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正确率40.0%若存在$$x \in\textsubscript{(}-1， \ 1 ]$$，使得不等式$$e^{2 x}-a x < a$$成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
B
A.$$(-\infty， ~ \frac{2} {e} )$$
B.$$( \frac{2} {e}， \ \ +\infty)$$
C.$$(-\infty， ~ \frac{1} {e} )$$
D.$$( \frac{1} {e}， \enspace+\infty)$$
2、['函数中的存在性问题'， '直线的一般式方程及应用']正确率40.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，$${{O}}$$是坐标原点，设函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=k \left( \begin{matrix} {x-2} \\ \end{matrix} \right) ~+3$$的图象为直线$${{l}}$$，且$${{l}}$$与$${{x}}$$轴$${、{y}}$$轴分别交于$${{A}{、}{B}}$$两点，给出下列四个命题：
$${①}$$存在正实数$${{m}}$$，使$${{△}{A}{O}{B}}$$的面积为$${{m}}$$的直线$${{l}}$$仅有一条；
$${②}$$存在正实数$${{m}}$$，使$${{△}{A}{O}{B}}$$的面积为$${{m}}$$的直线$${{l}}$$仅有两条；
$${③}$$存在正实数$${{m}}$$，使$${{△}{A}{O}{B}}$$的面积为$${{m}}$$的直线$${{l}}$$仅有三条；
$${④}$$存在正实数$${{m}}$$，使$${{△}{A}{O}{B}}$$的面积为$${{m}}$$的直线$${{l}}$$仅有四条．
其中所有真命题的序号是（）
D
A.$${①{②}{③}}$$
B.$${③{④}}$$
C.$${②{④}}$$
D.$${②{③}{④}}$$
3、['分段函数与方程、不等式问题'， '函数中的存在性问题'， '函数中的恒成立问题'， '分段函数的单调性']正确率19.999999999999996%设$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {-x^{2}，-1 \leq x < 0} \\ {l o g_{2} ( x+1 )， 0 \leq x \leq3} \\ \end{matrix} \right.， \ g \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=a x+1$$，若对任意的$$x_{1} \in[-1， ~ 3 ]$$，存在$$x_{2} \in[-1， ~ 1 ]$$，使得$$g ~ ( \boldsymbol{x}_{2} ) ~=f ~ ( \boldsymbol{x}_{1} )$$，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
D
A.$$[-1， ~ 0 ) ~ \cup~ ( 0， ~ 1 ]$$
B.$$( \mathbf{\alpha}-\infty， \mathbf{\alpha}-1 \big] \cup[ 1， \mathbf{\alpha}+\infty)$$
C.$$[-2， ~ 0 ) ~ \cup~ ( 0， ~ 2 ]$$
D.$$( ~-\infty， ~-2 ] \cup[ 2， ~+\infty)$$
4、['函数中的存在性问题'， '分段函数模型的应用'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} | l o g_{3} x |， 0 < x < 3} \\ {} & {{}-\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {3} x )， 3 \leqslant x \leqslant9} \\ \end{aligned} \right.$$，若存在实数$$x_{1}， ~ x_{2}， ~ x_{3}， ~ x_{4}$$，当$$x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$$时满足$$f ( x_{1} )=f ( x_{2} )=f ( x_{3} )=f ( x_{4} )$$，则$$x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$$( 7， \frac{2 9} {4} )$$
B.$$( 2 1， \frac{1 3 5} {4} )$$
C.$$[ 2 7， 3 0 )$$
D.$$( 2 7， \frac{1 3 5} {4} )$$
5、['函数中的存在性问题'， '指数型复合函数的应用'， '分段函数求值'， '一般幂函数的图象和性质']正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {e^{x+1}， x < a} \\ {-x^{3}， x \geq a} \\ \end{matrix} \right.$$，若对任意$$x_{1} \in(-\infty， a )$$，都存在$$x_{2} \in( a，+\infty)$$，使得$$f \left( x_{2} \right)=f \left( x_{1} \right)$$，则满足题意的一个$${{a}}$$的值是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{0}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
6、['函数中的存在性问题'， '指数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的值域']正确率40.0%设函数$$f \left( x \right)=-4^{x}+2^{x+1}-1$$，$$g \left( x \right)=\mathrm{l g} \， \left( a x^{2}-4 x+1 \right)$$，若对任意$${{x}_{1}{∈}{R}}$$，都存在$${{x}_{2}{∈}{R}}$$，使$$f \left( x_{1} \right)=g \left( x_{2} \right)$$，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
B
A.$$( 0， 4 ]$$
B.$$(-\infty， 4 ]$$
C.$$(-4， 0 ]$$
D.$$[ 4，+\infty)$$
7、['函数中的存在性问题'， '导数与最值'， '导数与单调性'， '导数中的函数构造问题']正确率40.0%设函数$$f \left( x \right)=x \left( \operatorname{l n} x \right)^{3}-\left( 3 x+1 \right) \operatorname{l n} x+\left( 3-a \right) x$$，若不等式$${{f}{{(}{x}{)}}{⩽}{0}}$$有解，则实数$${{a}}$$的最小值为（$${）}$$．
D
A.$$\frac{2} {e}-1$$
B.$$2-\frac{2} {e}$$
C.$${{1}{+}{2}{{e}^{2}}}$$
D.$$1-\frac{1} {e}$$
8、['函数中的存在性问题'， '导数与极值'， '利用导数求参数的取值范围']正确率40.0%设函数$$f \left( x \right)=a x-2 a+e^{x} \left( 1-x \right)$$，其中$${{a}{<}{1}}$$，若存在唯一整数$${{x}_{0}}$$，使得$${{f}{{(}{{x}_{0}}{)}}{>}{0}}$$，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$\left( \frac{2} {3 e}， 1 \right)$$
B.$$[ \frac{2} {3 e}， \frac{1} {2} )$$
C.$$\left(-\frac{2} {3 e}， 1 \right)$$
D.$$[-\frac{2} {3 e}， \frac{1} {2} )$$
9、['对数型复合函数的应用'， '函数中的存在性问题'， '对数（型）函数的定义域'， '对数（型）函数的值域']正确率0.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{2} x+1$$的定义域为$$[ 1， \ 2 ]， \ g ( x )=f^{2} ( x )+f ( x^{2} )+m，$$若存在实数$$a， \， \， b， \， \， c \in\{y | y=g ( x ) \}$$，使得$$a+b < c$$，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
D
A.$$m <-\frac{7} {4}$$
B.$${{m}{<}{2}}$$
C.$${{m}{<}{3}}$$
D.$$m < \frac{1} {4}$$
10、['函数中的存在性问题'， '对数（型）函数的值域']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{2} x， \， \， \， g ( x )=4 x+a$$，若存在$$x_{1}， x_{2} \in\left[ \frac{1} {2}， 2 \right]$$，使得$$f ( x_{1} )=g ( x_{2} )$$，则$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$(-9，-1 )$$
B.$$(-\infty，-9 ] \cup[-1，+\infty)$$
C.$$[-9，-1 ]$$
D.$$(-\infty，-9 ) \cup(-1，+\infty)$$
1. 题目要求在区间$$x \in (-1, 1]$$内存在$$x$$使得不等式$$e^{2x} - a x < a$$成立。我们可以将不等式变形为$$e^{2x} < a(x + 1)$$。设$$f(x) = \frac{e^{2x}}{x + 1}$$，则问题转化为求$$a$$的取值范围使得$$f(x)$$在区间内有解。
计算$$f(x)$$在关键点的值：$$f(-1^+) = +\infty$$，$$f(1) = \frac{e^2}{2}$$，$$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{e^{-1}}{0.5} = \frac{2}{e}$$。因此，$$f(x)$$的最小值为$$\frac{2}{e}$$，故$$a$$的取值范围为$$a > \frac{2}{e}$$，即选项B。
2. 直线$$l$$的方程为$$y = k(x - 2) + 3$$，与坐标轴的交点为$$A\left(2 - \frac{3}{k}, 0\right)$$和$$B(0, -2k + 3)$$。三角形面积$$m = \frac{1}{2} \left| \left(2 - \frac{3}{k}\right)(-2k + 3) \right|$$。
设$$t = k$$，则方程化为$$4t^2 - (2m + 12)t + 9 = 0$$。判别式$$\Delta = (2m + 12)^2 - 144$$决定了方程的解的个数。分析可知，对于不同的$$m$$，方程可能有1、2、3或4条直线满足条件，因此真命题为②③④，选项D。
3. 函数$$f(x)$$在区间$$[-1, 3]$$的值域为$$[-1, 2]$$，函数$$g(x) = a x + 1$$在区间$$[-1, 1]$$的值域为$$[1 - a, 1 + a]$$（若$$a > 0$$）或$$[1 + a, 1 - a]$$（若$$a < 0$$）。
4. 函数$$f(x)$$在$$(0, 3)$$的图像为$$|\log_3 x|$$，在$$[3, 9]$$的图像为$$-\cos\left(\frac{\pi}{3} x\right)$$。设$$f(x) = c$$，则可能有四个交点$$x_1, x_2, x_3, x_4$$。
5. 函数$$f(x)$$在$$x < a$$时为$$e^{x + 1}$$，在$$x \geq a$$时为$$-x^3$$。为使$$f(x_2) = f(x_1)$$成立，需要$$-x_2^3$$覆盖$$e^{x_1 + 1}$$的最大值$$e^{a + 1}$$。
6. 函数$$f(x) = -4^x + 2^{x + 1} - 1$$的值域为$$(-\infty, 0]$$，函数$$g(x) = \lg(a x^2 - 4 x + 1)$$的值域需要包含$$(-\infty, 0]$$。
7. 函数$$f(x) = x (\ln x)^3 - (3x + 1) \ln x + (3 - a)x$$，不等式$$f(x) \leq 0$$有解，即$$a \geq \inf \left( \frac{x (\ln x)^3 - (3x + 1) \ln x + 3x}{x} \right)$$。
8. 函数$$f(x) = a x - 2a + e^x (1 - x)$$，要求存在唯一整数$$x_0$$使得$$f(x_0) > 0$$。分析$$f(x)$$在整数点的值：
9. 函数$$g(x) = (\log_2 x + 1)^2 + \log_2 x^2 + 1 + m$$，定义域为$$[1, 2]$$。设$$t = \log_2 x$$，则$$t \in [0, 1]$$，$$g(x) = (t + 1)^2 + 2t + 1 + m = t^2 + 4t + 2 + m$$。
10. 函数$$f(x) = \log_2 x$$在$$\left[ \frac{1}{2}, 2 \right]$$的值域为$$[-1, 1]$$，函数$$g(x) = 4x + a$$在相同区间的值域为$$[2 + a, 8 + a]$$。