格物学 第四章 指数函数与对数函数函数的拓展与综合

利用函数单调性求参数的取值范围-函数的拓展与综合知识点考前进阶选择题自测题解析-四川省等高一数学必修,平均正确率50.0%

2025-07-28
利用函数单调性求参数的取值范围-函数的拓展与综合知识点考前进阶选择题自测题解析-四川省等高一数学必修,平均正确率50.0%
1、['利用函数单调性求参数的取值范围', '利用导数求参数的取值范围', '利用导数证明不等式', '导数中不等式恒成立与存在性问题']

正确率19.999999999999996%已知$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数,记$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数为$$f^{\prime} \textsubscript{\textit{( x )}}$$,当$${{x}{⩾}{0}}$$时,满足$$f^{\prime} ~ ( \textbf{x} ) ~-f ~ ( \textbf{x} ) ~ > 0$$.若$$\exists x \in[-2, ~+\infty)$$使不等式$$f [ \mathrm{e}^{x} ~ ( \mathrm{~ x}^{3}-3 x+3 ) \ ] \leqslant f ~ ( \mathrm{~ a e}^{x}+x )$$成立,则实数$${{a}}$$的最小值为(

D

A.$$\frac{2} {\mathrm{e}}-1$$

B.$$2-\frac{2} {\mathrm{e}}$$

C.$${{1}{+}{2}{{e}^{2}}}$$

D.$$1-\frac{1} {\mathrm{e}}$$

2、['利用函数单调性求参数的取值范围', '函数奇、偶性的定义', '函数单调性与奇偶性综合应用']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left( \frac{2} {3} \right)^{| x |}-x^{\frac{2} {3}},$$且满足$$f ( 2 a-1 ) > f ( 3 ),$$则$${{a}}$$的取值范围为(

B

A.$${{a}{<}{−}{1}}$$或$${{a}{>}{2}}$$

B.$$- 1 < a < 2$$

C.$${{a}{>}{2}}$$

D.$${{a}{<}{2}}$$

3、['利用函数单调性求参数的取值范围', '二次函数的图象分析与判断']

正确率60.0%已知开口向上的二次函数$${{f}{(}{x}{)}}$$对任意$${{x}{∈}{R}}$$都满足$$f \left( \textbf{3}-\textbf{x} \right) \ =\textit{f} \left( \textbf{x} \right)$$,若$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$( \ a, \ 2 a-1 )$$上单调递减,则实数$${{a}}$$的取值范围为(

A

A.$$( \mathrm{~-~} \infty, \mathrm{~} \frac{5} {4} ]$$

B.$$( 1, ~ \frac{5} {4} ]$$

C.$$[-\frac{3} {2}, ~+\infty)$$

D.$$(-\infty, \ 2 ]$$

4、['利用函数单调性求参数的取值范围', '二次函数的图象分析与判断']

正确率60.0%函数$$f \left( x \right)=x^{2}+2 \left( a-1 \right) x+2$$在区间$$(-\infty, 4 ]$$上递减,则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$.

B

A.$$[-3,+\infty)$$

B.$$(-\infty,-3 ]$$

C.$$(-\infty, 5 ]$$

D.$$[ 3,+\infty)$$

5、['利用函数单调性求参数的取值范围', '在给定区间上恒成立问题', '导数与单调性']

正确率60.0%若$$f ( x )=-\frac{1} {2} x^{2}+b l n x$$在$$( 0, 2 )$$上是增函数,则$${{b}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A

A.$$[ 4,+\infty)$$

B.$$( 4,+\infty)$$

C.$$(-\infty, 4 ]$$

D.$$(-\infty, 4 )$$

6、['利用函数单调性求参数的取值范围', '在给定区间上恒成立问题', '导数与最值', '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\operatorname{l n} x+a \cdot x+\frac1 x$$在区间$$[ 1,+\infty)$$上单调,则实数$${{a}}$$的取值范围是(

B

A.$$(-\infty, 0 ] \cup[ \frac{1} {4},+\infty]$$

B.$$(-\infty,-\frac{1} {4} ] \cup[ 0,+\infty)$$

C.$$[-\frac{1} {4}, 0 ]$$

D.$$(-\infty, 1 ]$$

7、['利用函数单调性求参数的取值范围', '单调性的定义与证明', '不等式的解集与不等式组的解集', '分段函数的单调性']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} ( 3 a-1 ) x+4 a,} & {x < 1} \\ {} & {{}-\mathrm{a x},} & {x \geq1} \\ \end{aligned} \right.$$满足对任意的实数$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$都有$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} < 0,$$则 $${{a}}$$的取值范围是(

A

A.$$[ \frac{1} {8}, \frac{1} {3} )$$

B.$$( \frac{1} {8},+\infty)$$

C.$$( 0, \frac{1} {3} )$$

D.$$(-\infty, \frac{1} {3} ]$$

8、['利用函数单调性求参数的取值范围', '函数单调性的应用', '二次函数的图象分析与判断']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=x^{2}+2 \left( a-1 \right) x+2$$在区间$$(-\infty, 4 ]$$是减函数,则$${{a}}$$的取值范围是(

A

A.$${{a}{⩽}{−}{3}}$$

B.$${{a}{⩾}{−}{3}}$$

C.$${{a}{<}{−}{3}}$$

D.$${{a}{>}{−}{3}}$$

9、['函数奇偶性的应用', '利用函数单调性求参数的取值范围', '函数的对称性']

正确率40.0%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$在$$(-\infty, 2 ]$$为增函数,且$$f \left( x+2 \right)$$是$${{R}}$$上的偶函数,若$$f \left( a \right) \leqslant f \left( 3 \right)$$,则实数$${{a}}$$的取值范围是(

D

A.$${{a}{⩽}{1}}$$

B.$$a \geq3$$

C.$$1 \leqslant a \leqslant3$$

D.$${{a}{⩽}{1}}$$或$${{a}{⩾}{3}}$$

10、['利用函数单调性求参数的取值范围', '常见函数的零点']

正确率60.0%若关于$${{x}}$$的方程$$\left( \frac{3} {4} \right)^{x}=a+2$$有负根,则$${{a}}$$的取值范围是(

B

A.$${{a}{<}{−}{1}}$$

B.$${{a}{>}{−}{1}}$$

C.$$- 2 < a <-1$$

D.$${{a}{<}{−}{2}}$$

以下是各题的详细解析: --- ### 第1题解析

已知$$f(x)$$是奇函数,且当$$x \geq 0$$时,$$f'(x) - f(x) > 0$$。构造辅助函数$$g(x) = \frac{f(x)}{e^x}$$,则$$g'(x) = \frac{f'(x) - f(x)}{e^x} > 0$$,说明$$g(x)$$在$$x \geq 0$$上单调递增。由于$$f(x)$$是奇函数,$$g(x)$$在$$x \leq 0$$上也是单调递增。

不等式$$f(e^x (x^3 - 3x + 3)) \leq f(a e^x + x)$$可转化为$$g(e^x (x^3 - 3x + 3)) \leq g(a e^x + x)$$。由于$$g(x)$$单调递增,只需解$$e^x (x^3 - 3x + 3) \leq a e^x + x$$,即$$x^3 - 3x + 3 - a \leq \frac{x}{e^x}$$。

设$$h(x) = x^3 - 3x + 3 - \frac{x}{e^x}$$,求$$h(x)$$在$$[-2, +\infty)$$上的最大值。通过求导可得$$h(x)$$在$$x = 1$$处取得最大值$$h(1) = 1 - 3 + 3 - \frac{1}{e} = 1 - \frac{1}{e}$$。因此$$a \geq 1 - \frac{1}{e}$$,最小值为$$1 - \frac{1}{e}$$,对应选项D。

--- ### 第2题解析

函数$$f(x) = \left(\frac{2}{3}\right)^{|x|} - x^{\frac{2}{3}}$$是偶函数,因为$$f(-x) = f(x)$$。分析$$x \geq 0$$时的单调性:

求导得$$f'(x) = \ln\left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{2}{3}\right)^x - \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}$$。由于$$\ln\left(\frac{2}{3}\right) < 0$$且$$\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} > 0$$,$$f'(x) < 0$$,说明$$f(x)$$在$$x \geq 0$$上单调递减。

由偶函数性质,$$f(x)$$在$$x \leq 0$$上单调递增。不等式$$f(2a - 1) > f(3)$$等价于$$|2a - 1| < 3$$,解得$$-1 < a < 2$$,对应选项B。

--- ### 第3题解析

二次函数$$f(x)$$满足$$f(3 - x) = f(x)$$,说明对称轴为$$x = \frac{3}{2}$$。由于开口向上,函数在$$(-\infty, \frac{3}{2}]$$上单调递减,在$$[\frac{3}{2}, +\infty)$$上单调递增。

区间$$(a, 2a - 1)$$上单调递减,需满足$$2a - 1 \leq \frac{3}{2}$$且$$a < 2a - 1$$(区间非空)。解得$$1 < a \leq \frac{5}{4}$$,对应选项B。

--- ### 第4题解析

函数$$f(x) = x^2 + 2(a - 1)x + 2$$是开口向上的抛物线,对称轴为$$x = 1 - a$$。要求在$$(-\infty, 4]$$上递减,需满足对称轴在$$x = 4$$右侧,即$$1 - a \geq 4$$,解得$$a \leq -3$$,对应选项B。

--- ### 第5题解析

函数$$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + b \ln x$$在$$(0, 2)$$上增函数,需导数$$f'(x) = -x + \frac{b}{x} \geq 0$$在$$(0, 2)$$上恒成立。即$$b \geq x^2$$在$$(0, 2)$$上恒成立,故$$b \geq 4$$,对应选项A。

--- ### 第6题解析

函数$$f(x) = \ln x + a x + \frac{1}{x}$$在$$[1, +\infty)$$上单调,需导数$$f'(x) = \frac{1}{x} + a - \frac{1}{x^2}$$恒非正或恒非负。

若单调递减,$$f'(x) \leq 0$$,即$$a \leq \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$$,最小值为$$-\frac{1}{4}$$(当$$x = 2$$时),故$$a \leq -\frac{1}{4}$$。

若单调递增,$$f'(x) \geq 0$$,即$$a \geq \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$$,最大值在$$x \to +\infty$$时为0,故$$a \geq 0$$。

综上,$$a \leq -\frac{1}{4}$$或$$a \geq 0$$,对应选项B。

--- ### 第7题解析

函数$$f(x)$$分段定义,要求整体单调递减。需满足:

1. $$3a - 1 < 0$$(第一段递减);

2. $$-a < 0$$(第二段递减);

3. 分段点$$x = 1$$处函数值不增,即$$(3a - 1) \cdot 1 + 4a \geq -a \cdot 1$$。

解得$$a \in \left[\frac{1}{8}, \frac{1}{3}\right)$$,对应选项A。

--- ### 第8题解析

与第4题相同,函数$$f(x) = x^2 + 2(a - 1)x + 2$$在$$(-\infty, 4]$$上递减,需$$a \leq -3$$,对应选项A。

--- ### 第9题解析

函数$$f(x)$$在$$(-\infty, 2]$$上增,且$$f(x + 2)$$是偶函数,说明$$f(x)$$关于$$x = 2$$对称。因此$$f(x)$$在$$[2, +\infty)$$上单调递减。

不等式$$f(a) \leq f(3)$$等价于$$a \leq 1$$或$$a \geq 3$$(因为$$f(1) = f(3)$$),对应选项D。

--- ### 第10题解析

方程$$\left(\frac{3}{4}\right)^x = a + 2$$有负根,即存在$$x < 0$$使得$$a + 2 > 1$$(因为$$\left(\frac{3}{4}\right)^x > 1$$当$$x < 0$$)。故$$a > -1$$,对应选项B。

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