函数零点的值或范围问题-函数的拓展与综合知识点月考进阶选择题自测题答案-福建省等高一数学必修,平均正确率44.00000000000001%

1、['分段函数的图象'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {| x+1 |， \， \， \， x \leqslant0，} \\ {| \operatorname{l o g}_{4} x |， \， \， x > 0，} \\ \end{matrix} \right.$$若方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{k}}$$有$${{4}}$$个不同的实根$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}{{x}_{3}}{，}{{x}_{4}}{，}}$$且$${{x}_{1}{<}{{x}_{2}}{<}{{x}_{3}}{<}{{x}_{4}}{，}}$$则$$\frac{4} {x_{3} x_{4}^{2}}-x_{4} ( x_{1}+x_{2} )$$的取值范围是（）

A.$${{[}{4}{\sqrt {2}}{，}{6}{)}}$$

B.$${{[}{2}{，}{4}{\sqrt {2}}{)}}$$

C.$${{(}{2}{，}{4}{\sqrt {2}}{]}}$$

D.$${{[}{4}{\sqrt {2}}{，}{9}{]}}$$

2、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的图象特征'， '函数奇、偶性的定义'， '函数零点的概念'， '函数零点的值或范围问题']

正确率19.999999999999996%对定义在区间$${{D}}$$上的函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$，若存在常数$${{k}{>}{0}}$$，使对任意的$${{x}{∈}{D}}$$，都有$${{f}{{(}{x}{+}{k}{)}}{>}{f}{{(}{x}{)}}}$$成立，则称$${{f}{{(}{x}{)}}}$$为区间$${{D}}$$上的$${{“}{k}}$$阶增函数$${{”}}$$.已知$${{f}{{(}{x}{)}}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，当$$x \geqslant0， f \left( x \right)=\left\vert x-a^{2} \right\vert-a^{2}$$.若$${{f}{{(}{x}{)}}}$$为$${{R}}$$上的$${{“}{4}}$$阶增函数$${{”}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$${{[}{−}{1}{，}{3}{)}}$$

B.$${{(}{−}{2}{，}{2}{)}}$$

C.$${{(}{−}{2}{，}{1}{]}}$$

D.$${{(}{−}{1}{，}{1}{)}}$$

3、['函数的对称性'， '函数零点的概念'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\cos\pi x+\frac{2 x} {2 x-1}-a x+\frac{a} {2}-1$$有$${{2}}$$个零点$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，则（）

A.$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}{=}{a}}$$

B.$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}{=}{1}}$$

C.$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}{=}{0}}$$

D.$${{x}_{1}{{x}_{2}}{=}{1}}$$

4、['指数方程与指数不等式的解法'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%方程$${{x}^{3}{=}{{2}^{x}}}$$的根所在的区间是$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$

B.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$

C.$${{(}{2}{，}{3}{)}}$$

D.$${{(}{3}{，}{4}{)}}$$

5、['分段函数与方程、不等式问题'， '函数零点个数的判定'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {x^{2}-2 x， \ x \leqslant0} \\ {1+\frac{1} {x}， \ x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$，则函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}{+}{3}{x}}$$的零点个数是（）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

6、['函数零点的值或范围问题']

正确率60.0%函数$$f ( x )=| x-3 | ( 2^{\operatorname{s i n} \frac{\pi x} {2}}-1 )-1 (-3 \leqslant x \leqslant9 )$$的所有零点之和为$${{(}{)}}$$

A.$${{6}}$$

B.$${{1}{0}}$$

C.$${{1}{2}}$$

D.$${{1}{8}}$$

7、['根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点存在定理'， '函数零点的值或范围问题']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{k}{x}{+}{1}}$$在区间$${{(}{−}{1}{，}{{1}{)}}}$$上存在零点，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）

A.$${{−}{1}{<}{k}{<}{1}}$$

B.$${{k}{>}{1}}$$

C.$${{k}{<}{−}{1}}$$

D.$${{k}{<}{−}{1}}$$或$${{k}{>}{1}}$$

8、['函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{0}{.}{8}^{x}}{−}{l}{n}{x}}$$的零点在（）

A.$${（{0}{，}{1}{）}}$$

B.$${（{1}{，}{e}{）}}$$

C.$${（{e}{，}{3}{）}}$$

D.$${（{3}{，}{4}{）}}$$

9、['函数零点的值或范围问题']

正确率60.0%方程$${{l}{o}{g}_{3}{x}{+}{2}{x}{−}{8}{=}{0}}$$的解所在区间是$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{5}{，}{6}{)}}$$

B.$${{(}{3}{，}{4}{)}}$$

C.$${{(}{2}{，}{3}{)}}$$

D.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$

10、['函数的新定义问题'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%定义：如果函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$在定义域内给定区间$${{[}{a}{，}{b}{]}}$$上存在$${{x}_{0}{(}{a}{<}{{x}_{0}}{<}{b}{)}}$$，满足$$f ( x_{0} )=\frac{f ( b )-f ( a )} {b-a}$$，则称函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$是$${{[}{a}{，}{b}{]}}$$上的$${{“}}$$平均值函数$${{”}{，}{{x}_{0}}}$$是它的一个均值点，例如$${{y}{{=}{|}}{x}{|}}$$是$${{[}{−}{2}{，}{2}{]}}$$上的平均值函数，$${{0}}$$就是它的均值点，若函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{x}^{2}}{−}{m}{x}{−}{1}}$$是$${{[}{−}{1}{，}{1}{]}}$$上的$${{“}}$$平均值函数$${{”}}$$，则实数$${{m}}$$的取值范围是（$${）}$$;

A.$${{[}{−}{1}{，}{1}{]}}$$

B.$${{(}{0}{，}{2}{)}}$$

C.$${{[}{−}{2}{，}{2}{]}}$$

D.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$

1. 解析：

首先分析函数 $$f(x)$$ 的图像：

- 当 $$x \leqslant 0$$ 时，$$f(x) = |x + 1|$$，是一条 V 形线，顶点在 $$(-1, 0)$$。

- 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = |\log_4 x|$$，在 $$x = 1$$ 时取最小值 0，且在 $$x < 1$$ 时递减，$$x > 1$$ 时递增。

方程 $$f(x) = k$$ 有 4 个不同的实根，说明 $$k$$ 必须满足 $$0 < k < 1$$（因为 $$k = 1$$ 时只有 3 个根）。

设 $$x_1 < x_2 < x_3 < x_4$$，则：

- $$x_1$$ 和 $$x_2$$ 是 $$|x + 1| = k$$ 的根，即 $$x_1 = -1 - k$$，$$x_2 = -1 + k$$。

- $$x_3$$ 和 $$x_4$$ 是 $$|\log_4 x| = k$$ 的根，即 $$x_3 = 4^{-k}$$，$$x_4 = 4^k$$。

代入表达式：

$$\frac{4}{x_3 x_4^2} - x_4(x_1 + x_2) = \frac{4}{4^{-k} \cdot (4^k)^2} - 4^k(-1 - k -1 + k)$$

化简得：

$$4^{1 + k - 2k} + 2 \cdot 4^k = 4^{1 - k} + 2 \cdot 4^k$$

令 $$t = 4^k$$（$$1 < t < 4$$），则表达式为 $$\frac{4}{t} + 2t$$。

求其取值范围：当 $$t \in (1, 4)$$ 时，$$\frac{4}{t} + 2t$$ 的最小值为 $$4\sqrt{2}$$（当 $$t = \sqrt{2}$$ 时取得），最大值趋近于 6。因此范围为 $$[4\sqrt{2}, 6)$$，选 A。

2. 解析：

由题意，$$f(x)$$ 是奇函数，且当 $$x \geqslant 0$$ 时，$$f(x) = |x - a^2| - a^2$$。

因为 $$f(x)$$ 是 $$R$$ 上的“4 阶增函数”，即对任意 $$x$$，有 $$f(x + 4) > f(x)$$。

分析 $$f(x)$$ 的图像：

- 当 $$x \geqslant a^2$$ 时，$$f(x) = x - 2a^2$$，单调递增。

- 当 $$0 \leqslant x < a^2$$ 时，$$f(x) = -x$$，单调递减。

由于 $$f(x)$$ 是奇函数，$$x < 0$$ 时的图像对称。

为了保证 $$f(x + 4) > f(x)$$，需要 $$a^2 < 2$$（否则在 $$x \in [a^2 - 4, a^2)$$ 处不满足）。因此 $$a \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$$。

进一步分析可得 $$a \in (-1, 1)$$ 时条件成立，选 D。

3. 解析：

函数 $$f(x) = \cos \pi x + \frac{2x}{2x - 1} - a x + \frac{a}{2} - 1$$ 有 2 个零点。

观察到 $$\frac{2x}{2x - 1}$$ 的对称中心为 $$(\frac{1}{2}, 1)$$，而 $$\cos \pi x$$ 关于 $$x = \frac{1}{2}$$ 对称。

设 $$x_1$$ 和 $$x_2$$ 为零点，且 $$x_1 + x_2 = 1$$（因为对称性），选 B。

4. 解析：

方程 $$x^3 = 2^x$$ 的根可以通过函数交点分析。

- 当 $$x = 1$$ 时，$$1^3 = 1 < 2^1 = 2$$。

- 当 $$x = 2$$ 时，$$2^3 = 8 = 2^2 = 4$$ 不成立。

- 当 $$x = 3$$ 时，$$3^3 = 27 > 2^3 = 8$$。

- 当 $$x = 4$$ 时，$$4^3 = 64 > 2^4 = 16$$。

进一步计算发现 $$x \in (2, 3)$$ 时方程有解，选 C。

5. 解析：

函数 $$y = f(x) + 3x$$ 的零点即 $$f(x) = -3x$$。

- 当 $$x \leqslant 0$$ 时，$$x^2 - 2x = -3x$$，解得 $$x = 0$$ 或 $$x = -1$$。

- 当 $$x > 0$$ 时，$$1 + \frac{1}{x} = -3x$$，无解（因为左边为正，右边为负）。

因此有 2 个零点，选 C。

6. 解析：

函数 $$f(x) = |x - 3|(2^{\sin \frac{\pi x}{2}} - 1) - 1$$ 的零点。

注意到 $$2^{\sin \frac{\pi x}{2}} - 1 = 0$$ 时，$$\sin \frac{\pi x}{2} = 0$$，即 $$x = 2k$$（$$k \in \mathbb{Z}$$）。

在 $$[-3, 9]$$ 内，$$x = -2, 0, 2, 4, 6, 8$$。

验证这些点是否为零点：

- 当 $$x = 4$$ 时，$$f(4) = 1 \cdot (2^0 - 1) - 1 = -1 \neq 0$$。

- 其他点类似验证，发现 $$x = 2$$ 和 $$x = 6$$ 是零点。

此外，还需考虑 $$|x - 3|(2^{\sin \frac{\pi x}{2}} - 1) = 1$$ 的解，通过图像分析可得其他零点，总和为 12，选 C。

7. 解析：

函数 $$f(x) = kx + 1$$ 在 $$(-1, 1)$$ 上存在零点，即 $$kx + 1 = 0$$ 有解 $$x \in (-1, 1)$$。

解得 $$x = -\frac{1}{k}$$，需满足 $$-1 < -\frac{1}{k} < 1$$。

分情况讨论：

- 若 $$k > 0$$，则 $$k > 1$$。

- 若 $$k < 0$$，则 $$k < -1$$。

因此 $$k < -1$$ 或 $$k > 1$$，选 D。

8. 解析：

函数 $$f(x) = 0.8^x - \ln x$$ 的零点。

- 当 $$x = 1$$ 时，$$0.8^1 - \ln 1 = 0.8 > 0$$。

- 当 $$x = e$$ 时，$$0.8^e - 1 \approx 0.8^{2.718} - 1 < 0$$。

因此零点在 $$(1, e)$$，选 B。

9. 解析：

方程 $$\log_3 x + 2x - 8 = 0$$ 的解。

- 当 $$x = 3$$ 时，$$\log_3 3 + 6 - 8 = -1 < 0$$。

- 当 $$x = 4$$ 时，$$\log_3 4 + 8 - 8 \approx 1.26 > 0$$。

因此解在 $$(3, 4)$$，选 B。

10. 解析：

函数 $$f(x) = x^2 - m x - 1$$ 是 $$[-1, 1]$$ 上的“平均值函数”，即存在 $$x_0 \in (-1, 1)$$ 满足：

$$f(x_0) = \frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)}$$。

计算得：

$$\frac{(1 - m - 1) - (1 + m - 1)}{2} = -m$$。

因此需 $$x_0^2 - m x_0 - 1 = -m$$，即 $$x_0^2 - m x_0 + m - 1 = 0$$。

解得 $$x_0 = 1$$ 或 $$x_0 = m - 1$$。

因为 $$x_0 \in (-1, 1)$$，所以 $$m - 1 \in (-1, 1)$$，即 $$m \in (0, 2)$$，选 B。

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