函数求解析式-函数的拓展与综合知识点教师选题基础选择题自测题答案-西藏自治区等高一数学必修,平均正确率72.0%

3. 解析：

函数 $$f(x) = x|x - a|$$ 在区间 $$[3, +\infty)$$ 上满足 $$\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} > 0$$ 对所有 $$x_1 \neq x_2$$ 成立，即 $$f(x)$$ 在该区间严格单调递增。

分情况讨论：

1. 当 $$a \leq 3$$ 时，对于 $$x \geq 3$$，$$x - a \geq 0$$，因此 $$f(x) = x(x - a) = x^2 - a x$$。导数为 $$f'(x) = 2x - a \geq 6 - a > 0$$（因为 $$x \geq 3$$ 且 $$a \leq 3$$），满足单调递增。

2. 当 $$a > 3$$ 时，函数在 $$x = a$$ 处不可导，且在 $$[3, a)$$ 上可能不单调，因此不满足条件。

综上，$$a \leq 3$$，即选项 C 正确。

4. 解析：

函数 $$f(x)$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上是单调函数，且满足 $$f\left(f(x) - \frac{1}{x}\right) = 2$$。

设 $$f(x) - \frac{1}{x} = c$$（常数），则 $$f(c) = 2$$。由于 $$f(x)$$ 单调，$$c$$ 唯一。

因此，$$f(x) = c + \frac{1}{x}$$。代入 $$f(c) = 2$$ 得：

$$c + \frac{1}{c} = 2$$，解得 $$c = 1$$。

所以 $$f(x) = 1 + \frac{1}{x}$$，即选项 D 正确。

6. 解析：

已知 $$f\left(\frac{1}{x-1}\right) = x + 1$$，设 $$t = \frac{1}{x-1}$$，则 $$x = 1 + \frac{1}{t}$$。

代入得：

$$f(t) = \left(1 + \frac{1}{t}\right) + 1 = 2 + \frac{1}{t}$$。

因此，$$f(x) = 2 + \frac{1}{x}$$，即选项 C 正确。

7. 解析：

函数 $$f(x) = x^3 + a x^2 + b x$$ 在 $$x = 1$$ 处有极值 10。

极值条件：

1. $$f(1) = 1 + a + b = 10$$；

2. $$f'(1) = 3 + 2a + b = 0$$。

解得：$$a = -12$$，$$b = 21$$。

因此，$$f(x) = x^3 - 12 x^2 + 21 x$$，计算 $$f(2) = 8 - 48 + 42 = 2$$，即选项 B 正确。

8. 解析：

验证各选项是否满足 $$f(2x) = 2 f(x)$$：

A. $$f(x) = |x|$$，满足 $$f(2x) = 2|x| = 2 f(x)$$；

B. $$f(x) = x - |x|$$，满足 $$f(2x) = 2x - 2|x| = 2 f(x)$$；

C. $$f(x) = x + 1$$，不满足 $$f(2x) = 2x + 1 \neq 2(x + 1) = 2 f(x)$$；

D. $$f(x) = -x$$，满足 $$f(2x) = -2x = 2 f(x)$$。

因此，选项 C 不满足条件。

9. 解析：

已知 $$f(g(x)) = 6x - 7$$，且 $$f(x) = 2x + 3$$。

设 $$f(g(x)) = 2 g(x) + 3 = 6x - 7$$，解得：

$$g(x) = \frac{6x - 10}{2} = 3x - 5$$。

因此，选项 B 正确。

10. 解析：

已知 $$f(2x - 1) = x^2 - 3$$，求 $$f(3)$$。

设 $$2x - 1 = 3$$，解得 $$x = 2$$。

代入得：

$$f(3) = 2^2 - 3 = 1$$。

因此，选项 A 正确。