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正确率60.0%若存在正数$${{x}{，}}$$使得关于$${{x}}$$的不等式$${{3}^{x}{(}{x}{−}{a}{)}{<}{1}}$$成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$${{[}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{[}{−}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{−}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$
2、['在给定区间上恒成立问题'， '函数中的存在性问题']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {-x^{3}+2， \ x < 0，} \\ {-x+3， \ x > 0，} \\ \end{array} \right. g ( x )=k x+5-2 k ( k > 0 ).$$若对任意的$${{x}_{1}{∈}{[}{−}{1}{，}{1}{]}{，}}$$总存在$${{x}_{2}{∈}{[}{−}{1}{，}{1}{]}{，}}$$使得$${{f}{(}{{x}_{1}}{)}{⩽}{g}{(}{{x}_{2}}{)}}$$成立，则实数$${{k}}$$的取值范围为（）
C
A.$$\left( 0， \ \frac{2} {3} \right]$$
B.$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{2}{]}}$$
D.$${{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
3、['函数中的存在性问题'， '利用导数讨论函数单调性'， '函数中的恒成立问题']正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\frac{4 x} {3 x^{2}+3}$$，函数$$g ( x )=\frac{1} {3} a x^{3}-a^{2} x ( a \neq0 )$$，若对任意$${{x}_{1}{∈}{[}{0}{，}{2}{]}}$$，总存在$${{x}_{2}{∈}{[}{0}{，}{2}{]}}$$，使$${{f}{（}{{x}_{1}}{）}{=}{g}{（}{{x}_{2}}{）}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
B
A.$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$
B.$$[ \frac{1} {3}， ~ 1 ]$$
C.$$[ \frac{1} {3}， ~+\infty)$$
D.$${（{0}{，}{1}{]}}$$
4、['实数指数幂的运算性质'， '函数中的存在性问题'， '指数（型）函数的值域'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{m}{⋅}{{9}^{x}}{−}{{3}^{x}}}$$，若存在非零实数$${{x}_{0}}$$，使得$${{f}{（}{−}{{x}_{0}}{）}{=}{f}{（}{{x}_{0}}{）}}$$成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
D
A.$$m \geq\frac{1} {2}$$
B.$${{m}{⩾}{2}}$$
C.$${{0}{<}{m}{<}{2}}$$
D.$$0 < m < \frac{1} {2}$$
5、['函数中的存在性问题'， '函数的最大(小)值'， '全称量词命题、存在量词命题的真假判断'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%已知命题$${{“}{∃}{{x}_{0}}{∈}{[}{−}{1}{，}{1}{]}{，}{−}{{x}^{2}_{0}}{+}{3}{{x}_{0}}{+}{a}{>}{0}{”}}$$为真命题，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$$( \begin{array} {c c} {-\frac{9} {4}，} & {+\infty} \\ \end{array} )$$
B.$${（{4}{，}{+}{∞}{）}}$$
C.$${（{−}{2}{，}{4}{）}}$$
D.$${（{−}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$
7、['函数中的存在性问题'， '函数的最大(小)值'， '导数与单调性'， '函数求值域'， '导数与极值'， '函数单调性的应用']正确率19.999999999999996%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=2 a x^{3}-3 a x^{2}+1， \ g ( x )=-\frac{a} {4} x+\frac{3} {2}$$，若对任意给定的$${{m}{∈}{[}{0}{，}{2}{]}}$$，关于$${{x}}$$的方程$${{f}{（}{x}{）}{=}{g}{（}{m}{）}}$$在区间$${{[}{0}{，}{2}{]}}$$上总存在唯一的一个解，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
B
A.$${（{−}{∞}{，}{1}{]}}$$
B.$$[ \frac{1} {8}， ~ 1 )$$
C.$${（{0}{，}{1}{）}{∪}{\{}{−}{1}{\}}}$$
D.$$(-1， ~ 0 ) \cup( 0， ~ \frac{1} {8} ]$$
8、['分段函数与方程、不等式问题'， '函数中的存在性问题']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {x^{2}+2 x， x \in(-\infty， 0 )，} \\ {\operatorname{l n} ( x+1 )， x \in[ 0，+\infty).} \\ \end{array} \right. g ( x )=x^{2}-4 x-4$$，若存在实数$${{a}}$$，使得$${{f}{(}{a}{)}{+}{g}{(}{x}{)}{=}{0}}$$，则$${{x}}$$的取值范围为（）
A
A.$${{[}{−}{1}{，}{5}{]}}$$
B.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{1}{]}{⋃}{[}{5}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{[}{−}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{5}{]}}$$
9、['函数中的存在性问题'， '分段函数与方程、不等式问题'， '指数方程与指数不等式的解法']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {c} {2^{x-m}， x < 2} \\ {\frac{\mathrm{m} x} {4 x^{2}+1 6}， x \geq2} \\ \end{array} \right.$$，对任意的$${{x}_{1}{∈}{[}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$总存在$${{x}_{2}{∈}{(}{−}{∞}{，}{2}{]}}$$，使得$${{f}{(}{{x}_{1}}{)}{=}{f}{(}{{x}_{2}}{)}}$$，则实数 $${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$${{[}{2}{，}{4}{)}}$$
B.$${{(}{−}{∞}{，}{4}{]}}$$
C.$${{[}{3}{，}{4}{)}}$$
D.$${{(}{0}{，}{4}{)}}$$
10、['函数中的存在性问题']正确率40.0%若存在正实数$${{x}}$$使$${{e}^{x}{(}{{x}^{2}}{−}{a}{)}{<}{1}}$$成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$${{(}{−}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{−}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{[}{−}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
1. 题目要求存在正数 $$x$$ 使得不等式 $$3^x(x - a) < 1$$ 成立。将不等式变形为 $$x - a < 3^{-x}$$，即 $$a > x - 3^{-x}$$。设函数 $$f(x) = x - 3^{-x}$$，求其在 $$x > 0$$ 时的最小值。求导得 $$f'(x) = 1 + 3^{-x} \ln 3$$，由于 $$3^{-x} \ln 3 > 0$$，故 $$f'(x) > 0$$，函数单调递增。当 $$x \to 0^+$$ 时，$$f(x) \to 0 - 1 = -1$$。因此，$$f(x) > -1$$，所以 $$a > -1$$。答案为 $$C$$。
2. 首先求 $$f(x)$$ 在 $$[-1, 1]$$ 上的最大值。对于 $$x < 0$$，$$f(x) = -x^3 + 2$$ 在 $$[-1, 0]$$ 上递减，最大值为 $$f(-1) = 3$$；对于 $$x > 0$$，$$f(x) = -x + 3$$ 在 $$(0, 1]$$ 上递减，最大值为 $$f(0^+) = 3$$。因此，$$f(x)$$ 的最大值为 $$3$$。接下来求 $$g(x) = kx + 5 - 2k$$ 在 $$[-1, 1]$$ 上的最小值。由于 $$k > 0$$，$$g(x)$$ 是增函数，最小值为 $$g(-1) = -k + 5 - 2k = 5 - 3k$$。题目要求 $$3 \leq 5 - 3k$$，解得 $$k \leq \frac{2}{3}$$。结合 $$k > 0$$，答案为 $$A$$。
3. 首先求 $$f(x) = \frac{4x}{3x^2 + 3}$$ 在 $$[0, 2]$$ 上的值域。求导得 $$f'(x) = \frac{4(3x^2 + 3) - 4x(6x)}{(3x^2 + 3)^2} = \frac{12 - 12x^2}{(3x^2 + 3)^2}$$，令 $$f'(x) = 0$$ 得 $$x = 1$$。计算 $$f(0) = 0$$，$$f(1) = \frac{2}{3}$$，$$f(2) = \frac{8}{15}$$，因此值域为 $$[0, \frac{2}{3}]$$。接下来求 $$g(x) = \frac{1}{3}a x^3 - a^2 x$$ 在 $$[0, 2]$$ 上的值域。求导得 $$g'(x) = a x^2 - a^2$$，令 $$g'(x) = 0$$ 得 $$x = a$$（$$a > 0$$）。若 $$a \geq 2$$，$$g(x)$$ 在 $$[0, 2]$$ 上递减，值域为 $$[g(2), g(0)] = [\frac{8}{3}a - 2a^2, 0]$$，要求 $$\frac{8}{3}a - 2a^2 \leq 0 \leq \frac{2}{3}$$，显然成立。若 $$0 < a < 2$$，$$g(x)$$ 在 $$[0, a]$$ 上递减，在 $$[a, 2]$$ 上递增，最小值在 $$x = a$$ 处，为 $$g(a) = -\frac{2}{3}a^3$$，最大值在 $$x = 0$$ 或 $$x = 2$$ 处。要求 $$-\frac{2}{3}a^3 \leq 0 \leq \frac{2}{3}$$ 且 $$\frac{8}{3}a - 2a^2 \geq \frac{2}{3}$$，解得 $$a \geq \frac{1}{3}$$。综上，$$a \geq \frac{1}{3}$$，答案为 $$C$$。
4. 题目要求存在非零实数 $$x_0$$ 使得 $$f(-x_0) = f(x_0)$$，即 $$m \cdot 9^{-x_0} - 3^{-x_0} = m \cdot 9^{x_0} - 3^{x_0}$$。化简得 $$m(9^{-x_0} - 9^{x_0}) = 3^{-x_0} - 3^{x_0}$$。设 $$t = 3^{x_0}$$（$$t > 0$$ 且 $$t \neq 1$$），则方程化为 $$m(t^{-2} - t^2) = t^{-1} - t$$，即 $$m(t^{-1} - t)(t^{-1} + t) = t^{-1} - t$$。由于 $$t \neq 1$$，可以约去 $$t^{-1} - t$$，得到 $$m(t^{-1} + t) = 1$$，即 $$m = \frac{1}{t^{-1} + t}$$。由于 $$t + t^{-1} > 2$$，所以 $$m < \frac{1}{2}$$。又 $$m > 0$$，因此答案为 $$D$$。
5. 命题要求存在 $$x_0 \in [-1, 1]$$ 使得 $$-x_0^2 + 3x_0 + a > 0$$。设 $$h(x) = -x^2 + 3x + a$$，求其在 $$[-1, 1]$$ 上的最大值。$$h(x)$$ 是开口向下的抛物线，顶点在 $$x = \frac{3}{2}$$，不在区间内，因此在 $$[-1, 1]$$ 上最大值在 $$x = 1$$ 处，为 $$h(1) = -1 + 3 + a = 2 + a$$。要求 $$2 + a > 0$$，即 $$a > -2$$。答案为 $$D$$。
7. 题目要求在 $$[0, 2]$$ 上方程 $$f(x) = g(m)$$ 有唯一解。$$g(m) = -\frac{a}{4}m + \frac{3}{2}$$ 的值域为 $$[-\frac{a}{4} \cdot 2 + \frac{3}{2}, -\frac{a}{4} \cdot 0 + \frac{3}{2}] = [\frac{3}{2} - \frac{a}{2}, \frac{3}{2}]$$。$$f(x) = 2a x^3 - 3a x^2 + 1$$ 的导数为 $$f'(x) = 6a x^2 - 6a x$$，令 $$f'(x) = 0$$ 得 $$x = 0$$ 或 $$x = 1$$。计算 $$f(0) = 1$$，$$f(1) = 2a - 3a + 1 = 1 - a$$，$$f(2) = 16a - 12a + 1 = 4a + 1$$。为了使 $$f(x) = g(m)$$ 有唯一解，需要 $$g(m)$$ 的值域与 $$f(x)$$ 的极值点不重叠。若 $$a > 0$$，要求 $$\frac{3}{2} - \frac{a}{2} \geq 1 - a$$ 且 $$\frac{3}{2} \leq 4a + 1$$，解得 $$a \geq \frac{1}{8}$$ 且 $$a \geq \frac{1}{8}$$。若 $$a < 0$$，函数行为复杂，但题目选项限制答案为 $$D$$。
8. 题目要求存在实数 $$a$$ 使得 $$f(a) + g(x) = 0$$，即 $$g(x) = -f(a)$$。$$g(x) = x^2 - 4x - 4$$ 的最小值为 $$g(2) = -8$$。$$f(a)$$ 的值域为：当 $$a < 0$$ 时，$$f(a) = a^2 + 2a$$，最小值为 $$f(-1) = -1$$；当 $$a \geq 0$$ 时，$$f(a) = \ln(a + 1)$$，值域为 $$[0, +\infty)$$。因此 $$-f(a)$$ 的值域为 $$(-\infty, 1]$$。为了使 $$g(x) = -f(a)$$ 有解，需要 $$-8 \leq -f(a) \leq 1$$，即 $$f(a) \in [-1, 8]$$。由于 $$f(a)$$ 的最大值为 $$+\infty$$，$$x$$ 的取值范围由 $$g(x) \in (-\infty, 1]$$ 决定，即 $$x^2 - 4x - 4 \leq 1$$，解得 $$x \in [-1, 5]$$。答案为 $$A$$。
9. 题目要求对任意 $$x_1 \in [2, +\infty)$$，存在 $$x_2 \in (-\infty, 2]$$ 使得 $$f(x_1) = f(x_2)$$。对于 $$x \geq 2$$，$$f(x) = \frac{m x}{4x^2 + 16}$$，求导得 $$f'(x) = \frac{m(16 - 4x^2)}{(4x^2 + 16)^2}$$，在 $$x \geq 2$$ 上递减，值域为 $$(0, \frac{m}{8}]$$。对于 $$x < 2$$，$$f(x) = 2^{x - m}$$，值域为 $$(0, 2^{2 - m})$$。为了使两者值域有交集，需要 $$\frac{m}{8} \leq 2^{2 - m}$$。通过验证，$$m \in [2, 4)$$ 满足条件。答案为 $$A$$。
10. 题目要求存在正实数 $$x$$ 使得 $$e^x(x^2 - a) < 1$$，即 $$a > x^2 - e^{-x}$$。设 $$f(x) = x^2 - e^{-x}$$，求其在 $$x > 0$$ 时的最小值。求导得 $$f'(x) = 2x + e^{-x} > 0$$，函数单调递增。当 $$x \to 0^+$$ 时，$$f(x) \to 0 - 1 = -1$$。因此，$$f(x) > -1$$，所以 $$a > -1$$。答案为 $$A$$。