抽象函数的应用-函数的拓展与综合知识点教师选题进阶单选题自测题答案-宁夏回族自治区等高一数学必修,平均正确率42.00000000000001%

1、['抽象函数的应用'， '导数的其他应用']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$及其导函数$${{f}^{′}{(}{x}{)}}$$的定义域均为$${{R}{，}}$$且$${{f}{(}{x}{+}{1}{)}}$$是奇函数，记$${{g}{(}{x}{)}{=}{{f}^{′}}{(}{x}{)}{，}}$$若$${{g}{(}{x}{)}}$$是奇函数，则$${{g}{(}{{1}{0}}{)}{=}}$$（）

A.$${{2}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${{−}{2}}$$

2、['抽象函数的应用']

正确率0.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$${{R}{，}}$$值域为$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}{，}}$$且$$f ( x-y ) f ( x+y )=[ f ( x ) ]^{2}， \， \， \， f \left( \frac{1} {2} \right)=2.$$函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{f}{(}{x}{)}{+}{f}{(}{−}{x}{)}}$$的最小值为$${{2}{，}}$$$$\sum_{k=1}^{6} f \left( \frac{k} {2} \right)=$$（）

A.$${{1}{2}}$$

B.$${{2}{4}}$$

C.$${{4}{2}}$$

D.$${{1}{2}{6}}$$

3、['抽象函数的应用']

正确率80.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$${{f}{(}{2}{−}{x}{)}{+}{f}{(}{x}{)}{=}{0}}$$，$${{f}{(}{1}{−}{x}{)}{−}{f}{(}{x}{)}{=}{0}}$$，则下列选项不一定正确的是$${{(}{)}}$$

A.$${{f}{(}{0}{)}{=}{0}}$$

B.$${{f}{(}{1}{)}{=}{0}}$$

C.$$f ( \frac{1} {2} )=0$$

D.$${{f}{(}{{2}{0}{2}{4}}{)}{=}{0}}$$

4、['抽象函数的应用'， '函数奇、偶性的定义'， '函数的周期性']

正确率40.0%$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{R}}$$上满足：$${{f}{(}{2}{−}{x}{)}{=}{f}{(}{2}{+}{x}{)}{，}{f}{(}{x}{−}{6}{)}{=}{f}{(}{−}{x}{)}}$$，且在$${{[}{0}{，}{5}{]}}$$上，只有$${{f}{(}{1}{)}{=}{f}{(}{3}{)}{=}{0}}$$则$${{f}{(}{x}{)}{(}}$$)

A.是周期函数且为奇函数

B.是周期函数且为非奇非偶的函数

C.不是周期函数且为非奇非偶函数

D.是周期函数且为偶函数

5、['抽象函数的应用'， '函数奇、偶性的定义'， '单调性的定义与证明'， '绝对值不等式的解法'， '函数单调性与奇偶性综合应用']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$${{R}}$$，对于任意的$${{x}{∈}{R}}$$，都满足$${{f}{(}{−}{x}{)}{=}{f}{(}{x}{)}}$$，且对于任意的$${{a}{，}{b}{∈}{{(}{−}{∞}{，}{0}{]}}}$$，当$${{a}{≠}{b}}$$时，都有$$\frac{f ( a )-f ( b )} {a-b} < 0，$$若$${{f}{(}{−}{2}{)}{<}{f}{(}{{l}{g}}{x}{)}}$$，则实数$${{x}}$$的取值范围是（）

A.$$(-\infty， \frac{1} {1 0 0} )$$

B.$$(-\infty， \frac{1} {1 0 0} ) \cup( 1 0 0，+\infty)$$

C.$$( {\frac{1} {1 0 0}}， 1 0 0 )$$

D.$$( 0， \frac{1} {1 0 0} ) \cup( 1 0 0，+\infty)$$

6、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的证明'， '函数的最大(小)值'， '抽象函数的应用']

正确率40.0%若$${{∀}{x}{，}{y}{∈}{R}}$$，有$${{f}{{(}{x}{+}{y}{)}}{=}{f}{{(}{x}{)}}{+}{f}{{(}{y}{)}}{−}{3}}$$，则函数$$g \left( x \right)=\frac{2 x} {x^{2}+1}+f \left( x \right)$$在$${{[}{−}{{2}{0}{1}{9}{，}{2}{0}{1}}{9}{]}}$$上的最大值与最小值的和为$${{(}{)}}$$

A.$${{4}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{9}}$$

D.$${{1}{2}}$$

7、['函数奇偶性的应用'， '利用函数单调性解不等式'， '抽象函数的应用']

正确率60.0%函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{(}{−}{∞}{，}{+}{∞}{)}}$$单调递增，且为奇函数．已知$${{f}{(}{1}{)}{=}{2}{，}{f}{(}{2}{)}{=}{3}}$$，则满足$${{−}{3}{<}{f}{(}{x}{−}{3}{)}{<}{2}}$$的$${{x}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{1}{，}{4}{)}}$$

B.$${{(}{0}{，}{5}{)}}$$

C.$${{(}{1}{，}{5}{)}}$$

D.$${{(}{0}{，}{4}{)}}$$

8、['抽象函数的应用'， '函数单调性与奇偶性综合应用'， '利用函数单调性比较大小']

正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{−}{1}{）}}$$是偶函数，对于任意的$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{∈}{（}{−}{1}{，}{+}{∞}{）}}$$都有$${{[}{f}{（}{{x}_{2}}{）}{−}{f}{（}{{x}_{1}}{）}{]}{（}{{x}_{2}}{−}{{x}_{1}}{）}{<}{0}}$$成立，设$$a=f (-\frac{3} {2} )， \， \， b=f ( 0 ) \， \， \，， \， \， \， c=f ( 1 )$$．则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$的大小关系是（）

A.$${{b}{<}{a}{<}{c}}$$

B.$${{a}{<}{b}{<}{c}}$$

C.$${{c}{<}{b}{<}{a}}$$

D.$${{b}{<}{c}{<}{a}}$$

9、['抽象函数的应用'， '函数求值']

正确率40.0%已知$${{f}{（}{x}{）}{=}{a}{{s}{i}{n}}{x}{+}{b}{^{3}\sqrt {x}}{+}{4}}$$，若$${{f}{（}{l}{g}{3}{）}{=}{3}}$$，则$$f ~ ( \l g \frac{1} {3} ) ~=~ ($$）

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$$- \frac{1} {3}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{8}}$$

10、['抽象函数的应用']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足：$${{f}{(}{x}{+}{y}{)}{=}{f}{(}{x}{)}{⋅}{f}{(}{y}{)}}$$并且$${{f}{(}{1}{)}{=}{1}}$$，那么：$$\frac{( f ( 1 ) )^{2}} {f ( 1 )}+\frac{( f ( 2 ) )^{2}} {f ( 3 )}+\frac{( f ( 3 ) )^{2}} {f ( 5 )}+\ldots+\frac{( f ( 1 0 1 0 ) )^{2}} {f ( 2 0 1 9 )}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$${{2}{0}{1}{9}}$$

B.$${{1}{0}{1}{0}}$$

C.$${{4}{0}{3}{8}}$$

D.$${{3}{0}{3}{0}}$$

1. 解析：

由题意，$$f(x+1)$$是奇函数，故$$f(-x+1)=-f(x+1)$$。对$$x$$求导得$$-f'(-x+1)=-f'(x+1)$$，即$$f'(-x+1)=f'(x+1)$$，说明$$f'(x)$$关于$$x=1$$对称。又$$g(x)=f'(x)$$是奇函数，故$$f'(-x)=-f'(x)$$。结合对称性，$$f'(x)$$既是奇函数又关于$$x=1$$对称，因此$$f'(x)$$是周期为4的函数，且$$f'(2+x)=-f'(-x)=f'(x)$$。由$$f'(0)=0$$和对称性，$$f'(10)=f'(2)=-f'(0)=0$$。故选B。

2. 解析：

由函数方程$$f(x-y)f(x+y)=f(x)^2$$，令$$y=x$$得$$f(0)f(2x)=f(x)^2$$。因值域为$$(0,+\infty)$$，设$$f(x)=e^{kx^2}$$，代入得$$k=\ln 2$$，故$$f(x)=2^{x^2}$$。验证$$g(x)=f(x)+f(-x)=2^{x^2}+2^{x^2}=2^{x^2+1}$$的最小值为$$2$$（当$$x=0$$时）。计算$$\sum_{k=1}^6 f\left(\frac{k}{2}\right)=\sum_{k=1}^6 2^{(k/2)^2}=2^{1/4}+2^1+2^{9/4}+2^4+2^{25/4}+2^9$$，化简后结果为126。故选D。

3. 解析：

由$$f(2-x)+f(x)=0$$和$$f(1-x)-f(x)=0$$，联立得$$f(2-x)=-f(x)$$和$$f(1-x)=f(x)$$。将$$x$$替换为$$1-x$$得$$f(1+x)=f(1-x)$$，故$$f(x)$$关于$$x=1$$对称。又由$$f(2-x)=-f(x)$$，令$$x=1$$得$$f(1)=-f(1)$$，即$$f(1)=0$$；令$$x=0$$得$$f(2)=-f(0)$$；令$$x=1/2$$得$$f(3/2)=-f(1/2)$$。由对称性，$$f(1/2)=f(3/2)$$，故$$f(1/2)=0$$。进一步推导可得$$f(x)$$周期为4，且$$f(2024)=f(0)$$，但题目未给出$$f(0)$$的值，因此D不一定正确。故选D。

4. 解析：

由$$f(2-x)=f(2+x)$$知$$f(x)$$关于$$x=2$$对称；由$$f(x-6)=f(-x)$$知$$f(x)$$关于$$x=-3$$对称。联立得$$f(x)$$周期为$$T=2|2-(-3)|=10$$。在$$[0,5]$$上仅$$f(1)=f(3)=0$$，说明$$f(x)$$不关于原点对称（否则$$f(-1)=0$$），也不关于$$y$$轴对称（否则$$f(5)=f(-1)$$需为零）。因此$$f(x)$$是周期函数且为非奇非偶函数。故选B。

5. 解析：

由$$f(-x)=f(x)$$知$$f(x)$$为偶函数。在$$(-\infty,0]$$上，$$f(x)$$单调递减，故在$$(0,+\infty)$$上单调递增。由$$f(-2)2$$，即$$\lg x>2$$或$$\lg x<-2$$，解得$$x>100$$或$$0

6. 解析：

由函数方程$$f(x+y)=f(x)+f(y)-3$$，令$$g(x)=f(x)-3$$，则$$g(x+y)=g(x)+g(y)$$，故$$g(x)$$为线性函数$$g(x)=kx$$。因此$$f(x)=kx+3$$。代入原式得$$k(x+y)+3=kx+ky+3$$恒成立。于是$$g(x)=\frac{2x}{x^2+1}+kx+3$$。由于$$\frac{2x}{x^2+1}$$在$$[-2019,2019]$$上为奇函数，其最大值与最小值互为相反数；$$kx$$为奇函数，其最值也互为相反数；常数项不影响和。因此最大值与最小值的和为$$6$$。故选B。

7. 解析：

由$$f(x)$$为奇函数且单调递增，$$f(1)=2$$，$$f(2)=3$$，得$$f(-1)=-2$$，$$f(-2)=-3$$。不等式$$-3

8. 解析：

由$$f(x-1)$$为偶函数，得$$f(x)$$关于$$x=-1$$对称。在$$(-1,+\infty)$$上$$f(x)$$单调递减，故在$$(-\infty,-1)$$上单调递增。比较$$a=f(-3/2)$$，$$b=f(0)$$，$$c=f(1)$$：由对称性$$f(-3/2)=f(-1/2)$$，而$$-1/2<0<1$$，故$$f(-1/2)>f(0)>f(1)$$，即$$a>b>c$$。故选C。

9. 解析：

设$$h(x)=f(x)-4=a\sin x+b\sqrt[3]{x}$$，则$$h(x)$$为奇函数。由$$f(\lg 3)=3$$得$$h(\lg 3)=-1$$，故$$h(\lg \frac{1}{3})=-h(\lg 3)=1$$，因此$$f(\lg \frac{1}{3})=h(\lg \frac{1}{3})+4=5$$。故选C。

10. 解析：

由$$f(x+y)=f(x)f(y)$$知$$f(x)$$为指数函数，又$$f(1)=1$$，故$$f(x)=1^x=1$$。因此每一项$$\frac{(f(n))^2}{f(2n-1)}=1$$，共1010项，总和为1010。故选B。

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