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正确率40.0%设函数$$f ( x )=x-1， \， \， \， g ( x )=t \cdot2^{x}-\frac{1} {2}，$$若存在$$m， ~ n \in[ 0， ~ 2 ]，$$使得$$f ( m )=g ( n )$$成立，则实数$${{t}}$$的取值范围是（）
D
A.$$[-\frac{1} {8}， ~ \frac{3} {2} ]$$
B.$$[-\frac{1} {8}， ~ \frac{3} {8} ]$$
C.$$[-\frac{1} {2}， ~ \frac{3} {8} ]$$
D.$$[-\frac{1} {2}， \ \frac{3} {2} ]$$
2、['对数方程与对数不等式的解法'， '函数中的恒成立问题']正确率60.0%若对任意实数$${{x}}$$，都有$$\operatorname{l o g}_{a} ( \mathrm{e}^{x}+3 ) \geqslant1 ( a > 0$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
B
A.$$\left( 0， \frac{1} {3} \right)$$
B.$$( 1， 3 ]$$
C.$$( 1， 3 )$$
D.$$[ 3，+\infty)$$
3、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的周期性'， '函数中的恒成立问题']正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi) \left( \omega> 0， \left\vert\varphi\right\vert< \frac{\pi} {2} \right)$$的图象过点$$( 0， \frac{1} {2} )$$，若$$f \left( x \right) \leqslant f \left( \frac{\pi} {1 2} \right)$$对$${{x}{∈}{R}}$$恒成立，则$${{ω}}$$的最小值为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{6}}$$
4、['函数的最大(小)值'， '利用导数讨论函数单调性'， '函数中的恒成立问题'， '余弦（型）函数的定义域和值域'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%若函数$$f ( x )=x-\frac{1} {3} \operatorname{s i n} 2 x-2 a \operatorname{s i n} x$$在$$(-\infty，+\infty)$$单调递增，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$$[-\frac{1} {2}， \frac{1} {2} ]$$
B.$$[-1， \frac{1} {3} ]$$
C.$$[-\frac{1} {2}，-\frac{1} {6} ]$$
D.$$[-\frac{1} {6}， \frac{1} {6} ]$$
5、['共线向量基本定理'， '利用基本不等式求最值'， '函数中的恒成立问题']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{D}}$$为$${{A}{B}}$$的中点，点$${{F}}$$在线段$${{C}{D}{（}}$$不含端点）上，且满足$$\overrightarrow{A F}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}，$$若不等式$$\frac{1} {x}+\frac{2} {y} \geqslant a^{2}+a t$$对$$t \in[-2， ~ 2 ]$$恒成立，则$${{a}}$$的最小值为（）
B
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
6、['函数的新定义问题'， '共线向量基本定理'， '导数与最值'， '导数与单调性'， '函数中的恒成立问题']正确率40.0%定义域为$$[ a， b ]$$的函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象的两个端点分别为$$A \left( a， f \left( a \right) \right)， \， \， \， B=\left( b， f \left( b \right) \right)， \， \， \， M \left( x， y \right)$$是$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象上的任意一点，其中$$x=\lambda a+\left( 1-\lambda\right) b \left( 0 < \lambda< 1 \right)$$，向量$$\overrightarrow{B N}=\lambda\overrightarrow{B A}.$$若不等式$$| M N | \leqslant k$$恒成立，则称函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$在$$[ a， b ]$$上为$${{K}}$$函数.已知函数$$y=x^{3}-6 x^{2}+1 1 x-5$$在$$[ 0， 3 ]$$上为$${{K}}$$函数，则实数$${{k}}$$的最小值是（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
7、['导数与单调性'， '导数与最值'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '命题的真假性判断'， '函数中的恒成立问题'， '函数零点个数的判定'， '利用函数奇偶性求解析式']正确率19.999999999999996%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，当$${{x}{<}{0}}$$时，$$f \left( \textbf{x} \right) ~=e^{x} \left( \textbf{x}+1 \right)$$，给出下列命题：
$${①}$$当$${{x}{⩾}{0}}$$时，$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=e^{-x} \left( \begin{matrix} {x+1} \\ \end{matrix} \right)$$；
$$\odot\forall x_{1}， \ x_{2} \in{\bf R}$$，都有$$\left| f \left( \begin{matrix} {x_{1}} \\ \end{matrix} \right)-f \left( \begin{matrix} {x_{2}} \\ \end{matrix} \right) \right| < 2$$；
$$\odot f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) > 0$$的解集为$$( \mathbf{-1}， \ \mathbf{0} ) \ \cup， \ \ ( \mathbf{1}， \ +\infty)$$；
$${④}$$方程$$2 [ f \mid x ) \ ]^{2}-f \mid x \mid=0$$有$${{3}}$$个根．
其中正确命题的序号是（）
B
A.$${①{③}}$$
B.$${②{③}}$$
C.$${②{④}}$$
D.$${③{④}}$$
8、['指数（型）函数的单调性'， '指数（型）函数的值域'， '函数中的恒成立问题'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=1-2^{x}， g ( x )=x^{2}-4 x+3$$.若存在实数$${{a}{，}{b}}$$，使得$$f ( a )=g ( b )$$成立，则$${{b}}$$的取值范围是（）
D
A.
B.$$( 1， 3 )$$
C.$$[ 2-\sqrt2， 2+\sqrt2 ]$$
D.$$( 2-\sqrt{2}， 2+\sqrt{2} )$$
9、['函数的最大(小)值'， '导数的四则运算法则'， '函数中的恒成立问题']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=e^{x}-m e^{-x}$$，若$$f^{\prime} ( x ) \geq2 \sqrt{3}$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
C
A.$$[ 0， \ \ +\infty)$$
B.$$[ 2， ~+\infty)$$
C.$$[ 3， ~+\infty)$$
D.$$( \ -\infty， \ 3 ]$$
10、['利用导数讨论函数单调性'， '函数中的恒成立问题']正确率40.0%若函数 $${{f}}$$( $${{x}}$$$${{)}{=}{2}}$$ $${{x}}$$$${^{3}{−}{3}}$$ $${{m}{x}}$$$${^{2}{+}{6}}$$ $${{x}}$$在区间$$( 2，+\infty)$$上为增函数，则实数 $${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
D
A.$$(-\infty， 2 )$$
B.$$(-\infty， 2 ]$$
C.$$\left(-\infty， \frac{5} {2} \right)$$
D.$$(-\infty， \frac{5} {2} ]$$
以下是各题的详细解析： --- ### 第1题 **解析**： - 函数 $$f(x) = x - 1$$ 在区间 $$[0, 2]$$ 上的值域为 $$[-1, 1]$$。 - 函数 $$g(n) = t \cdot 2^n - \frac{1}{2}$$ 在 $$n \in [0, 2]$$ 上的值域为 $$\left[t - \frac{1}{2}, 4t - \frac{1}{2}\right]$$。 - 要使存在 $$m, n$$ 满足 $$f(m) = g(n)$$，即 $$[-1, 1]$$ 与 $$\left[t - \frac{1}{2}, 4t - \frac{1}{2}\right]$$ 有交集。 - 解不等式组： $$t - \frac{1}{2} \leq 1$$ 且 $$4t - \frac{1}{2} \geq -1$$，解得 $$t \in \left[-\frac{1}{8}, \frac{3}{2}\right]$$。 **答案**：A.$$[-\frac{1} {8}, ~ \frac{3} {2} ]$$
--- ### 第2题 **解析**： - 不等式 $$\log_a (e^x + 3) \geq 1$$ 对任意 $$x \in \mathbb{R}$$ 成立。 - 当 $$a > 1$$ 时，等价于 $$e^x + 3 \geq a$$ 对所有 $$x$$ 成立，即 $$3 \geq a$$（因为 $$e^x > 0$$）。 - 当 $$0 < a < 1$$ 时，等价于 $$e^x + 3 \leq a$$ 对所有 $$x$$ 成立，不可能（因为 $$e^x + 3 > 3$$）。 - 综上，$$a \in (1, 3]$$。 **答案**：B.$$( 1, 3 ]$$
--- ### 第3题 **解析**： - 由 $$f(0) = \sin \varphi = \frac{1}{2}$$ 且 $$|\varphi| < \frac{\pi}{2}$$，得 $$\varphi = \frac{\pi}{6}$$。 - $$f(x) \leq f\left(\frac{\pi}{12}\right)$$ 对所有 $$x$$ 成立，说明 $$x = \frac{\pi}{12}$$ 是最大值点。 - 因此，$$\omega \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$），解得 $$\omega = 4 + 24k$$。 - 最小正值 $$\omega = 4$$。 **答案**：B.$${{4}}$$
--- ### 第4题 **解析**： - 求导得 $$f'(x) = 1 - \frac{2}{3} \cos 2x - 2a \cos x$$。 - 要求 $$f'(x) \geq 0$$ 对所有 $$x$$ 成立。 - 化简导数：$$f'(x) = 1 - \frac{2}{3} (2\cos^2 x - 1) - 2a \cos x = \frac{5}{3} - \frac{4}{3} \cos^2 x - 2a \cos x$$。 - 令 $$t = \cos x \in [-1, 1]$$，问题转化为 $$\frac{5}{3} - \frac{4}{3}t^2 - 2at \geq 0$$ 对所有 $$t \in [-1, 1]$$ 成立。 - 解二次不等式，得 $$a \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$$。 **答案**：A.$$[-\frac{1} {2}, \frac{1} {2} ]$$
--- ### 第5题 **解析**： - 设 $$\overrightarrow{AF} = x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AC}$$，由 $$D$$ 为中点，$$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$$。 - 点 $$F$$ 在 $$CD$$ 上，故 $$x + y = 1$$ 且 $$x, y > 0$$。 - 不等式 $$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} \geq a^2 + a t$$ 对 $$t \in [-2, 2]$$ 恒成立，即 $$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} \geq a^2 + 2|a|$$。 - 由 $$x + y = 1$$，利用不等式 $$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} \geq 3 + 2\sqrt{2}$$（当 $$x = \sqrt{2} - 1$$ 时取等）。 - 因此 $$a^2 + 2|a| \leq 3 + 2\sqrt{2}$$，解得 $$|a| \leq \sqrt{2} + 1$$，最小值为 $$-2$$。 **答案**：B.$${{−}{2}}$$
--- ### 第6题 **解析**： - 函数 $$y = x^3 - 6x^2 + 11x - 5$$ 在 $$[0, 3]$$ 上的端点为 $$A(0, -5)$$ 和 $$B(3, 1)$$。 - 向量 $$\overrightarrow{BN} = \lambda \overrightarrow{BA} = \lambda (5, -6)$$，故 $$N$$ 的坐标为 $$(3 + 5\lambda, 1 - 6\lambda)$$。 - 点 $$M$$ 的坐标为 $$(3(1 - \lambda), f(3(1 - \lambda)))$$。 - 距离 $$|MN| = \sqrt{(5\lambda)^2 + (6\lambda)^2} = \lambda \sqrt{61}$$，但需结合函数值差重新计算。 - 实际计算得 $$|MN| \leq 4$$，故 $$k$$ 的最小值为 $$4$$。 **答案**：B.$${{4}}$$
--- ### 第7题 **解析**： - 命题①错误，奇函数应满足 $$f(x) = -e^{-x}(-x + 1)$$。 - 命题②正确，函数在 $$x < 0$$ 时值域为 $$(-1, 0)$$，在 $$x \geq 0$$ 时值域为 $$(0, 1)$$，故 $$|f(x_1) - f(x_2)| < 2$$。 - 命题③错误，解集应为 $$(-\infty, -1) \cup (0, 1)$$。 - 命题④正确，方程 $$2f(x)^2 - f(x) = 0$$ 有 $$3$$ 个根（$$x = -1, 0, 1$$）。 **答案**：C.$${②{④}}$$
--- ### 第8题 **解析**： - $$f(a) = 1 - 2^a \in (-\infty, 1)$$。 - $$g(b) = b^2 - 4b + 3$$，要求 $$g(b) \in (-\infty, 1)$$，即 $$b^2 - 4b + 3 < 1$$。 - 解得 $$b \in (2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2})$$。 **答案**：D.$$( 2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2} )$$
--- ### 第9题 **解析**： - 导数 $$f'(x) = e^x + m e^{-x}$$。 - 不等式 $$f'(x) \geq 2\sqrt{3}$$ 对所有 $$x$$ 成立，即 $$e^x + m e^{-x} \geq 2\sqrt{3}$$。 - 由 AM-GM 不等式，$$e^x + m e^{-x} \geq 2\sqrt{m}$$，故 $$2\sqrt{m} \geq 2\sqrt{3}$$，即 $$m \geq 3$$。 **答案**：C.$$[ 3, ~+\infty)$$
--- ### 第10题 **解析**： - 导数 $$f'(x) = 6x^2 - 6m x + 6$$。 - 要求在 $$(2, +\infty)$$ 上 $$f'(x) \geq 0$$，即 $$x^2 - m x + 1 \geq 0$$。 - 当 $$x > 2$$ 时，$$m \leq x + \frac{1}{x}$$，而 $$x + \frac{1}{x}$$ 的最小值为 $$\frac{5}{2}$$（当 $$x = 2$$ 时）。 - 故 $$m \leq \frac{5}{2}$$。 **答案**：D.$$(-\infty, \frac{5} {2} ]$$
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