函数中的恒成立问题-函数的拓展与综合知识点专题进阶自测题解析-广东省等高一数学必修,平均正确率38.0%

1、['函数的最大(小)值'， '函数中的恒成立问题'， '“对勾”函数的应用']

正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =x+a， \ g \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =x+\frac{4} {x}$$，若$$\forall x_{1} \in[ 1， \ 3 ]， \ \exists x_{2} \in[ 1， \ 4 ]，$$使得$$f \ ( \boldsymbol{x}_{1} ) \boldsymbol{\geq g \boldsymbol{( x_{2} )}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$${{a}{⩾}{1}}$$

B.$${{a}{⩾}{2}}$$

C.$${{a}{⩾}{3}}$$

D.$${{a}{⩾}{4}}$$

2、['函数的最大(小)值'， '函数中的恒成立问题'， '利用函数奇偶性求解析式']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是偶函数，当$${{x}{>}{0}}$$时，$$f ( x )=( x-1 )^{2}，$$若当$$x \in[-2， ~ \frac1 2 ]$$时，$$n \leqslant f ( x ) \leqslant m$$恒成立，则$${{m}{−}{n}}$$的最小值为（）

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$\frac{3} {4}$$

D.$${{1}}$$

3、['在给定区间上恒成立问题'， '指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '对数方程与对数不等式的解法'， '函数中的恒成立问题']

正确率40.0%若关于$${{x}}$$的不等式$$4^{x}-\operatorname{l o g}_{a} x \leqslant\frac3 2$$在$$x \in( 0， \frac{1} {2} ]$$上恒成立，则$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$[ \frac{3} {4}， 1 )$$

B.$$( 0， \frac{3} {4} ]$$

C.$$( 0， \frac{1} {4} ]$$

D.$$[ \frac{1} {4}， 1 )$$

4、['函数中的恒成立问题'， '幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']

正确率40.0%已知幂函数$$f ( x )=( m-1 )^{2} x^{m^{2}-4 m+2}$$在$$( 0，+\infty)$$上单调递增，函数$$g ( x )=2^{x}-t， \; \forall x_{1} \in[ 1， 6 )$$时，总存在$$x_{2} \in[ 1， 6 )$$使得$$f ( x_{1} )=g ( x_{2} )$$，则$${{t}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$${{∅}}$$

B.$${{t}{⩾}{{2}{8}}}$$或$${{t}{⩽}{1}}$$

C.$${{t}{>}{{2}{8}}}$$或$${{t}{<}{1}}$$

D.$$1 \leqslant t \leqslant2 8$$

5、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '导数的四则运算法则'， '函数单调性的判断'， '函数中的恒成立问题']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\frac{e^{x}} {x}-2 a x， \， \， \， x \in( 0，+\infty)$$，当$${{x}_{2}{>}{{x}_{1}}}$$时，不等式$$\frac{f \left( x_{1} \right)} {x_{2}}-\frac{f \left( x_{2} \right)} {x_{1}} < 0$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$$(-\infty， e ]$$

B.$$(-\infty， \frac{e} {2} ]$$

C.$$\left(-\infty， \; \frac{e} {2} \right)$$

D.$$(-\infty， \frac{e} {4} ]$$

6、['函数的最大(小)值'， '函数中的恒成立问题']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\frac{2 x} {x-1} \geqslant a$$在区间$$[ 3， 5 ]$$上恒成立，则实数$${{a}}$$的最大值是（）

A.$${{3}}$$

B.$$\frac{1} {3}$$

C.$$\frac{2} {5}$$

D.$$\frac{5} {2}$$

7、['利用导数讨论函数单调性'， '函数中的恒成立问题'， '利用函数单调性比较大小']

正确率19.999999999999996%定义在$${{(}{0}}$$， $${{+}}$$ $${{∞}}$$)内的函数 $${{f}}$$( $${{x}}$$)满足 $${{f}}$$( $${{x}}$$) $${{>}}$$$${{0}}$$，且$${{2}}$$ $${{f}}$$( $${{x}}$$) $${{<}{x}{f}{ˈ}}$$( $${{x}}$$) $${{<}}$$$${{3}}$$ $${{f}}$$( $${{x}}$$)对 $${{x}}$$$${{∈}{(}{0}{，}}$$ $${{+}}$$ $${{∞}}$$)恒成立，其中 $${{f}{ˈ}}$$( $${{x}}$$)为 $${{f}}$$( $${{x}}$$)的导函数，则()

A.$$\frac{1} {1 6} < \frac{f \left( 1 \right)} {f \left( 2 \right)} < \frac{1} {8}$$

B.$$\frac1 8 < \frac{f \left( 1 \right)} {f \left( 2 \right)} < \frac1 4$$

C.$$\frac1 4 < \frac{f \left( 1 \right)} {f \left( 2 \right)} < \frac1 3$$

D.$$\frac1 3 < \frac{f \left( 1 \right)} {f \left( 2 \right)} < \frac1 2$$

8、['函数的新定义问题'， '函数中的恒成立问题']

正确率40.0%在$${{R}}$$上定义运算$$x \otimes y=~ ( 1-x ) ~ ( 1+y )$$若不等式$$( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a} ) \emph{\otimes} \textit{( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{a} )} \textsubscript{< 1}$$对任意实数$${{x}}$$成立，则（）

A.$$- 1 < a < 1$$

B.$$- 2 < a < 0$$

C.$$0 < a < 2$$

D.$$- \frac{3} {2} < \alpha< \frac{1} {2}$$

9、['利用导数讨论函数单调性'， '函数中的恒成立问题']

正确率40.0%定义在$$( 0， ~ \frac{\pi} {2} )$$上的函数$$f \left( \begin{array} {c} {( \textbf{x} )} \\ \end{array}， \right) f^{\prime} \left( \begin{array} {c} {x} \\ \end{array} \right)$$是它的导函数，且恒有$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \cdot\operatorname{t a n} x+f^{\prime} \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ < 0$$成立，则（）

A.$$\sqrt{2} f ( \frac{\pi} {3} ) > f ( \frac{\pi} {4} )$$

B.$$\sqrt3 f ( \frac{\pi} {4} ) > \sqrt2 f ( \frac{\pi} {6} )$$

C.$$f ( \frac{\pi} {3} ) > \sqrt{3} f ( \frac{\pi} {6} )$$

D.$$\sqrt{3} f ( \frac{\pi} {3} ) < f ( \frac{\pi} {6} )$$

10、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '函数中的恒成立问题']

正确率40.0%svg异常

A.$${{a}{>}{0}}$$

B.$${{a}{⩽}{1}}$$

C.$${{a}{>}{1}}$$

D.$${{a}{⩽}{0}}$$

以下是各题的详细解析：

1. 题目要求对于任意 $$x_1 \in [1, 3]$$，存在 $$x_2 \in [1, 4]$$ 使得 $$f(x_1) \geq g(x_2)$$。首先求 $$g(x)$$ 在 $$[1, 4]$$ 的最小值，$$g(x) = x + \frac{4}{x}$$ 的最小值在 $$x=2$$ 时取得，$$g(2)=4$$。因此需要 $$f(x_1) \geq 4$$ 对所有 $$x_1 \in [1, 3]$$ 成立。由于 $$f(x)=x+a$$ 是增函数，只需 $$f(1)=1+a \geq 4$$，解得 $$a \geq 3$$。答案为 C。

2. 函数 $$f(x)$$ 是偶函数，当 $$x>0$$ 时 $$f(x)=(x-1)^2$$，因此在 $$x \in [-2, \frac{1}{2}]$$ 时，$$f(x)$$ 的最小值在 $$x=0$$ 时取得，$$f(0)=1$$；最大值在 $$x=-2$$ 时取得，$$f(-2)=9$$。因此 $$m-n=9-1=8$$，但选项中没有 8，可能是题目描述有误。重新检查题目描述，若 $$x \in [-2, -\frac{1}{2}]$$，则最小值为 $$f(-1)=0$$，最大值为 $$f(-2)=9$$，$$m-n=9$$，仍不匹配。可能是区间为 $$[-2, \frac{1}{2}]$$，此时最小值为 $$f(0)=1$$，最大值为 $$f(-2)=9$$，$$m-n=8$$。题目可能有笔误，暂无法确定。

3. 不等式 $$4^x - \log_a x \leq \frac{3}{2}$$ 在 $$x \in (0, \frac{1}{2}]$$ 上恒成立。首先分析 $$4^x$$ 在 $$(0, \frac{1}{2}]$$ 的取值范围为 $$(1, 2]$$。为了使不等式成立，需要 $$\log_a x \geq 4^x - \frac{3}{2}$$。当 $$a>1$$ 时，$$\log_a x$$ 为减函数，且 $$\log_a x \leq 0$$，而 $$4^x - \frac{3}{2} \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$$，无法满足不等式。当 $$0C。

4. 幂函数 $$f(x)=(m-1)^2 x^{m^2-4m+2}$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递增，需满足 $$(m-1)^2 > 0$$ 且 $$m^2-4m+2 > 0$$。解得 $$m \neq 1$$ 且 $$m < 2-\sqrt{2}$$ 或 $$m > 2+\sqrt{2}$$。函数 $$g(x)=2^x - t$$ 在 $$[1, 6)$$ 上的值域为 $$[2-t, 64-t)$$。题目要求 $$f(x)$$ 的值域包含于 $$g(x)$$ 的值域，即 $$[f(1), f(6)) \subseteq [2-t, 64-t)$$。计算 $$f(1)=1$$ 和 $$f(6)=6^{m^2-4m+2}$$，需要 $$1 \geq 2-t$$ 且 $$6^{m^2-4m+2} \leq 64-t$$。解得 $$t \geq 1$$ 且 $$t \leq 64 - 6^{m^2-4m+2}$$。由于 $$m^2-4m+2$$ 的范围较大，无法直接确定 $$t$$ 的具体范围，可能是题目描述有误。暂无法确定答案。

5. 不等式 $$\frac{f(x_1)}{x_2} - \frac{f(x_2)}{x_1} < 0$$ 可化简为 $$\frac{x_1 f(x_1) - x_2 f(x_2)}{x_1 x_2} < 0$$。由于 $$x_2 > x_1 > 0$$，等价于 $$x_1 f(x_1) < x_2 f(x_2)$$，即 $$x f(x)$$ 为增函数。设 $$h(x) = x f(x) = e^x - 2a x^2$$，求导得 $$h'(x) = e^x - 4a x$$。需要 $$h'(x) \geq 0$$ 对所有 $$x>0$$ 成立。当 $$a \leq 0$$ 时显然成立；当 $$a>0$$ 时，需 $$e^x \geq 4a x$$ 对所有 $$x>0$$ 成立。函数 $$e^x / x$$ 的最小值为 $$e$$（在 $$x=1$$ 时取得），因此需 $$4a \leq e$$，即 $$a \leq \frac{e}{4}$$。答案为 D。

6. 函数 $$f(x) = \frac{2x}{x-1}$$ 在 $$[3, 5]$$ 上单调递减，因此其最小值为 $$f(5) = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$。题目要求 $$f(x) \geq a$$ 恒成立，即 $$a \leq \frac{5}{2}$$。实数 $$a$$ 的最大值为 $$\frac{5}{2}$$。答案为 D。

7. 不等式 $$2f(x) < x f'(x) < 3f(x)$$ 可改写为 $$2 < \frac{x f'(x)}{f(x)} < 3$$。设 $$h(x) = \frac{f(x)}{x^3}$$，则 $$\frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{3}{x}$$。由不等式得 $$\frac{2}{x} < \frac{f'(x)}{f(x)} < \frac{3}{x}$$，因此 $$\frac{h'(x)}{h(x)} \in (-\frac{1}{x}, 0)$$，即 $$h(x)$$ 为减函数。因此 $$\frac{f(1)}{1^3} > \frac{f(2)}{2^3}$$，即 $$\frac{f(1)}{f(2)} > \frac{1}{8}$$。类似地，设 $$k(x) = \frac{f(x)}{x^2}$$，可得 $$\frac{f(1)}{f(2)} < \frac{1}{4}$$。因此 $$\frac{1}{8} < \frac{f(1)}{f(2)} < \frac{1}{4}$$。答案为 B。

8. 运算定义为 $$x \otimes y = (1-x)(1+y)$$，不等式 $$(x-a) \otimes (x+a) < 1$$ 展开为 $$(1-(x-a))(1+(x+a)) < 1$$，即 $$(1-x+a)(1+x+a) < 1$$。化简得 $$(1+a)^2 - x^2 < 1$$，即 $$x^2 > a^2 + 2a$$。要使此式对所有实数 $$x$$ 成立，需 $$a^2 + 2a < 0$$，解得 $$-2 < a < 0$$。答案为 B。

9. 不等式 $$f(x) \tan x + f'(x) < 0$$ 可改写为 $$\frac{f'(x)}{f(x)} < -\tan x$$。积分得 $$\ln f(x) < \ln \cos x + C$$，即 $$f(x) < k \cos x$$。因此 $$f(x)$$ 为减函数。比较选项：A 选项 $$\sqrt{2} f(\frac{\pi}{3}) > f(\frac{\pi}{4})$$ 即 $$\sqrt{2} f(\frac{\pi}{3}) > f(\frac{\pi}{4})$$，由于 $$f$$ 为减函数且 $$\frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4}$$，此式不成立；B 选项 $$\sqrt{3} f(\frac{\pi}{4}) > \sqrt{2} f(\frac{\pi}{6})$$，由于 $$f(\frac{\pi}{4}) < f(\frac{\pi}{6})$$，此式不成立；C 选项 $$f(\frac{\pi}{3}) > \sqrt{3} f(\frac{\pi}{6})$$，由于 $$f$$ 为减函数，此式不成立；D 选项 $$\sqrt{3} f(\frac{\pi}{3}) < f(\frac{\pi}{6})$$，由于 $$f(\frac{\pi}{3}) < f(\frac{\pi}{6})$$，此式成立。答案为 D。

10. 题目描述不完整，无法解析。

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