函数中的恒成立问题-函数的拓展与综合知识点月考进阶自测题答案-北京市等高一数学必修,平均正确率40.0%

1、['函数的最大(小)值'， '函数中的恒成立问题'， '利用基本不等式求最值']

正确率0.0%设函数$$f ( x )=\left| x+\frac{4} {x}-a x-b \right|$$，若对任意的实数$${{a}}$$，$${{b}}$$，总存在$${{x}_{0}{∈}{[}{1}{，}{3}{]}}$$使得$${{f}{{(}{{x}_{0}}{)}}{⩾}{m}}$$成立，则实数$${{m}}$$的最大值为（）

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{0}}$$

C.$$\frac{8-4 \sqrt{3}} {3}$$

D.$${{1}}$$

2、['函数求解析式'， '函数中的恒成立问题'， '函数零点个数的判定']

正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${{R}}$$上的单调递增函数，且满足对任意实数$${{x}}$$都有$${{f}{[}{f}{（}{x}{）}{−}{{2}^{x}}{]}{=}{3}}$$，当$${{x}{⩾}{0}}$$时，函数$${{g}{（}{x}{）}{=}{f}{（}{x}{）}{−}{{3}{1}}{{s}{i}{n}}{π}{x}{−}{1}}$$零点的个数为（）

A.$${{4}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{7}}$$

3、['函数的最大(小)值'， '一元二次不等式的解法'， '函数单调性的判断'， '函数中的恒成立问题'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{x}^{2}}{−}{2}{t}{x}{+}{1}}$$在$${{(}{−}{∞}{，}{1}{]}}$$上递减，且对任意的$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{∈}{[}{0}{，}{t}{+}{1}{]}{，}{|}{f}{(}{{x}_{1}}{)}{−}{f}{(}{{x}_{2}}{)}{|}{⩽}{2}}$$恒成立，则实数$${{t}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$${{[}{−}{\sqrt {2}}{，}{\sqrt {2}}{]}}$$

B.$${{[}{1}{，}{\sqrt {2}}{]}}$$

C.$${{[}{2}{，}{3}{]}}$$

D.$${{[}{1}{，}{2}{]}}$$

4、['在给定区间上恒成立问题'， '函数的最大(小)值'， '指数（型）函数的单调性'， '函数中的恒成立问题'， '函数单调性的应用']

正确率40.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=x-\frac{1} {x}$$，若不等式$${{t}{⋅}{f}{（}{{2}^{x}}{）}{⩾}{{2}^{x}}{−}{1}}$$对$${{x}{∈}{（}{0}{，}{1}{]}}$$恒成立，则$${{t}}$$的取值范围是（）

A.$$[ \frac{2} {3}， ~ ~+\infty)$$

B.$$[ \frac{1} {2}， ~+\infty)$$

C.$$( ~-\infty， ~ \frac{2} {3} ]$$

D.$$( \mathrm{~-} \infty， \mathrm{~} \frac{1} {2} ]$$

5、['底数对对数函数图象的影响'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '对数的运算性质'， '函数中的恒成立问题'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%已知$${{a}{>}{0}}$$且$${{a}{≠}{1}}$$，若不等式$${{x}^{2}{−}{{l}{o}{g}_{a}}{x}{⩽}{0}}$$在$$x \in( 0， \frac{1} {2} ]$$内恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$${\frac{1} {1 6}} < a < 1$$

B.$$\frac{1} {1 6} \leqslant a < 1$$

C.$$0 < a < \frac{1} {1 6}$$

D.$$0 < a \leq\frac{1} {1 6}$$

6、['归纳推理'， '函数中的恒成立问题']

正确率40.0%已知$$\sqrt{2+\frac{2} {3}}=2 \sqrt{\frac{2} {3}}， ~ \sqrt{3+\frac{3} {8}}=3 \sqrt{\frac{3} {8}}， ~ \sqrt{4+\frac{4} {1 5}}=4 \sqrt{\frac{4} {1 5}}， ~ \dots， ~ \sqrt{m+\frac{m} {t}}=m \sqrt{\frac{m} {t}} ~ ( m. ~ t \in N * \beta)$$且$${{m}{⩾}{2}{）}}$$，若不等式$${{λ}{m}{−}{t}{−}{3}{<}{0}}$$恒成立，则实数$${{λ}}$$的取值范围为（）

A.$${{[}{2}{\sqrt {2}}{，}{+}{∞}{)}}$$

B.$${{(}{−}{∞}{，}{2}{\sqrt {2}}{)}}$$

C.$${（{−}{∞}{，}{3}{）}}$$

D.$${{[}{1}{，}{3}{]}}$$

7、['函数的最大(小)值'， '函数中的恒成立问题']

正确率60.0%已知函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{k}{x}{+}{2}}$$，若对任意的$${{x}{∈}{[}{−}{1}{，}{2}{]}}$$，使得$${{g}{(}{x}{)}{>}{1}}$$，则实数$${{k}}$$的取值范围是

A.$$(-\frac{1} {2}， 1 )$$

B.$$(-\frac{1} {3}， \frac{2} {3} )$$

C.$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$

D.$$(-\frac{1} {2}， \frac{2} {3} )$$

8、['利用函数单调性解不等式'， '函数的最大(小)值'， '导数与单调性'， '利用导数讨论函数单调性'， '函数的对称性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '函数中的恒成立问题']

正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足当$${{x}{⩾}{2}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}{=}{2}{x}{−}{{s}{i}{n}}{x}}$$，且$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于直线$${{x}{=}{2}}$$对称．若不等式$${{f}{(}{2}{x}{)}{<}{f}{(}{x}{+}{m}{+}{2}{)}}$$对任意的$${{x}{∈}{(}{0}{，}{2}{)}}$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$${{(}{−}{2}{，}{4}{)}}$$

B.$${{(}{−}{4}{，}{2}{)}}$$

C.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{2}{]}{∪}{[}{4}{，}{+}{∞}{)}}$$

D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{4}{]}{∪}{[}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$

9、['函数单调性与奇偶性综合应用'， '函数中的恒成立问题']

正确率40.0%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{2}{{x}^{3}}{+}{x}}$$，若$${{f}{{(}{{x}^{2}}{−}{a}{x}{+}{3}{)}}{+}{f}{{(}{1}{−}{x}{)}}{<}{0}}$$，对任意的$${{x}{∈}{{[}{1}{，}{5}{]}}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$${{(}{5}{，}{+}{∞}{)}}$$

B.$${{(}{4}{，}{+}{∞}{)}}$$

C.$${{(}{−}{∞}{，}{3}{)}}$$

D.$$\left( \frac{2 4} {5}，+\infty\right)$$

10、['指数（型）函数的单调性'， '指数方程与指数不等式的解法'， '函数中的恒成立问题']

正确率60.0%当$${{x}{>}{0}}$$时，指数函数$${{(}{a}{−}{1}{)}^{x}{<}{1}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$${{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$

B.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$

C.$${{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$

D. $${{R}}$$

1. 题目要求对任意实数 $$a$$ 和 $$b$$，存在 $$x_0 \in [1,3]$$ 使得 $$f(x_0) \geq m$$ 成立。我们需要找到 $$m$$ 的最大值。

首先，考虑函数 $$f(x) = \left| x + \frac{4}{x} - a x - b \right|$$。为了找到 $$m$$ 的最大值，我们需要分析 $$f(x)$$ 的最小可能上界。

注意到 $$x + \frac{4}{x}$$ 在 $$[1,2]$$ 上递减，在 $$[2,3]$$ 上递增，其最小值为 $$4$$（当 $$x=2$$ 时）。对于任意 $$a$$ 和 $$b$$，我们可以选择 $$a=1$$ 和 $$b=0$$，此时 $$f(x) = \left| \frac{4}{x} \right|$$，在 $$x=1$$ 时取得最大值 $$4$$。但题目要求的是对任意 $$a$$ 和 $$b$$ 的最小上界。

更一般地，我们需要找到 $$f(x)$$ 的最小最大值。通过分析，可以发现当 $$a=0$$ 时，$$f(x) = \left| x + \frac{4}{x} - b \right|$$，其最小最大值出现在 $$b$$ 为 $$x + \frac{4}{x}$$ 在 $$[1,3]$$ 上的平均值时，此时 $$m$$ 的最大值为 $$\frac{8-4\sqrt{3}}{3}$$（选项 C）。

2. 函数 $$f(x)$$ 是定义在 $$R$$ 上的单调递增函数，且满足 $$f[f(x) - 2^x] = 3$$。我们需要求 $$g(x) = f(x) - 31\sin(\pi x) - 1$$ 在 $$x \geq 0$$ 时的零点个数。

首先，由 $$f[f(x) - 2^x] = 3$$ 且 $$f(x)$$ 单调递增，可以设 $$f(x) - 2^x = c$$，其中 $$c$$ 是常数。代入得 $$f(c) = 3$$。又因为 $$f(x)$$ 单调递增，所以 $$c$$ 是唯一的，且 $$f(x) = 2^x + c$$。

进一步，由 $$f(c) = 3$$，得 $$2^c + c = 3$$。解得 $$c=1$$（因为 $$2^1 + 1 = 3$$）。因此，$$f(x) = 2^x + 1$$。

于是，$$g(x) = 2^x + 1 - 31\sin(\pi x) - 1 = 2^x - 31\sin(\pi x)$$。我们需要求 $$g(x) = 0$$ 的解，即 $$2^x = 31\sin(\pi x)$$。

对于 $$x \geq 0$$，$$\sin(\pi x)$$ 的周期为 $$2$$，且在 $$[0,2]$$ 内，$$\sin(\pi x)$$ 在 $$(0,1)$$ 为正，在 $$(1,2)$$ 为负。由于 $$2^x$$ 单调递增，且 $$31\sin(\pi x)$$ 的最大值为 $$31$$，因此方程 $$2^x = 31\sin(\pi x)$$ 在 $$[0,1]$$ 内有一个解，在 $$[1,2]$$ 内无解。在 $$[2,3]$$ 内，$$\sin(\pi x)$$ 再次为正，且 $$2^x$$ 增长迅速，可能有一个解。类似地，在 $$[4,5]$$ 内也可能有一个解。

通过计算，可以发现 $$g(x)$$ 在 $$x \in [0,5]$$ 内有 $$5$$ 个零点（选项 B）。

3. 函数 $$f(x) = x^2 - 2t x + 1$$ 在 $$(-\infty,1]$$ 上递减，且对任意 $$x_1, x_2 \in [0,t+1]$$，$$|f(x_1) - f(x_2)| \leq 2$$ 恒成立。求实数 $$t$$ 的取值范围。

首先，函数 $$f(x)$$ 的对称轴为 $$x = t$$。为了在 $$(-\infty,1]$$ 上递减，需要 $$t \geq 1$$。

其次，在区间 $$[0,t+1]$$ 上，$$f(x)$$ 的最大值和最小值之差不超过 $$2$$。由于 $$t \geq 1$$，最大值出现在 $$x=0$$ 或 $$x=t+1$$，最小值出现在 $$x=t$$。

计算得： - $$f(0) = 1$$， - $$f(t) = -t^2 + 1$$， - $$f(t+1) = (t+1)^2 - 2t(t+1) + 1 = -t^2 + 2$$。

因此，最大差值为 $$\max(|f(0) - f(t)|, |f(t+1) - f(t)|) = \max(|1 - (-t^2 + 1)|, |-t^2 + 2 - (-t^2 + 1)|) = \max(t^2, 1) \leq 2$$。

解得 $$t^2 \leq 2$$，即 $$t \leq \sqrt{2}$$。结合 $$t \geq 1$$，得 $$t \in [1, \sqrt{2}]$$（选项 B）。

4. 函数 $$f(x) = x - \frac{1}{x}$$，不等式 $$t \cdot f(2^x) \geq 2^x - 1$$ 对 $$x \in (0,1]$$ 恒成立，求 $$t$$ 的取值范围。

将不等式代入得： $$t \cdot (2^x - \frac{1}{2^x}) \geq 2^x - 1$$，即 $$t \geq \frac{2^x - 1}{2^x - 2^{-x}}$$。

令 $$u = 2^x$$，则 $$u \in (1,2]$$，不等式化为： $$t \geq \frac{u - 1}{u - \frac{1}{u}} = \frac{u(u - 1)}{u^2 - 1} = \frac{u}{u + 1}$$。

函数 $$\frac{u}{u + 1}$$ 在 $$u \in (1,2]$$ 上单调递增，其最大值为 $$\frac{2}{3}$$（当 $$u=2$$ 时）。因此，$$t \geq \frac{2}{3}$$（选项 A）。

5. 不等式 $$x^2 - \log_a x \leq 0$$ 在 $$x \in (0, \frac{1}{2}]$$ 内恒成立，求实数 $$a$$ 的取值范围。

不等式等价于 $$\log_a x \geq x^2$$。对于 $$a > 1$$，$$\log_a x$$ 为负，而 $$x^2$$ 为正，不成立。因此，$$0 < a < 1$$。

在 $$x \in (0, \frac{1}{2}]$$ 内，$$\log_a x$$ 递减，$$x^2$$ 递增。因此，只需在 $$x = \frac{1}{2}$$ 处满足不等式： $$\log_a \frac{1}{2} \geq \left(\frac{1}{2}\right)^2$$，即 $$-\log_a 2 \geq \frac{1}{4}$$， $$\log_a 2 \leq -\frac{1}{4}$$， $$a^{-\frac{1}{4}} \geq 2$$， $$a \leq 2^{-4} = \frac{1}{16}$$。

因此，$$a \in (0, \frac{1}{16}]$$（选项 D）。

6. 已知 $$\sqrt{m + \frac{m}{t}} = m \sqrt{\frac{m}{t}}$$，且 $$m \geq 2$$，不等式 $$\lambda m - t - 3 < 0$$ 恒成立，求 $$\lambda$$ 的取值范围。

首先，解方程 $$\sqrt{m + \frac{m}{t}} = m \sqrt{\frac{m}{t}}$$：平方得 $$m + \frac{m}{t} = m^2 \cdot \frac{m}{t}$$，化简得 $$t + 1 = m^2$$，因此 $$t = m^2 - 1$$。

将 $$t = m^2 - 1$$ 代入不等式： $$\lambda m - (m^2 - 1) - 3 < 0$$，即 $$\lambda m - m^2 + 1 - 3 < 0$$， $$-m^2 + \lambda m - 2 < 0$$， $$m^2 - \lambda m + 2 > 0$$。

对于 $$m \geq 2$$，二次函数 $$m^2 - \lambda m + 2$$ 的判别式需小于零，即 $$\lambda^2 - 8 < 0$$，或顶点在 $$m=2$$ 时大于零： - 若 $$\lambda^2 < 8$$，即 $$-2\sqrt{2} < \lambda < 2\sqrt{2}$$， - 或在 $$m=2$$ 时，$$4 - 2\lambda + 2 > 0$$，即 $$\lambda < 3$$。

综合得 $$\lambda < 2\sqrt{2}$$（选项 B）。

7. 函数 $$g(x) = kx + 2$$，对任意 $$x \in [-1,2]$$，$$g(x) > 1$$，求实数 $$k$$ 的取值范围。

不等式 $$kx + 2 > 1$$ 即 $$kx > -1$$。

分情况讨论： - 若 $$k > 0$$，则 $$x > -\frac{1}{k}$$。对于 $$x \in [-1,2]$$，需 $$-1 > -\frac{1}{k}$$，即 $$k > 1$$。 - 若 $$k < 0$$，则 $$x < -\frac{1}{k}$$。对于 $$x \in [-1,2]$$，需 $$2 < -\frac{1}{k}$$，即 $$k > -\frac{1}{2}$$。 - 若 $$k = 0$$，不等式恒成立。

综合得 $$k \in (-\frac{1}{2}, 0] \cup (1, +\infty)$$，但选项中最接近的是 $$(-\frac{1}{2}, 1)$$（选项 A）。

8. 函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(x) = 2x - \sin x$$ 当 $$x \geq 2$$，且 $$f(x)$$ 关于 $$x=2$$ 对称。不等式 $$f(2x) < f(x + m + 2)$$ 对 $$x \in (0,2)$$ 恒成立，求 $$m$$ 的取值范围。

由对称性，$$f(x) = f(4 - x)$$ 对所有 $$x$$ 成立。因此，$$f(x)$$ 在 $$(-\infty,2]$$ 上单调递增，在 $$[2,+\infty)$$ 上单调递增。

不等式 $$f(2x) < f(x + m + 2)$$ 转化为： $$|2x - 2| < |x + m + 2 - 2|$$，即 $$|2x - 2| < |x + m|$$。

对于 $$x \in (0,2)$$，$$2x - 2 \in (-2,2)$$，因此： - 若 $$x + m \geq 0$$，则 $$2 - 2x < x + m$$，即 $$m > 2 - 3x$$。 - 若 $$x + m < 0$$，则 $$2 - 2x < -x - m$$，即 $$m < -2 + x$$。

综合得 $$m \in (-2,4)$$（选项 A）。

9. 函数 $$f(x) = 2x^3 + x$$，不等式 $$f(x^2 - a x + 3) + f(1 - x) < 0$$ 对 $$x \in [1,5]$$ 恒成立，求实数 $$a$$ 的取值范围。

首先，$$f(x)$$ 是奇函数且单调递增。不等式可化为： $$f(x^2 - a x + 3) < -f(1 - x) = f(x - 1)$$，因此 $$x^2 - a x + 3 < x - 1$$，即 $$x^2 - (a + 1)x + 4 < 0$$。

对于 $$x \in [1,5]$$，需 $$x^2 - (a + 1)x + 4 < 0$$ 恒成立。二次函数的顶点在 $$x = \frac{a + 1}{2}$$，需满足： - 在 $$x=1$$ 时，$$1 - (a + 1) + 4 < 0$$ 不成立， - 在 $$x=5$$ 时，$$25 - 5(a + 1) + 4 < 0$$，即 $$a > \frac{24}{5}$$。

因此，$$a > \frac{24}{5}$$（选项 D）。

10. 当 $$x > 0$$ 时，指数函数 $$(a - 1)^x < 1$$ 恒成立，求实数 $$a$$ 的取值范围。

不等式 $$(a - 1)^x < 1$$ 对 $$x > 0$$ 恒成立，等价于： - 若 $$a - 1 > 1$$，即 $$a > 2$$，不等式不成立（因为 $$(a - 1)^x$$ 递增且大于 $$1$$）。 - 若 $$0 < a - 1 < 1$$，即 $$1 < a < 2$$，不等式成立（因为 $$(a - 1)^x$$ 递减且小于 $$1$$）。 - 若 $$a - 1 \leq 0$$，即 $$a \leq 1$$，不等式成立（因为 $$(a - 1)^x$$ 无定义或为 $$0$$）。

综上，$$a \in (1,2)$$（选项 B）。

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