函数的新定义问题-函数的拓展与综合知识点课后进阶单选题自测题答案-内蒙古自治区等高一数学必修,平均正确率44.00000000000001%

1、['函数的新定义问题'， '函数的最大(小)值']

正确率40.0%用$${{m}{i}{n}}$$｛$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$｝表示$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$三个数中的最小值.设$${{f}{(}{x}{)}{=}{{m}{i}{n}}}$$｛$${{2}^{x}{，}{x}{+}{2}{，}{{1}{0}}{−}{x}}$$｝$${{(}{x}{⩾}{0}{)}{，}}$$则$${{f}{(}{x}{)}}$$的最大值为（）

A.$${{4}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{7}}$$

3、['函数的新定义问题'， '函数图象的平移变换'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '辅助角公式']

正确率60.0%定义运算：$$\left| \begin{matrix} {a_{1}} & {a_{2}} \\ {a_{3}} & {a_{4}} \\ \end{matrix} \right|=a_{1} a_{4}-a_{2} a_{3}$$，将函数$$f \mid x \mid=\left\vert\begin{matrix} {\sqrt{3}} & {\cos\frac{x} {2}} \\ {1} & {\sin\frac{x} {2}} \\ \end{matrix} \right\vert$$的图象向左平移$${{m}{（}{m}{>}{0}{）}}$$的单位后，所得图象关于$${{y}}$$轴对称，则$${{m}}$$的最小值是（）

A.$$\frac{\pi} {3}$$

B.$$\frac{2 \pi} {3}$$

C.$$\frac{4 \pi} {3}$$

D.$$\frac{7 \pi} {3}$$

4、['函数的新定义问题'， '正弦（型）函数的单调性'， '辅助角公式'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%定义$${{2}{×}{2}}$$矩阵$$\left[ \begin{matrix} {a_{1} \; a_{2}} \\ {a_{3} a_{4}} \\ \end{matrix} \right]=\; a_{1} a_{4}-\; a_{2} a_{3}，$$若$$f ( x )=\left[ \begin{matrix} {\operatorname{c o s} x-\operatorname{s i n} x} \\ {\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {2}+2 x ) \operatorname{c o s} x+\operatorname{s i n} x} \\ \end{matrix} \right]$$，则$${{f}{(}{x}{)}{(}{)}}$$

A.图象关于$${{(}{π}{，}{0}{)}}$$中心对称

B.图象关于直线$$x=\frac{\pi} {2}$$对称

C.在区间$$[-\frac{\pi} {6}， 0 ]$$上单调递增

D.周期为$${{π}}$$的奇函数

5、['在R上恒成立问题'， '函数的新定义问题'， '函数奇、偶性的图象特征']

正确率19.999999999999996%设函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$${{A}}$$，若存在非零实数$${{k}}$$使得对于任意$${{x}{∈}{I}{(}{I}{Í}{A}{)}}$$，有$${{x}{+}{k}{∈}{A}}$$，且$${{f}{(}{x}{+}{k}{)}{⩾}{f}{(}{x}{)}}$$，则称$${{f}{(}{x}{)}}$$为$${{I}}$$上的$${{k}}$$高调函数．如果定义域为$${{R}}$$的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是奇函数，当$${{x}{⩾}{0}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}{=}{|}{x}{−}{{a}^{2}}{|}{−}{{a}^{2}}}$$，且函数$${{f}{(}{x}{)}}$$为$${{R}}$$上的$${{1}}$$高调函数，那么实数$${{a}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$${{0}{<}{a}{<}{1}}$$

B.$$- \frac1 2 \leqslant a \leqslant\frac1 2$$

C.$${{−}{1}{⩽}{a}{⩽}{1}}$$

D.$${{−}{2}{⩽}{a}{⩽}{2}}$$

6、['函数的新定义问题'， '分段函数与方程、不等式问题'， '判断元素与集合的关系'， '函数的周期性'， '函数中的恒成立问题'， '分段函数的图象']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {c} {( 2-[ x ] ) \cdot| x-1 | \，， ( 0 \leqslant x < 2 )} \\ {1 \quad\; \; \& \， \& \，， \; \; \; ( x=2 )} \\ \end{array} \right.$$，其中$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数.定义函数$$f_{n} ( x ) : f_{1} ( x )=f ( x )， \ f_{2} ( x )=f ( f_{1} ( x ) )， \ \ \cdots， \ f_{n} ( x )=f ( f_{n-1} ( x ) ) ( n \geqslant2 )$$，则下列说法正确的有$${{(}{)}}$$
$${①{y}{=}{\sqrt {{x}{−}{f}{(}{x}{)}}}}$$的定义域为$$\left[ \frac{2} {3}， 2 \right] ;$$设$${{A}{=}{{\{}{0}{，}{1}{，}{2}{\}}}{，}{B}{=}{{\{}{x}{{|}{{f}_{3}}{(}{x}{)}{=}{x}{，}{x}{∈}{A}}{\}}}}$$，则$${{A}{=}{B}}$$；
$${③{a}{，}{b}{，}{c}{;}{④}}$$若集合$$M=\{x \， | f_{1 2} ( x )=x， x \in[ 0， 2 ] \}$$;则$${{M}}$$中至少含有$${{8}}$$个元素．

A.$${{1}}$$个

B.$${{2}}$$个

C.$${{3}}$$个

D.$${{4}}$$个

7、['函数的新定义问题'， '函数的最大(小)值']

正确率40.0%定义$$a * b=\left\{\begin{matrix} {a， \; \; a \leqslant b} \\ {b， \; \; a > b} \\ \end{matrix} \right.$$，则$${{f}{(}{x}{)}{=}{{x}^{2}}{∗}{[}{(}{6}{−}{x}{)}{∗}{(}{2}{x}{+}{{1}{5}}{)}{]}}$$的最大值为（）

A.$${{4}}$$

B.$${{9}}$$

C.$${{1}{6}}$$

D.$${{2}{5}}$$

8、['函数的新定义问题'， '函数中的恒成立问题']

正确率40.0%在$${{R}}$$上定义运算$${{⊗}{：}{x}{⊗}{y}{=}{（}{1}{−}{x}{）}{（}{1}{+}{y}{）}}$$若不等式$${（{x}{−}{a}{）}{⊗}{（}{x}{+}{a}{）}{<}{1}}$$对任意实数$${{x}}$$成立，则（）

A.$${{−}{1}{<}{a}{<}{1}}$$

B.$${{−}{2}{<}{a}{<}{0}}$$

C.$${{0}{<}{a}{<}{2}}$$

D.$$- \frac{3} {2} < \alpha< \frac{1} {2}$$

9、['函数的新定义问题'， '利用导数讨论函数单调性'， '函数零点所在区间的判定'， '函数零点个数的判定']

正确率19.999999999999996%定义方程$${{f}{（}{x}{）}{=}{{f}^{′}}{（}{x}{）}}$$的实数根$${{x}_{0}}$$叫做函数的$${{“}}$$新驻点$${{”}}$$，若函数$${{g}{（}{x}{）}{=}{x}{，}{h}{（}{x}{）}{=}{l}{n}{（}{x}{+}{1}{）}{，}{t}{（}{x}{）}{=}{{x}^{3}}{−}{1}}$$的$${{“}}$$新驻点$${{”}}$$分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$的大小关系为（）

A.$${{a}{>}{b}{>}{c}}$$

B.$${{c}{>}{a}{>}{b}}$$

C.$${{a}{>}{c}{>}{b}}$$

D.$${{b}{>}{a}{>}{c}}$$

10、['函数的新定义问题']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$，若在其定义域内存在实数$${{x}}$$满足$${{f}{(}{−}{x}{)}{=}{−}{f}{(}{x}{)}}$$，则称函数$${{f}{(}{x}{)}}$$为$${{“}}$$局部奇函数$${{”}}$$，若函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{4}^{x}}{−}{m}{⋅}{{2}^{x}}{−}{3}}$$是定义在$${{R}}$$上的$${{“}}$$局部奇函数$${{”}}$$，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$${{(}{−}{∞}{，}{2}{\sqrt {2}}{]}}$$

B.$${{[}{−}{\sqrt {3}}{，}{3}{]}}$$

C.$${{[}{−}{2}{\sqrt {2}}{，}{\sqrt {3}}{]}}$$

D.$${{[}{−}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$

1. 首先分析函数 $$f(x) = \min \{2^x, x+2, 10-x\}$$ 在 $$x \geq 0$$ 时的最大值。

步骤1：求交点

解 $$2^x = x+2$$，通过观察或绘图可得 $$x=2$$ 是一个解（$$2^2=4$$，$$2+2=4$$）。
解 $$x+2 = 10-x$$，得 $$x=4$$（$$4+2=6$$，$$10-4=6$$）。
解 $$2^x = 10-x$$，通过数值逼近可得 $$x \approx 2.85$$（$$2^{2.85} \approx 7$$，$$10-2.85 \approx 7.15$$，接近但不精确）。

步骤2：确定最小值的变化区间

当 $$0 \leq x \leq 2$$ 时，$$2^x$$ 增长较快，最小值可能为 $$x+2$$。
当 $$2 \leq x \leq 4$$ 时，$$x+2$$ 和 $$10-x$$ 的交点在 $$x=4$$，最小值可能为 $$x+2$$。
当 $$x > 4$$ 时，$$10-x$$ 开始减小，最小值可能为 $$10-x$$。

步骤3：验证最大值在 $$x=4$$ 时，$$f(4) = \min \{2^4, 4+2, 10-4\} = \min \{16, 6, 6\} = 6$$。因此，最大值为 $$6$$，对应选项 C。

3. 定义运算 $$\left| \begin{matrix} {a_{1}} & {a_{2}} \\ {a_{3}} & {a_{4}} \\ \end{matrix} \right|=a_{1} a_{4}-a_{2} a_{3}$$，函数 $$f(x) = \left| \begin{matrix} {\sqrt{3}} & {\cos \frac{x}{2}} \\ {1} & {\sin \frac{x}{2}} \\ \end{matrix} \right| = \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = 2 \sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right)$$。

步骤1：平移后的函数向左平移 $$m$$ 单位后为 $$f(x+m) = 2 \sin \left( \frac{x+m}{2} - \frac{\pi}{6} \right)$$。

步骤2：关于 $$y$$ 轴对称的条件函数 $$f(x+m)$$ 为偶函数，需满足 $$\frac{m}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$）。解得 $$m = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$$。

步骤3：最小正 $$m$$ 取 $$k=0$$，得 $$m = \frac{4\pi}{3}$$，对应选项 C。

4. 定义矩阵运算 $$\left[ \begin{matrix} {a_{1} \; a_{2}} \\ {a_{3} a_{4}} \\ \end{matrix} \right] = a_{1} a_{4} - a_{2} a_{3}$$，函数 $$f(x) = \left[ \begin{matrix} {\cos x - \sin x} \\ {\cos \left( \frac{\pi}{2} + 2x \right) \cos x + \sin x} \\ \end{matrix} \right] = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) - (-\sin 2x)(1) = \cos^2 x - \sin^2 x + \sin 2x = \cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2} \sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)$$。

步骤1：分析选项

A：$$f(\pi) = \sqrt{2} \sin \left( 2\pi + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$$，不关于 $$(\pi, 0)$$ 对称。
B：$$f\left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \sqrt{2} \sin \left( \pi - 2x + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( \frac{5\pi}{4} - 2x \right) \neq f\left( \frac{\pi}{2} + x \right)$$，不对称。
C：在 $$x \in \left[ -\frac{\pi}{6}, 0 \right]$$，$$2x + \frac{\pi}{4} \in \left[ -\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4} \right]$$，$$\sin$$ 函数在此区间单调递增，正确。
D：周期为 $$\pi$$，但 $$f(0) = 1 \neq 0$$，不是奇函数。

5. 函数 $$f(x)$$ 为奇函数，定义 $$f(x) = |x - a^2| - a^2$$ 当 $$x \geq 0$$，且为 $$R$$ 上的 $$1$$ 高调函数。

步骤1：奇函数性质 $$f(-x) = -f(x)$$，因此对于 $$x < 0$$，$$f(x) = -| -x - a^2 | + a^2$$。

步骤2：高调函数条件需满足 $$f(x+1) \geq f(x)$$ 对所有 $$x \in R$$ 成立。分析 $$x \geq 0$$ 时：

若 $$x \geq a^2$$，$$f(x) = x - 2a^2$$，$$f(x+1) = x+1 - 2a^2 \geq f(x)$$ 恒成立。
若 $$0 \leq x < a^2$$，$$f(x) = -x$$，$$f(x+1)$$ 需满足 $$-x \leq f(x+1)$$。当 $$x+1 \geq a^2$$，$$f(x+1) = x+1 - 2a^2 \geq -x$$ 即 $$1 \geq -2x + 2a^2$$。最严格条件在 $$x=0$$，得 $$1 \geq 2a^2$$，即 $$a^2 \leq \frac{1}{2}$$。

步骤3：综合条件 $$a^2 \leq \frac{1}{2}$$，即 $$-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq a \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$，最接近的选项是 B（$$-\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$$）。

6. 函数 $$f(x)$$ 定义复杂，分析各命题：

步骤1：命题① 定义域要求 $$x - f(x) \geq 0$$。对于 $$0 \leq x < 2$$，$$f(x) = (2 - \lfloor x \rfloor) |x - 1|$$：

$$x \in [0, 1)$$，$$f(x) = 2(1 - x)$$，解 $$x \geq 2(1 - x)$$ 得 $$x \geq \frac{2}{3}$$。
$$x \in [1, 2)$$，$$f(x) = 1 \cdot (x - 1)$$，解 $$x \geq x - 1$$ 恒成立。
$$x = 2$$，$$f(x) = 1$$，解 $$2 \geq 1$$ 成立。

综合得定义域为 $$\left[ \frac{2}{3}, 2 \right]$$，正确。

步骤2：命题② 计算 $$f_3(x)$$ 在 $$A = \{0, 1, 2\}$$ 的固定点：

$$f(0) = 2 \cdot 1 = 2$$，$$f(2) = 1$$，$$f(1) = 1 \cdot 0 = 0$$。
$$f_3(0) = f(f(f(0))) = f(f(2)) = f(1) = 0$$。
$$f_3(1) = f(f(f(1))) = f(f(0)) = f(2) = 1$$。
$$f_3(2) = f(f(f(2))) = f(f(1)) = f(0) = 2$$。

因此 $$B = A$$，正确。

步骤3：命题④ 通过迭代发现 $$M$$ 包含多个周期点，至少 $$8$$ 个元素，正确。

7. 定义 $$a * b = \min \{a, b\}$$，函数 $$f(x) = x^2 * [(6 - x) * (2x + 15)]$$。

步骤1：内层最小值 $$(6 - x) * (2x + 15) = \min \{6 - x, 2x + 15\}$$。解 $$6 - x = 2x + 15$$ 得 $$x = -3$$。

当 $$x \geq -3$$，$$\min \{6 - x, 2x + 15\} = 6 - x$$。
当 $$x < -3$$，$$\min \{6 - x, 2x + 15\} = 2x + 15$$。

步骤2：外层最小值 $$f(x) = \min \{x^2, 6 - x\}$$（$$x \geq -3$$）。解 $$x^2 = 6 - x$$ 得 $$x = 2$$ 或 $$x = -3$$。

在 $$x=2$$，$$f(2) = \min \{4, 4\} = 4$$。
在 $$x=-3$$，$$f(-3) = \min \{9, 9\} = 9$$。

进一步分析可得最大值在 $$x=-3$$ 时为 $$9$$，对应选项 B。

8. 定义运算 $$x \otimes y = (1 - x)(1 + y)$$，不等式 $$(x - a) \otimes (x + a) < 1$$ 对所有实数 $$x$$ 成立。

步骤1：展开不等式 $$(1 - (x - a))(1 + (x + a)) < 1$$ 即 $$(1 - x + a)(1 + x + a) < 1$$。展开得 $$1 + x + a - x - x^2 - a x + a + a x + a^2 < 1$$，化简为 $$1 + 2a + a^2 - x^2 < 1$$，即 $$x^2 > a^2 + 2a$$。

步骤2：对所有 $$x$$ 成立的条件 $$x^2 \geq 0$$，因此需 $$a^2 + 2a < 0$$，解得 $$-2 < a < 0$$，对应选项 B。

9. 定义“新驻点”为 $$f(x) = f'(x)$$ 的根。

步骤1：求各函数的新驻点

$$g(x) = x$$，$$g'(x) = 1$$，解 $$x = 1$$，即 $$a = 1$$。
$$h(x) = \ln(x+1)$$，$$h'(x) = \frac{1}{x+1}$$，解 $$\ln(x+1) = \frac{1}{x+1}$$，数值解 $$b \approx 0.806$$。
$$t(x) = x^3 - 1$$，$$t'(x) = 3x^2$$，解 $$x^3 - 1 = 3x^2$$，数值解 $$c \approx 3.383$$。

步骤2：比较大小 $$c > a > b$$，对应选项 B。

10. 定义“局部奇函数”为存在 $$x$$ 使 $$f(-x) = -f(x)$$，函数 $$f(x) = 4^x - m \cdot 2^x - 3$$。

步骤1：设 $$t = 2^x$$（$$t > 0$$），则 $$f(x) = t^2 - m t - 3$$，$$f(-x) = t^{-2} - m t^{-1} - 3$$。条件 $$f(-x) = -f(x)$$ 化为 $$t^{-2} - m t^{-1} - 3 = -t^2 + m t + 3$$，整理得 $$t^2 + t^{-2} - m(t + t^{-1}) - 6 = 0$$。

步骤2：设 $$u = t + t^{-1}$$（$$u \geq 2$$），则 $$t^2 + t^{-2} = u^2 - 2$$，方程变为 $$u^2 - m u - 8 = 0$$。解 $$m = u - \frac{8}{u}$$，分析 $$u \geq 2$$ 时 $$m$$ 的范围：

当 $$u=2$$，$$m = 2 - 4 = -2$$。
当 $$u \to \infty$$，$$m \to \infty$$。
求导得 $$m$$ 在 $$u \geq 2$$ 的最小值为 $$-2$$。

因此 $$m \geq -2$$，对应选项 D。

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