根据函数零点个数求参数范围-函数的拓展与综合知识点回顾进阶单选题自测题答案-内蒙古自治区等高一数学必修,平均正确率36.0%

1、['函数奇偶性的应用'， '利用导数解决函数零点问题'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率19.999999999999996%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义域为$${{R}}$$的奇函数，且当$${{x}{<}{0}}$$时，函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{x}{{e}^{x}}{+}{1}{，}}$$若函数$${{F}{(}{x}{)}{=}{[}{f}{(}{x}{)}{{]}^{2}}{−}{(}{a}{+}{1}{)}{f}{(}{x}{)}{+}{a}}$$恰有$${{2}}$$个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$$\left(-\infty， 1-\frac{1} {\mathrm{e}} \right)$$

B.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{1}{)}{∪}{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$

C.$$\left(-1， \frac1 {\mathrm{e}}-1 \right) \cup\left( 1-\frac1 {\mathrm{e}}， 1 \right)$$

D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{1}{]}{∪}{[}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$

2、['根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} e^{| x-1 |}， x > 0，} \\ {} & {{}-x^{2}-2 x+1， x \leqslant0} \\ \end{aligned} \right.$$若方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{a}}$$有$${{4}}$$个不相等的实数根，则$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$${{[}{1}{，}{2}{)}}$$

B.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$

C.$${{[}{2}{，}{e}{)}}$$

D.$${{(}{2}{，}{e}{)}}$$

3、['正弦（型）函数的零点'， '正弦（型）函数的周期性'， '两角和与差的正弦公式'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率40.0%函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{s}{i}{n}}{ω}{x}{+}{\sqrt {3}}{{c}{o}{s}}{ω}{x}{+}{1}}$$的最小正周期为$${{π}{，}}$$当$${{x}{∈}{[}{m}{，}{n}{]}}$$时，$${{f}{（}{x}{）}}$$至少有$${{1}{2}}$$个零点，则$${{n}{−}{m}}$$的最小值为（）

A.$${{1}{2}{π}}$$

B.$$\frac{7 \pi} {3}$$

C.$${{6}{π}}$$

D.$$\frac{1 6 \pi} {3}$$

4、['导数的几何意义'， '根据函数零点个数求参数范围'， '直线的斜率']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {l n x， x > 1} \\ {\frac{5} {4}-x^{2}， x \leqslant1} \\ \end{array} \right.$$，存在$${{x}_{l}{，}{{x}_{2}}{，}{…}{，}{{x}_{m}}}$$，满足$$\frac{f ( x_{1} )} {x_{1}}=\frac{f ( x_{2} )} {x_{2}}=\ldots=\frac{f ( x_{n} )} {x_{n}}=m.$$则当$${{n}}$$最大时，实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$( \frac{1} {2 e}， \frac{1} {3} )$$

B.$$( {\frac{1} {2 e}}， {\frac{1} {4}}$$)

C.$$[ \frac{1} {3}， \frac{1} {e} )$$

D.$$[ \frac{1} {4}， \frac{1} {e}$$)

5、['根据函数零点个数求参数范围'， '利用导数解决函数零点问题'， '分段函数的图象']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {\left( x-1 \right)^{3}， \; \; x \geqslant0} \\ {-( x+1 ) e^{x}， x < 0} \\ \end{array} \right.$$，若函数$${{g}{{(}{x}{)}}{=}{f}{{(}{x}{)}}{−}{a}}$$有$${{3}}$$个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$\left( 0 \，， \frac{1} {e^{2}} \right)$$

B.$$\left(-1， \frac{1} {e^{2}} \right)$$

C.$${{(}{−}{{e}^{2}}{，}{−}{1}{)}}$$

D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{1}{)}}$$

6、['分段函数与方程、不等式问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} ( \sqrt{3} )^{x}+1， \; \; 0 \leqslant x < 2} \\ {} & {{} | 8-2 x |， \; \; 2 \leqslant x \leqslant6} \\ \end{aligned} \right.$$，若函数$${{g}{（}{x}{）}{=}{f}{（}{f}{（}{x}{）}{）}{−}{m}}$$有$${{5}}$$个零点，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$${（{−}{2}{，}{4}{）}}$$

B.$${（{1}{，}{4}{）}}$$

C.$${（{2}{，}{4}{）}}$$

D.$${（{−}{1}{，}{4}{]}}$$

7、['根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} | x-3 |-1， x \geqslant0} \\ {} & {{}-x^{2}+2， x < 0} \\ \end{aligned} \right.$$，函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{m}{x}}$$，若函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}{−}{2}{g}{(}{x}{)}}$$恰有三个零点，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$$(-\frac{1} {6}， \frac{1} {2} )$$

B.$$(-\frac{1} {3}， 1 )$$

C.$$(-\frac{1} {6}，+\infty)$$

D.$$(-\infty， \frac{1} {2} )$$

8、['根据函数零点个数求参数范围'， '利用导数解决函数零点问题']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f \left( x \right)=x^{2}-2 x+a \left( \mathrm{e}^{x-1}+\mathrm{e}^{-x+1} \right)$$有唯一零点，则$${{a}}$$的值为（）

A.$$- \frac{1} {2}$$

B.$$\frac{1} {3}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$${{1}}$$

9、['分段函数与方程、不等式问题'， '利用导数讨论函数单调性'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {} & {x^{2}-1， x < 1} \\ {} & {\frac{\operatorname{l n} x} {x}， x \geq1} \\ \end{array} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$$2 \mathbb[ f ( x ) ]^{2}+2 t f ( x )+t-\frac{1} {2}=0$$有$${{5}}$$个不同的实数解，则实数$${{t}}$$的取值范围是（）

A.$$( \frac{1} {2}-\frac{1} {e}， \frac{1} {2} )$$

B.$$( \frac{1} {e}-\frac{1} {2}， \frac{1} {2} )$$

C.$$( \frac{1} {2}-\frac{1} {e}， \frac{3} {2} )$$

D.$$( \frac{1} {e}-\frac{1} {2}， \frac{3} {2} )$$

10、['导数与单调性'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率60.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$满足$$f ( x )=3 f ( \frac{1} {x} )$$，当$${{x}{∈}{[}{1}{，}{4}{]}}$$时，$${{f}{（}{x}{）}{=}{l}{n}{x}}$$，若在区间$$[ \frac{1} {4}， ~ 4 ]$$内，函数$${{g}{（}{x}{）}{=}{f}{（}{x}{）}{−}{a}{x}}$$有三个不同的零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( \frac{l n 4} {4}， \ \frac{2} {e} )$$

B.$$( 0， ~ \frac{1} {2 e} )$$

C.$$( 0， \ \frac{1} {e} )$$

D.$$[ \frac{l n 4} {4}， ~ \frac{1} {e} )$$

1. 解析：

函数 $$f(x)$$ 是奇函数，当 $$x < 0$$ 时，$$f(x) = x e^x + 1$$，因此当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = -f(-x) = -(-x e^{-x} + 1) = x e^{-x} - 1$$。函数 $$F(x) = [f(x)]^2 - (a+1)f(x) + a$$ 可以因式分解为 $$F(x) = (f(x) - 1)(f(x) - a)$$，要求 $$F(x)$$ 恰有 2 个零点，即方程 $$f(x) = 1$$ 或 $$f(x) = a$$ 共有 2 个解。

分析 $$f(x) = 1$$：当 $$x < 0$$ 时，$$x e^x + 1 = 1$$ 解得 $$x = 0$$（舍去，因为 $$x < 0$$）；当 $$x > 0$$ 时，$$x e^{-x} - 1 = 1$$ 解得 $$x e^{-x} = 2$$，无解。因此 $$f(x) = 1$$ 无解。

故 $$f(x) = a$$ 必须有 2 个解。分析 $$f(x) = a$$：

当 $$x < 0$$ 时，$$f(x) = x e^x + 1$$，导数为 $$f'(x) = e^x (1 + x)$$，在 $$x = -1$$ 处取得极小值 $$f(-1) = 1 - \frac{1}{e}$$。

当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = x e^{-x} - 1$$，导数为 $$f'(x) = e^{-x} (1 - x)$$，在 $$x = 1$$ 处取得极大值 $$f(1) = \frac{1}{e} - 1$$。

要求 $$f(x) = a$$ 有 2 个解，需 $$a \in (-\infty, -1) \cup (1 - \frac{1}{e}, 1)$$。但 $$f(x)$$ 是奇函数，对称性要求 $$a$$ 的范围为 $$(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$$。选项 B 符合。

答案：B

2. 解析：

函数 $$f(x)$$ 分为两部分：

1. 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = e^{|x-1|}$$，在 $$x = 1$$ 处取得最小值 $$f(1) = 1$$，当 $$x \to 0^+$$ 时 $$f(x) \to e$$，当 $$x \to +\infty$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$。

2. 当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) = -x^2 - 2x + 1$$，为开口向下的抛物线，顶点在 $$x = -1$$ 处，$$f(-1) = 2$$，当 $$x \to -\infty$$ 时 $$f(x) \to -\infty$$。

方程 $$f(x) = a$$ 有 4 个解，需 $$a \in (1, 2)$$，使得 $$f(x) = a$$ 在 $$x > 0$$ 和 $$x \leq 0$$ 各有两个解。

答案：B

3. 解析：

函数 $$f(x) = \sin \omega x + \sqrt{3} \cos \omega x + 1 = 2 \sin(\omega x + \frac{\pi}{3}) + 1$$，周期为 $$T = \frac{2\pi}{\omega} = \pi$$，故 $$\omega = 2$$。

函数 $$f(x)$$ 的零点满足 $$2 \sin(2x + \frac{\pi}{3}) + 1 = 0$$，即 $$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$$，解得 $$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$$ 或 $$\frac{11\pi}{6} + 2k\pi$$，即 $$x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$$ 或 $$\frac{3\pi}{4} + k\pi$$。

要求至少有 12 个零点，需 $$n - m \geq \frac{16\pi}{3}$$。

答案：D

4. 解析：

函数 $$f(x)$$ 分为两部分：

1. 当 $$x > 1$$ 时，$$f(x) = \ln x$$，$$\frac{f(x)}{x} = \frac{\ln x}{x}$$，导数为 $$\frac{1 - \ln x}{x^2}$$，在 $$x = e$$ 处取得最大值 $$\frac{1}{e}$$。

2. 当 $$x \leq 1$$ 时，$$f(x) = \frac{5}{4} - x^2$$，$$\frac{f(x)}{x} = \frac{\frac{5}{4} - x^2}{x}$$，为奇函数，在 $$x = \frac{\sqrt{5}}{2}$$ 处无定义，但在 $$x \leq 1$$ 时单调递减。

要求 $$\frac{f(x)}{x} = m$$ 有最多解，需 $$m \in \left(\frac{1}{2e}, \frac{1}{4}\right)$$。

答案：B

5. 解析：

函数 $$f(x)$$ 分为两部分：

1. 当 $$x \geq 0$$ 时，$$f(x) = (x-1)^3$$，单调递增，$$f(0) = -1$$，$$f(1) = 0$$，$$f(2) = 1$$。

2. 当 $$x < 0$$ 时，$$f(x) = -(x+1)e^x$$，导数为 $$f'(x) = -e^x (x+2)$$，在 $$x = -2$$ 处取得极小值 $$f(-2) = \frac{1}{e^2}$$。

函数 $$g(x) = f(x) - a$$ 有 3 个零点，需 $$a \in \left(0, \frac{1}{e^2}\right)$$。

答案：A

6. 解析：

函数 $$f(x)$$ 分为两部分：

1. 当 $$0 \leq x < 2$$ 时，$$f(x) = (\sqrt{3})^x + 1$$，单调递增，$$f(0) = 2$$，$$f(2) = 4$$。

2. 当 $$2 \leq x \leq 6$$ 时，$$f(x) = |8 - 2x|$$，在 $$x = 4$$ 处取得最小值 0，$$f(2) = 4$$，$$f(6) = 4$$。

函数 $$g(x) = f(f(x)) - m$$ 有 5 个零点，需 $$m \in (2, 4)$$。

答案：C

7. 解析：

函数 $$f(x)$$ 分为两部分：

1. 当 $$x \geq 0$$ 时，$$f(x) = |x-3| - 1$$，在 $$x = 3$$ 处取得最小值 $$-1$$，$$f(0) = 2$$，$$f(4) = 0$$。

2. 当 $$x < 0$$ 时，$$f(x) = -x^2 + 2$$，在 $$x = 0$$ 处取得最大值 2，$$x \to -\infty$$ 时 $$f(x) \to -\infty$$。

函数 $$y = f(x) - 2mx$$ 有三个零点，需 $$m \in \left(-\frac{1}{6}, \frac{1}{2}\right)$$。

答案：A

8. 解析：