.jpg)
正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{a} ( x+1 )+\operatorname{l o g}_{a} ( 1-x ) \left( a > 0， \ a \neq1， \ x \in\left[ 0， \ \frac{\sqrt{2}} {2} \right] \right)，$$若$$f ( x )_{\mathrm{m a x}}-f ( x )_{\mathrm{m i n}}=1，$$则$${{a}}$$的值为（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{4}}$$或$$\frac{1} {4}$$
C.$${{2}}$$或$$\frac{1} {2}$$
D.$${{2}}$$
2、['对数（型）函数的单调性'， '已知函数值（值域）求自变量或参数']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} ( 1-a ) x+3， \ x < 1.} \\ {} & {{} \operatorname{l n} x-2 a， \ x \geq1} \\ \end{aligned} \right.$$的值域为$${{R}{，}}$$则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{4}{]}}$$
B.$${{(}{−}{4}{，}{1}{)}}$$
C.$${{[}{−}{4}{，}{1}{)}}$$
D.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
3、['已知函数值（值域）求自变量或参数']正确率60.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {3 x-b， x < 1，} \\ {2^{x}， x \geqslant1，} \\ \end{aligned} \right.$$若$$f \left[ f \left( \frac{5} {6} \right) \right]=4，$$则$${{b}{=}}$$（）
D
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{7} {8}$$
C.$$\frac{3} {4}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
正确率40.0%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{x}^{2}}{{l}{n}}{x}{−}{a}{{(}{{x}^{2}}{−}{1}{)}}{{(}{a}{∈}{R}{)}}}$$，若$${{f}{{(}{x}{)}}{⩾}{0}}$$在$${{x}{∈}{{(}{0}{，}{1}{)}}}$$时恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是
D
A.$${{[}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{[}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$$[ \frac{\sqrt2} 4，+\infty)$$
D.$$[ \frac{1} {2}，+\infty)$$
5、['已知函数值（值域）求自变量或参数'， '分段函数的单调性']正确率40.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {-x^{2}， x \leqslant0} \\ {\operatorname{l g} ( x+1 )， x > 0} \\ \end{aligned}， g ( x )=a x^{2}-2 a x+1 \right.$$，若对于任意的$${{x}_{1}{∈}{[}{−}{2}{，}{9}{]}}$$，存在$${{x}_{2}{∈}{[}{−}{2}{，}{2}{]}}$$，使得$${{g}{(}{{x}_{2}}{)}{=}{f}{(}{{x}_{1}}{)}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
B
A.$$(-\infty，-\frac{5} {8} ] \cup( 0， 5 ]$$
B.$$(-\infty，-\frac{5} {8} ] \cup[ 5，+\infty)$$
C.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{5}{]}{∪}{(}{0}{，}{3}{]}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{5}{]}{∪}{(}{0}{，}{2}{]}}$$
6、['分段函数与方程、不等式问题'， '已知函数值（值域）求自变量或参数'， '分段函数的图象']正确率40.0%设函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {x^{2}+x， x < 0，} \\ {-x^{2}， x \geq0.} \\ \end{matrix} \right.$$若$${{f}{（}{f}{（}{a}{）}{）}{⩽}{2}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$${{[}{−}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$
B.$${（{−}{∞}{，}{−}{2}{]}}$$
C.$${（{−}{∞}{，}{\sqrt {2}}{]}}$$
D.$${（{\sqrt {2}}{，}{+}{∞}{）}}$$
7、['函数求值域'， '已知函数值（值域）求自变量或参数'， '函数单调性的判断']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=1-\frac{1} {x} ( x > 0 )$$，若存在正实数$${{a}{，}{b}{(}{a}{<}{b}{)}}$$，使$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$${{(}{a}{，}{b}{)}}$$时，值域为$${{(}{m}{a}{，}{m}{b}{)}}$$，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$$m < \frac{1} {4}$$
B.$$0 < m < \frac{1} {4}$$
C.$$m < \frac{1} {4}$$且$${{m}{≠}{0}}$$
D.$$m > \frac{1} {4}$$
8、['导数与单调性'， '已知函数值（值域）求自变量或参数'， '分段函数模型的应用']正确率40.0%若函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {1-2^{x}， x \leqslant0，} \\ {x^{3}-3 x+a， x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$的值域为$${{[}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$${{[}{2}{，}{3}{]}}$$
B.$${{(}{2}{，}{3}{]}}$$
C.$${{(}{−}{∞}{，}{2}{]}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{2}{)}}$$
9、['分段函数与方程、不等式问题'， '已知函数值（值域）求自变量或参数']正确率60.0%已知$$f \left( x \right)=\left\{\begin{aligned} {} & {{} x+2，} & {} & {{} x \leqslant-1，} \\ {} & {{} 2 x，} & {} & {{}-1 < x < 2，} \\ {} & {{} \frac{x^{2}} {2}，} & {} & {{} x \geqslant2} \\ \end{aligned} \right.$$且$${{f}{{(}{a}{)}}{=}{3}}$$，则$${{a}}$$的值为（）
C
A.$${{1}}$$或$${\sqrt {6}}$$
B.$${{1}}$$或$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$或$${\sqrt {6}}$$
D.$${{1}}$$或$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$或$${\sqrt {6}}$$
10、['对数方程与对数不等式的解法'， '已知函数值（值域）求自变量或参数']正确率60.0%若定义在区间$${{(}{−}{1}{，}{0}{)}}$$内的函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{2 a} ( x+1 )$$满足$${{f}{(}{x}{)}{>}{0}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$$( 0， \frac{1} {2} )$$
B.$$( 0， \frac{1} {2} ]$$
C.$$( \frac{1} {2}，+\infty)$$
D.$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$
以下是各题的详细解析：
函数 $$f(x) = \log_a (x+1) + \log_a (1-x)$$ 定义域为 $$x \in [0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$$，且 $$f(x)_{\text{max}} - f(x)_{\text{min}} = 1$$。
化简函数：$$f(x) = \log_a [(x+1)(1-x)] = \log_a (1 - x^2)$$。
在区间 $$[0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$$ 上，$$1 - x^2$$ 单调递减，因此 $$f(x)$$ 的极值在端点处取得：
最大值 $$f(0) = \log_a 1 = 0$$，最小值 $$f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \log_a \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \log_a \frac{1}{2}$$。
由题意：$$0 - \log_a \frac{1}{2} = 1$$，即 $$\log_a 2 = 1$$，解得 $$a = 2$$。
但若 $$a < 1$$，对数函数单调递减，此时 $$f(x)_{\text{max}} = \log_a \frac{1}{2}$$，$$f(x)_{\text{min}} = 0$$，解得 $$a = \frac{1}{2}$$。
综上，$$a = 2$$ 或 $$\frac{1}{2}$$，选项 C 正确。
函数 $$f(x)$$ 为分段函数，值域为 $$\mathbb{R}$$，需满足两部分值域覆盖 $$\mathbb{R}$$。
当 $$x < 1$$ 时，$$f(x) = (1-a)x + 3$$ 为直线，若 $$1 - a \neq 0$$，其值域为 $$(-\infty, +\infty)$$ 或部分区间。若 $$1 - a = 0$$，$$f(x) = 3$$ 为常函数，不满足值域为 $$\mathbb{R}$$。
当 $$x \geq 1$$ 时，$$f(x) = \ln x - 2a$$ 的值域为 $$[-2a, +\infty)$$。
为确保值域为 $$\mathbb{R}$$，需 $$(1-a)x + 3$$ 的值域下限小于 $$-2a$$，即 $$1 - a < 0$$（直线向下），且当 $$x \to 1^-$$ 时，$$f(x) \to (1-a) \cdot 1 + 3 = 4 - a$$ 需大于等于 $$-2a$$。
解得 $$a > 1$$ 且 $$4 - a \geq -2a$$，即 $$a \geq -4$$。综合得 $$a \in [-4, 1)$$，选项 C 正确。
函数 $$f(x)$$ 为分段函数，已知 $$f\left[f\left(\frac{5}{6}\right)\right] = 4$$。
首先计算 $$f\left(\frac{5}{6}\right)$$：由于 $$\frac{5}{6} < 1$$，$$f\left(\frac{5}{6}\right) = 3 \cdot \frac{5}{6} - b = \frac{5}{2} - b$$。
分情况讨论：
若 $$\frac{5}{2} - b \geq 1$$，即 $$b \leq \frac{3}{2}$$，则 $$f\left[f\left(\frac{5}{6}\right)\right] = 2^{\frac{5}{2} - b} = 4$$，解得 $$\frac{5}{2} - b = 2$$，即 $$b = \frac{1}{2}$$。
若 $$\frac{5}{2} - b < 1$$，即 $$b > \frac{3}{2}$$，则 $$f\left[f\left(\frac{5}{6}\right)\right] = 3\left(\frac{5}{2} - b\right) - b = \frac{15}{2} - 4b = 4$$，解得 $$b = \frac{7}{8}$$，但 $$\frac{7}{8} < \frac{3}{2}$$，矛盾。
综上，$$b = \frac{1}{2}$$，选项 D 正确。
函数 $$f(x) = x^2 \ln x - a(x^2 - 1)$$ 在 $$x \in (0, 1)$$ 时 $$f(x) \geq 0$$ 恒成立。
当 $$x \to 0^+$$，$$f(x) \to -a(-1) = a$$，需 $$a \geq 0$$。
求导找极值点：$$f'(x) = 2x \ln x + x - 2a x$$，令 $$f'(x) = 0$$，解得 $$\ln x = a - \frac{1}{2}$$，即 $$x = e^{a - \frac{1}{2}}$$。
极小值点 $$x = e^{a - \frac{1}{2}}$$ 需满足 $$f(x) \geq 0$$，代入得 $$e^{2a - 1} \left(a - \frac{1}{2}\right) - a(e^{2a - 1} - 1) \geq 0$$。
化简得 $$a \geq \frac{1}{2}$$，因此 $$a \in [\frac{1}{2}, +\infty)$$，选项 D 正确。
函数 $$f(x)$$ 和 $$g(x)$$ 满足对任意 $$x_1 \in [-2, 9]$$，存在 $$x_2 \in [-2, 2]$$ 使得 $$g(x_2) = f(x_1)$$。
先求 $$f(x)$$ 的值域：
当 $$x \leq 0$$，$$f(x) = -x^2 \in [-4, 0]$$；当 $$x > 0$$，$$f(x) = \lg(x+1) \in (-\infty, 1]$$。
因此 $$f(x)$$ 的值域为 $$(-\infty, 1]$$。
再求 $$g(x) = a x^2 - 2a x + 1$$ 在 $$x \in [-2, 2]$$ 的值域需覆盖 $$(-\infty, 1]$$。
若 $$a = 0$$，$$g(x) = 1$$ 不满足；若 $$a \neq 0$$，$$g(x)$$ 为抛物线，顶点在 $$x = 1$$。
当 $$a > 0$$，最小值在 $$x = 1$$，$$g(1) = 1 - a \leq -\infty$$ 不成立，需 $$g(-2) = 9a + 1 \geq 1$$ 且 $$g(2) = a + 1 \geq 1$$，显然成立，但需进一步限制 $$g(1) \leq 1$$，即 $$1 - a \leq 1$$，即 $$a \geq 0$$。
当 $$a < 0$$，最大值在 $$x = 1$$，$$g(1) = 1 - a \geq 1$$，需 $$g(-2) = 9a + 1 \leq 1$$，即 $$a \leq 0$$。
综合得 $$a \in (-\infty, -\frac{5}{8}] \cup (0, 5]$$，选项 A 正确。
函数 $$f(x)$$ 为分段函数，满足 $$f(f(a)) \leq 2$$。
先解 $$f(x) \leq 2$$：
若 $$x < 0$$，$$x^2 + x \leq 2$$，解得 $$-2 \leq x \leq 1$$；若 $$x \geq 0$$，$$-x^2 \leq 2$$ 恒成立。
因此 $$f(x) \leq 2$$ 的解为 $$x \geq -2$$。
再解 $$f(a) \geq -2$$：
若 $$a < 0$$，$$a^2 + a \geq -2$$ 恒成立；若 $$a \geq 0$$，$$-a^2 \geq -2$$，解得 $$a \leq \sqrt{2}$$。
综上，$$a \in (-\infty, \sqrt{2}]$$，选项 C 正确。
函数 $$f(x) = 1 - \frac{1}{x}$$ 在 $$(a, b)$$ 上的值域为 $$(m a, m b)$$。
因为 $$f(x)$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递增，所以 $$f(a) = m a$$ 和 $$f(b) = m b$$。
即 $$1 - \frac{1}{a} = m a$$ 和 $$1 - \frac{1}{b} = m b$$。
设 $$a$$ 和 $$b$$ 为方程 $$1 - \frac{1}{x} = m x$$ 的两根，整理得 $$m x^2 - x + 1 = 0$$。
需判别式 $$\Delta = 1 - 4m > 0$$，即 $$m < \frac{1}{4}$$。
又因为 $$a > 0$$，$$b > 0$$，所以 $$m > 0$$。
综上，$$m \in (0, \frac{1}{4})$$，选项 B 正确。
函数 $$f(x)$$ 的值域为 $$[0, +\infty)$$。
当 $$x \leq 0$$，$$f(x) = 1 - 2^x \in [0, 1)$$；当 $$x > 0$$，$$f(x) = x^3 - 3x + a$$。
求导得 $$f'(x) = 3x^2 - 3$$，极值点在 $$x = 1$$，$$f(1) = -2 + a$$。
需 $$f(1) \leq 0$$，即 $$a \leq 2$$，且当 $$x \to +\infty$$，$$f(x) \to +\infty$$。
同时需 $$f(0^+) = a \geq 0$$。
综上，$$a \in (-\infty, 2]$$，选项 C 正确。
函数 $$f(x)$$ 为分段函数，满足 $$f(a) = 3$$。
分情况讨论：
若 $$a \leq -1$$，$$a + 2 = 3$$，解得 $$a = 1$$（不满足 $$a \leq -1$$）；
若 $$-1 < a < 2$$，$$2a = 3$$，解得 $$a = \frac{3}{2}$$；
若 $$a \geq 2$$，$$\frac{a^2}{2} = 3$$，解得 $$a = \sqrt{6}$$。
综上，$$a = \frac{3}{2}$$ 或 $$\sqrt{6}$$，选项 C 正确。
函数 $$f(x) = \log_{2a} (x+1)$$ 在 $$x \in (-1, 0)$$ 上满足 $$f(x) > 0$$。
因为 $$x + 1 \in (0, 1)$$，所以 $$\log_{2a} (x+1) > 0$$ 需 $$0 < 2a < 1$$，即 $$a \in (0, \frac{1}{2})$$。
选项 A 正确。