函数图象的识别-函数的拓展与综合知识点专题进阶自测题答案-山东省等高一数学必修,平均正确率50.0%

1. 函数 $$y=\frac{\sin(-x)}{x}$$ 可以简化为 $$y=-\frac{\sin x}{x}$$。分析其性质：

- 定义域 $$x \in [-\pi, 0) \cup (0, \pi]$$，在 $$x=0$$ 处无定义。

- 奇函数，因为 $$y(-x) = -\frac{\sin(-x)}{-x} = -\frac{\sin x}{x} = -y(x)$$，图像关于原点对称。

- 当 $$x \to 0$$ 时，$$y \to -1$$（利用极限 $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$）。

- 在 $$x=\pm \pi$$ 时，$$y=0$$。

综上，图像为奇函数，且在 $$x=0$$ 附近趋近于 $$-1$$，选项需符合这些特征。

2. 函数 $$f(x)=\frac{e^{|x|}}{3x}$$ 分析：

- 定义域 $$x \neq 0$$。

- 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x)=\frac{e^x}{3x}$$，随着 $$x \to 0^+$$，$$f(x) \to +\infty$$；随着 $$x \to +\infty$$，$$f(x) \to +\infty$$。

- 当 $$x < 0$$ 时，$$f(x)=\frac{e^{-x}}{3x}$$，随着 $$x \to 0^-$$，$$f(x) \to -\infty$$；随着 $$x \to -\infty$$，$$f(x) \to 0^-$$。

图像在 $$x > 0$$ 时为正且单调递增，在 $$x < 0$$ 时为负且趋近于 0。

3. 函数 $$y=\frac{2x^2-3x}{e^x}$$ 分析：

- 定义域为全体实数。

- 当 $$x \to -\infty$$，$$y \to +\infty$$；当 $$x \to +\infty$$，$$y \to 0$$。

- 求导得极值点：$$y'=\frac{(4x-3)e^x - (2x^2-3x)e^x}{e^{2x}} = \frac{-2x^2+7x-3}{e^x}$$，令 $$y'=0$$ 解得 $$x=\frac{1}{2}$$ 和 $$x=3$$。

- 在 $$x=\frac{1}{2}$$ 处有极大值，在 $$x=3$$ 处有极小值。

图像先上升后下降，再上升趋近于 0。

4. 不等式 $$\frac{2x}{e^x} - a x - a > 0$$ 需存在唯一正整数解 $$x_0$$。设 $$f(x)=\frac{2x}{e^x}$$，不等式化为 $$f(x) > a(x+1)$$。

- 求 $$f(x)$$ 的导数：$$f'(x)=\frac{2(1-x)}{e^x}$$，在 $$x=1$$ 处取得最大值 $$f(1)=\frac{2}{e}$$。

- 唯一正整数解 $$x_0=1$$ 时，需满足 $$f(1) > 2a$$ 且 $$f(2) \leq 3a$$，即 $$\frac{2}{e} > 2a$$ 且 $$\frac{4}{e^2} \leq 3a$$，解得 $$a \in \left(\frac{4}{3e^2}, \frac{1}{e}\right)$$。

选项 B 符合。

5. 函数 $$f(x)=(1+\cos x)\sin x$$ 在 $$[-\pi, \pi]$$ 上的分析：

- 展开为 $$f(x)=\sin x + \frac{1}{2}\sin 2x$$。

- 奇函数，因为 $$f(-x)=-\sin x - \frac{1}{2}\sin 2x = -f(x)$$，图像关于原点对称。

- 在 $$x=\pm \frac{\pi}{2}$$ 处，$$f(x)=\pm 1$$；在 $$x=0$$ 和 $$x=\pm \pi$$ 处，$$f(x)=0$$。

图像为奇函数，且在 $$x=\pm \frac{\pi}{2}$$ 处有极值。

6. 函数 $$y=(x^5-x^3) \cdot 3^{|x|}$$ 分析：

- 定义域为全体实数。

- 奇函数，因为 $$y(-x)=(-x^5+x^3) \cdot 3^{|x|} = -y(x)$$，图像关于原点对称。

- 当 $$x \to \pm \infty$$，$$y \to \pm \infty$$。

- 零点在 $$x=0$$ 和 $$x=\pm 1$$。

图像在 $$x > 1$$ 时快速增长，在 $$0 < x < 1$$ 时为负。

7. 函数 $$f(x)=\frac{e^{|x|}}{x^3} + \sin x$$ 分析：

- 定义域 $$x \neq 0$$。

- 当 $$x \to 0^+$$，$$f(x) \to +\infty$$；当 $$x \to 0^-$$，$$f(x) \to -\infty$$。

- 当 $$x \to +\infty$$，$$f(x) \to +\infty$$；当 $$x \to -\infty$$，$$f(x) \to -\infty$$。

- $$\sin x$$ 部分为振荡项，但主导项为 $$\frac{e^{|x|}}{x^3}$$。

图像在 $$x > 0$$ 时为正且快速增长，在 $$x < 0$$ 时为负且快速下降。

8. 函数 $$y=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)}{x+\frac{1}{x}}$$ 分析：

- 定义域 $$x \neq 0$$。

- 分母 $$x+\frac{1}{x}$$ 在 $$x > 0$$ 时最小值为 2（当 $$x=1$$），在 $$x < 0$$ 时最大值为 -2（当 $$x=-1$$）。

- 分子 $$\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$$ 在 $$x=\pm 1$$ 时为 0，在 $$x=0$$ 时为 1。

- 当 $$x \to 0$$，$$y \to 0$$。

图像在 $$x=1$$ 和 $$x=-1$$ 处有零点，且在 $$x \to \pm \infty$$ 时趋近于 0。

9. 函数 $$f(x)=\frac{6 \cos x}{2x - \sin x}$$ 分析：

- 定义域为 $$2x \neq \sin x$$。

- 当 $$x \to 0$$，$$f(x) \to 3$$（利用泰勒展开）。

- 当 $$x \to \pm \infty$$，分母主导为 $$2x$$，$$f(x) \to 0$$。

- 由于 $$\sin x$$ 有界，分母 $$2x - \sin x$$ 在 $$x$$ 较大时近似 $$2x$$。

图像在 $$x=0$$ 附近趋近于 3，在 $$x \to \pm \infty$$ 时趋近于 0。

10. 函数 $$y=a^{|x|}$$ 的值域为 $$\{y \mid 0 < y \leq 1\}$$，说明 $$0 < a < 1$$。因此，函数 $$y=\log_a |x|$$ 分析：

- 定义域 $$x \neq 0$$。

- 当 $$x \to \pm \infty$$，$$y \to -\infty$$；当 $$x \to 0^\pm$$，$$y \to +\infty$$。

- 单调递减，因为 $$a \in (0,1)$$。

图像在 $$x=0$$ 处有垂直渐近线，且向两侧递减。