=x^{2}-x$$

C.$$f ( x )=1-x^{2}$$

D.$$f ( x )=-x^{2}-x$$

3、['函数求解析式']

正确率80.0%已知函数$$f ( x^{2}+1 )=x^{4}$$，则函数$$y=f ( x )$$的解析式是$${{(}{)}}$$

A.$$f ( x )=( x-1 )^{2}$$，$${{x}{⩾}{0}}$$

B.$$f ( x )=( x-1 )^{2}$$，$${{x}{⩾}{1}}$$

C.$$f ( x )=( x+1 )^{2}$$，$${{x}{⩾}{0}}$$

D.$$f ( x )=( x+1 )^{2}$$，$${{x}{⩾}{1}}$$

4、['正弦（型）函数的单调性'， '函数求解析式']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi)+1 ( \omega< 0， | \varphi| < \frac{\pi} {2} )$$的单调递减区间为$$[-2 \pi+3 k \pi，-\frac{\pi} {2}+3 k \pi]， \， \， \， k \in Z$$，则$$f ( x )=( \textsubscript{\Pi} )$$

A.$$2 \operatorname{s i n} ( \frac{2} {3} x-\frac{\pi} {3} )+1$$

B.$$2 \operatorname{s i n} ( \frac{2} {3} x-\frac{\pi} {6} )+1$$

C.$$2 \operatorname{s i n} ( \frac2 3 x-\frac{3 \pi} {8} )+1$$

D.$$2 \operatorname{s i n} ( \frac{3} {2} x+\frac{\pi} {8} )+1$$

5、['正弦（型）函数的零点'， '函数求解析式']

正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=2 \operatorname{s i n} ~ \left( \begin{matrix} {\omega x+\varphi} \\ \end{matrix} \right) ~ \left( \begin{matrix} {0 < \omega< 6} \\ \end{matrix}， ~ \left| \varphi\right| < \frac{\pi} {2} \right)$$的图象经过点$$( \frac{\pi} {6}， \; 2 )$$和$$( \frac{2 \pi} {3}， ~-2 )$$．若函数$$g ~ ( \textbf{x} ) ~=f ~ ( \textbf{x} ) ~-m$$在区间$$[-\frac{\pi} {2}， \; 0 ]$$上有唯一零点，则$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$$( \ -1， \ 1 ]$$

B.$$\{-1 \} \cup(-\frac{1} {2}， ~ \frac{1} {2} ]$$

C.$$[-2， \ 1 )$$

D.$$\{-2 \} \cup~ ( ~-1， ~ 1 ]$$

6、['函数奇偶性的应用'， '函数求解析式'， '利用函数单调性比较大小'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%函数$$f ( x )=-x^{2}+3 m x-2$$对任意$${{x}{∈}{R}}$$总有$$f (-x )=f ( x )$$，则$$f (-1 )， ~ f (-\sqrt{2} )， ~ f ( \sqrt{3} )$$的大小关系为（）

A.$$f ( \sqrt{3} ) > f (-\sqrt{2} ) > f (-1 )$$

B.$$f (-1 ) < f ( \sqrt{3} ) < f (-\sqrt{2} )$$

C.$$f (-\sqrt{2} ) < f ( \sqrt{3} ) < f (-1 )$$

D.$$f ( \sqrt{3} ) < f (-\sqrt{2} ) < f (-1 )$$

7、['函数奇、偶性的定义'， '函数求解析式'， '利用函数奇偶性求解析式']

正确率60.0%已知$${{f}{(}{x}{)}}$$是奇函数，且当$${{x}{>}{0}}$$时，$$f \left( x \right)=x^{3}+x^{2}+1$$，则当$${{x}{<}{0}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}}$$的解析式是（）

A.$$f \left( x \right)=-x^{3}+x^{2}+1$$

B.$$f \left( x \right)=x^{3}-x^{2}-1$$

C.$$f \left( x \right)=-x^{3}-x^{2}+1$$

D.$$f \left( x \right)=x^{3}+x^{2}-1$$

8、['函数求解析式']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f ( x-1 )=x^{2}$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的解析式为$${{(}{)}}$$

A.$$f ( x )=\left( x+1 \right)^{2}$$

B.$$f ( x )=\left( x-1 \right)^{2}$$

C.$$f ( x )=x^{2}+1$$

D.$$f ( x )=x^{2}-1$$

9、['函数求值'， '函数求解析式']

正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=-x$$，则下列选项错误的是（）

A.$$f \left( \begin{matrix} {x+1} \\ \end{matrix} \right)=f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)+1$$

B.$$f \left( \begin{matrix} {3 x} \\ \end{matrix} \right)=3 f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)$$

C.$$f \left( \textit{f} \left( \begin{matrix} {f} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \right) \ =\textit{x}$$

D.$$f ( \frac{1} {x} )=\frac{1} {f ( x )}$$

10、['函数求解析式']

正确率60.0%已知$$g ( x+2 ) \!=\! 2 x+3，$$则$$g ( x )=$$（）

A.$${{2}{x}{+}{1}}$$

B.$${{2}{x}{-}{1}}$$

C.$${{2}{x}{-}{3}}$$

D.$${{2}{x}{-}{7}}$$

1. 题目给出 $$f(x+1) = x^2 - 1$$，要求找到 $$f(x)$$ 的解析式。

设 $$t = x + 1$$，则 $$x = t - 1$$，代入原式得： $$f(t) = (t - 1)^2 - 1 = t^2 - 2t + 1 - 1 = t^2 - 2t$$ 因此，$$f(x) = x^2 - 2x$$，对应选项 C。

2. 题目给出 $$f(x)$$ 是偶函数，且当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = x(x + 1)$$，要求 $$x < 0$$ 时的解析式。

由于 $$f(x)$$ 是偶函数，对于 $$x < 0$$，有： $$f(x) = f(-x) = (-x)(-x + 1) = x^2 - x$$ 对应选项 B。

3. 题目给出 $$f(x^2 + 1) = x^4$$，要求 $$f(x)$$ 的解析式。

设 $$t = x^2 + 1$$，则 $$x^2 = t - 1$$，代入原式得： $$f(t) = (t - 1)^2$$ 由于 $$t = x^2 + 1 \geq 1$$，所以定义域为 $$x \geq 1$$，对应选项 B。

4. 题目给出函数 $$f(x) = 2 \sin(\omega x + \varphi) + 1$$ 的单调递减区间为 $$[-2\pi + 3k\pi, -\frac{\pi}{2} + 3k\pi]$$，要求确定 $$f(x)$$ 的表达式。

单调递减区间长度为 $$\frac{3\pi}{2}$$，因此周期 $$T = 3\pi$$，故 $$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2}{3}$$。将区间中点代入相位条件，解得 $$\varphi = -\frac{\pi}{3}$$，因此 $$f(x) = 2 \sin\left(\frac{2}{3}x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$$，对应选项 A。

5. 题目给出函数 $$f(x) = 2 \sin(\omega x + \varphi)$$ 经过点 $$(\frac{\pi}{6}, 2)$$ 和 $$(\frac{2\pi}{3}, -2)$$，要求在区间 $$[-\frac{\pi}{2}, 0]$$ 上 $$g(x) = f(x) - m$$ 有唯一零点，求 $$m$$ 的取值范围。

由已知条件解得 $$\omega = 2$$，$$\varphi = \frac{\pi}{6}$$，因此 $$f(x) = 2 \sin(2x + \frac{\pi}{6})$$。在 $$[-\frac{\pi}{2}, 0]$$ 上，$$f(x)$$ 的取值范围为 $$[-1, 2]$$，且 $$f(0) = 1$$，$$f(-\frac{\pi}{2}) = -1$$。为使 $$g(x)$$ 有唯一零点，需 $$m = -1$$ 或 $$m \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$$，对应选项 B。

6. 题目给出函数 $$f(x) = -x^2 + 3mx - 2$$ 满足 $$f(-x) = f(x)$$，要求比较 $$f(-1)$$、$$f(-\sqrt{2})$$、$$f(\sqrt{3})$$ 的大小关系。

由偶函数性质得 $$m = 0$$，因此 $$f(x) = -x^2 - 2$$，为开口向下的抛物线。比较自变量绝对值大小：$$1 < \sqrt{2} < \sqrt{3}$$，因此函数值关系为 $$f(\sqrt{3}) < f(-\sqrt{2}) < f(-1)$$，对应选项 D。

7. 题目给出 $$f(x)$$ 是奇函数，且当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = x^3 + x^2 + 1$$，要求 $$x < 0$$ 时的解析式。

由奇函数性质，对于 $$x < 0$$，有： $$f(x) = -f(-x) = -[(-x)^3 + (-x)^2 + 1] = x^3 - x^2 - 1$$ 对应选项 B。

8. 题目给出 $$f(x - 1) = x^2$$，要求 $$f(x)$$ 的解析式。

设 $$t = x - 1$$，则 $$x = t + 1$$，代入原式得： $$f(t) = (t + 1)^2$$ 因此，$$f(x) = (x + 1)^2$$，对应选项 A。

9. 题目给出 $$f(x) = -x$$，要求判断错误的选项。

验证各选项： - A: $$f(x + 1) = -(x + 1) \neq -x + 1 = f(x) + 1$$，错误。 - B: $$f(3x) = -3x = 3f(x)$$，正确。 - C: $$f(f(f(x))) = f(f(-x)) = f(x) = -x$$，不等于 $$x$$，错误。 - D: $$f(\frac{1}{x}) = -\frac{1}{x} \neq \frac{1}{-x} = \frac{1}{f(x)}$$，错误。题目要求选择错误的选项，但选项 A、C、D 均错误，可能是题目描述有误。

10. 题目给出 $$g(x + 2) = 2x + 3$$，要求 $$g(x)$$ 的解析式。

设 $$t = x + 2$$，则 $$x = t - 2$$，代入原式得： $$g(t) = 2(t - 2) + 3 = 2t - 1$$ 因此，$$g(x) = 2x - 1$$，对应选项 B。

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