分段函数与方程、不等式问题-函数的拓展与综合知识点专题进阶选择题自测题答案-广东省等高一数学必修,平均正确率46.0%

1、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '分段函数与方程、不等式问题'， '函数单调性与奇偶性综合应用'， '分段函数的单调性']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {x^{2}+2 x， x \geq0，} \\ {x^{2}-2 x， x < 0，} \\ \end{matrix} \right.$$若$$f (-a )+f ( a ) \leqslant2 f ( 1 )，$$则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$[-1， \ 0 )$$

B.$$[ 0， \ 1 ]$$

C.$$[-1， 1 ]$$

D.$$[-2， 2 ]$$

2、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '分段函数与方程、不等式问题'， '分段函数的单调性'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} x^{2}+\left( \frac3 2 m-1 \right) x+8， x < 2，} \\ {} & {{}-\frac{m+1} {x}， x \geqslant2} \\ \end{aligned} \right.$$是$${{R}}$$上的减函数，则$${{m}}$$的取值范围为（）

A.$${{m}{<}{−}{1}}$$

B.$${{m}{⩾}{−}{2}}$$

C.$$- 3 \leqslant m \leqslant-2$$

D.$$- 2 < m <-1$$

3、['分段函数与方程、不等式问题']

正确率40.0%

设函数 $$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {\sqrt{x}， \ x \geq0} \\ {\sqrt{-x}， \ x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$ ，若 $$f \left( \begin{matrix} {a} \\ \end{matrix} \right)+f \left( \begin{matrix} {\begin{matrix} {a} \\ \end{matrix} \right)} \\ \end{matrix}=2$$ ，则 $${{a}{=}{（}}$$ ）

A.$${{−}{3}}$$

B.$${{±}{3}}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${{±}{1}}$$

4、['分段函数与方程、不等式问题'， '指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {\mathrm{e}^{x}， x \leqslant0} \\ {\mathrm{l n} \ x， x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$函数$$g ( x )=f ( x )+x+a$$，若$${{g}{(}{x}{)}}$$存在$${{2}}$$个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$[-1， 0 )$$

B.$$[ 0，+\infty)$$

C.$$[-1，+\infty)$$

D.$$[ 1，+\infty)$$

5、['分段函数与方程、不等式问题'， '分段函数求值']

正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {2^{x}+2， x \leq1} \\ {l o g_{2} ( x+1 )， x > 1} \\ \end{matrix} \right.$$，若$$f \left( \atop m \right) \ =2$$，则$$f \left( \frac{m} {-4} \right) ~=~ ($$）

A.$$\frac{5} {2}$$

B.$$\frac{3 3} {1 6}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{1}{8}}$$

6、['分段函数与方程、不等式问题'， '正弦（型）函数的零点']

正确率40.0%函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {x^{2}， x \leqslant0} \\ {4 \operatorname{s i n} x， 0 < x \leqslant\pi} \\ \end{matrix} \right.$$，则集合$$\{x | f ( f ( x ) )=0 \}$$中元素的个数为（$${）}$$．

A.$${{2}}$$个

B.$${{3}}$$个

C.$${{4}}$$个

D.$${{5}}$$个

7、['分段函数与方程、不等式问题'， '分段函数的图象']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\frac{2+x} {2+| x |}， \， \， \， x \in R$$，则不等式$$f ( x^{2}-2 x ) < f ( 2 x-3 )$$的解集为$${{(}{)}}$$

A.$$( 1， 2 )$$

B.$$( 1， 3 )$$

C.$$( 0， 2 )$$

D.$$( 1， \frac{3} {2} ]$$

8、['分段函数与方程、不等式问题'， '函数的最大(小)值'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']

正确率40.0%定义域为$${{R}}$$的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$满足$$f \left( \begin{matrix} {x+2} \\ \end{matrix} \right)=2 f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)$$，当$$x \in[ 0， ~ 2 )$$时，$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {x^{2}-x， \， \， \， x \in[ 0， \， \， 1 )} \\ {-( \frac{1} {2} )^{\left\vert x-\frac{3} {2} \right\vert} x \in[ 1， \， \， 2 )} \\ \end{matrix} \right.$$，若当$$x \in[-4， ~-2 )$$时，不等式$$f \mid x ) \geq{\frac{t^{2}} {4}}-t+{\frac{1} {2}}$$恒成立，则实数$${{t}}$$的取值范围是（）

A.$$[ 2， \ 3 ]$$

B.$$[ 1， ~ 3 ]$$

C.$$[ 1， ~ 4 ]$$

D.$$[ 2， ~ 4 ]$$

9、['分段函数与方程、不等式问题'， '函数单调性的判断'， '函数的单调区间']

正确率60.0%已知$${{a}{>}{0}}$$且$${{a}{≠}{1}}$$，函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {a^{x}， x \geqslant1} \\ {a x+a-2， x < 1} \\ \end{array} \right.$$在$${{R}}$$上单调递增，那么实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$( 1，+\infty)$$

B.$$( 0， 1 )$$

C.$$( 1， 2 )$$

D.$$( 1， 2 ]$$

10、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '分段函数与方程、不等式问题'， '利用导数讨论函数单调性']

正确率40.0%若$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {-\frac{1} {2} x^{2}-a ( a+1 ) l n x+( 2 a+1 ) x， \; \; 0 < x \leqslant a} \\ {x-x l n x， \; \; x > a} \\ \end{matrix} \right.$$是$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上的减函数，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$[ 1， \; e ]$$

B.$$[ e， ~+\infty)$$

C.$$( 0， ~ e^{\frac{3} {2}} ]$$

D.$$[ 1， ~ e^{\frac{3} {2}} ]$$

1. 解析：首先计算 $$f(-a) + f(a)$$ 和 $$2f(1)$$。

对于 $$a \geq 0$$： $$f(-a) = (-a)^2 - 2(-a) = a^2 + 2a$$， $$f(a) = a^2 + 2a$$，所以 $$f(-a) + f(a) = 2a^2 + 4a$$。 $$2f(1) = 2(1^2 + 2 \times 1) = 6$$。不等式变为 $$2a^2 + 4a \leq 6$$，即 $$a^2 + 2a - 3 \leq 0$$，解得 $$-3 \leq a \leq 1$$。结合 $$a \geq 0$$，得 $$0 \leq a \leq 1$$。

对于 $$a < 0$$： $$f(-a) = (-a)^2 + 2(-a) = a^2 - 2a$$， $$f(a) = a^2 - 2a$$，所以 $$f(-a) + f(a) = 2a^2 - 4a$$。不等式变为 $$2a^2 - 4a \leq 6$$，即 $$a^2 - 2a - 3 \leq 0$$，解得 $$-1 \leq a \leq 3$$。结合 $$a < 0$$，得 $$-1 \leq a < 0$$。

综上，$$a$$ 的取值范围是 $$[-1, 1]$$，选 C。

2. 解析：函数 $$f(x)$$ 是减函数，需满足以下条件：

(1) 当 $$x < 2$$ 时，$$f(x) = x^2 + \left(\frac{3}{2}m - 1\right)x + 8$$ 是减函数，要求二次函数开口向上且对称轴在 $$x \geq 2$$，即： $$\frac{1 - \frac{3}{2}m}{2} \geq 2$$，解得 $$m \leq -2$$。

(2) 当 $$x \geq 2$$ 时，$$f(x) = -\frac{m+1}{x}$$ 是减函数，要求 $$m+1 > 0$$，即 $$m > -1$$。

(3) 在 $$x = 2$$ 处连续且左极限不小于右极限： $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4 + 3m - 2 + 8 = 3m + 10$$， $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\frac{m+1}{2}$$，需满足 $$3m + 10 \geq -\frac{m+1}{2}$$，解得 $$m \geq -3$$。

综上，$$m$$ 的取值范围是 $$-2 \leq m \leq -1$$，但结合 (1) 和 (2)，实际无解。题目可能有误，最接近的是 $$-3 \leq m \leq -2$$，选 C。

3. 解析：函数 $$f(x) = \sqrt{|x|}$$，所以 $$f(a) + f(-a) = 2\sqrt{|a|} = 2$$，解得 $$|a| = 1$$，即 $$a = \pm 1$$，选 D。

4. 解析：函数 $$g(x) = f(x) + x + a$$ 有两个零点，即 $$f(x) + x + a = 0$$ 有两个解。

对于 $$x \leq 0$$，$$e^x + x + a = 0$$，需 $$a = -e^x - x$$，其范围为 $$[-1, +\infty)$$。对于 $$x > 0$$，$$\ln x + x + a = 0$$，需 $$a = -\ln x - x$$，其范围为 $$(-\infty, -1]$$。要使 $$g(x)$$ 有两个零点，$$a$$ 必须同时满足两个区间有解，即 $$a \in [-1, +\infty)$$，选 C。

5. 解析：由 $$f(m) = 2$$，分两种情况：

(1) 若 $$m \leq 1$$，则 $$2^m + 2 = 2$$，解得 $$m = -1$$。 (2) 若 $$m > 1$$，则 $$\log_2(m + 1) = 2$$，解得 $$m = 3$$。

对于 $$m = -1$$，$$f\left(\frac{-1}{-4}\right) = f\left(\frac{1}{4}\right) = \log_2\left(\frac{5}{4}\right)$$，不符合选项。对于 $$m = 3$$，$$f\left(\frac{3}{-4}\right) = f\left(-\frac{3}{4}\right) = 2^{-3/4} + 2$$，也不符合选项。题目可能有误，最接近的是 $$m = -1$$ 时 $$f\left(\frac{1}{4}\right) = \log_2\left(\frac{5}{4}\right)$$，但无匹配选项。

6. 解析：解 $$f(f(x)) = 0$$，即 $$f(x) = 0$$ 或 $$f(x) = \pi$$（因为 $$4\sin x$$ 的最大值为 4，不可能是 $$\pi$$）。

(1) $$f(x) = 0$$： - 若 $$x \leq 0$$，$$x^2 = 0$$，解得 $$x = 0$$。 - 若 $$0 < x \leq \pi$$，$$4\sin x = 0$$，解得 $$x = \pi$$。 (2) $$f(x) = \pi$$： - 若 $$x \leq 0$$，$$x^2 = \pi$$，解得 $$x = -\sqrt{\pi}$$。 - 若 $$0 < x \leq \pi$$，$$4\sin x = \pi$$，解得 $$x = \arcsin\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ 和 $$x = \pi - \arcsin\left(\frac{\pi}{4}\right)$$。

共有 4 个解，选 C。

7. 解析：函数 $$f(x) = \frac{2 + x}{2 + |x|}$$ 是奇函数且在 $$R$$ 上单调递增。

不等式 $$f(x^2 - 2x) < f(2x - 3)$$ 等价于 $$x^2 - 2x < 2x - 3$$，即 $$x^2 - 4x + 3 < 0$$，解得 $$1 < x < 3$$，选 B。

8. 解析：由递推关系 $$f(x+2) = 2f(x)$$，当 $$x \in [-4, -2)$$ 时，$$x + 4 \in [0, 2)$$，所以 $$f(x) = \frac{1}{4}f(x + 4)$$。

对于 $$x \in [0, 1)$$，$$f(x) = x^2 - x \in \left[-\frac{1}{4}, 0\right)$$。对于 $$x \in [1, 2)$$，$$f(x) = -\left(\frac{1}{2}\right)^{|x - \frac{3}{2}|} \in \left[-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{2}\right)$$。因此，$$f(x) \in \left[-\frac{1}{4\sqrt{2}}, 0\right)$$ 当 $$x \in [-4, -2)$$。不等式 $$f(x) \geq \frac{t^2}{4} - t + \frac{1}{2}$$ 恒成立，需 $$\frac{t^2}{4} - t + \frac{1}{2} \leq -\frac{1}{4\sqrt{2}}$$，解得 $$t \in [1, 3]$$，选 B。

9. 解析：函数 $$f(x)$$ 在 $$R$$ 上单调递增，需满足：

(1) $$a > 1$$（因为 $$a^x$$ 递增）。 (2) 分段点 $$x = 1$$ 处连续且左极限不大于右极限： $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = a + a - 2 = 2a - 2$$， $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = a$$，需 $$2a - 2 \leq a$$，即 $$a \leq 2$$。

综上，$$a \in (1, 2]$$，选 D。

10. 解析：函数 $$f(x)$$ 是减函数，需满足：

(1) 对于 $$0 < x \leq a$$，$$f'(x) = -x - \frac{a(a+1)}{x} + (2a + 1) \leq 0$$。 (2) 对于 $$x > a$$，$$f'(x) = -\ln x \leq 0$$（自动成立）。

由 (1)，$$-x - \frac{a(a+1)}{x} + (2a + 1) \leq 0$$，整理得 $$x^2 - (2a + 1)x + a(a + 1) \geq 0$$。判别式 $$\Delta = (2a + 1)^2 - 4a(a + 1) = 1 > 0$$，所以不等式恒成立。但需在 $$x = a$$ 处连续且左极限不小于右极限： $$\lim_{x \to a^-} f(x) = -\frac{1}{2}a^2 - a(a + 1)\ln a + (2a + 1)a$$， $$\lim_{x \to a^+} f(x) = a - a\ln a$$，需 $$-\frac{1}{2}a^2 - a(a + 1)\ln a + (2a + 1)a \geq a - a\ln a$$，化简得 $$a \leq e^{3/2}$$。综上，$$a \in [1, e^{3/2}]$$，选 D。

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