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正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {( 2-[ x ] ) \cdot| x-1 |， x \in[ 0， 2 )} \\ {1， x=2} \\ \end{array} \right.$$，其中$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，设$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，定义函数$$f_{n} ~ ( x ) ~ : ~ f_{1} ~ ( x ) ~=f ~ ( x ) ~， ~ f_{2} ~ ( x ) ~=f ~ ( f_{1} ~ ( x ) ~ ) ~， ~ ~ \ldots， ~ f_{n} ~ ( x ) ~=f ~ ( f_{n-1} ~ ( x ) ~ ) ~ ~ ( n \geqslant2 )$$，则下列说法正确的有（）个．
$$\oplus y=\sqrt{x-f ( x )}$$的定义域为$$[ \frac{2} {3}， ~ 2 ]$$；
$${②}$$设$$A=\{0， ~ 1， ~ 2 \}， ~ B=\{x | f_{3} ~ ( x ) ~=x， ~ x \in A \}$$，则$${{A}{=}{B}}$$；
$$\oplus f_{2 0 1 7} ( \frac{8} {9} )+f_{2 0 1 8} ( \frac{8} {9} )=\frac{1 6} {9}$$；
$${④}$$若集合$$M=\{x | f_{1 2} \， \ ( \， x ) \， \ =x， \， \ x \in[ 0， \ 2 ] \}$$，则$${{M}}$$中至少含有$${{8}}$$个元素．
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
2、['函数的新定义问题'， '对数的性质']正确率60.0%已知$$a， \， \， b \in( 0， \， \， \， 1 ) \cup( 1， \， \， \， \，+\infty)，$$定义运算：$$a \Theta b=\left\{\begin{matrix} {\operatorname{l o g}_{a} b， \， \， \， a \leqslant b，} \\ {\operatorname{l o g}_{b} a， \， \， \， a > b，} \\ \end{matrix} \right.$$则$$8 \Theta( 2 \Theta4 )=$$（）
D
A.$${{−}{3}}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\operatorname{l o g}_{3} 4$$
D.$${{3}}$$
3、['函数的新定义问题'， '函数零点的值或范围问题'， '分段函数的图象']正确率40.0%对于$$a， b \in{\bf R}，$$定义运算“$${{⊗}}$$”：$$a \otimes b=\left\{\begin{matrix} {a^{2}-a b， a \leqslant b，} \\ {b^{2}-a b， a > b.} \\ \end{matrix} \right.$$设$$f ( x )=( 2 x-1 ) \otimes( x-1 )，$$且关于$${{x}}$$的方程$$f ( x )=t ( t \in{\bf R} )$$恰有三个互不相等的实数根$$x_{1}， x_{2}， x_{3}，$$则$$x_{1}+x_{2}+x_{3}$$的取值范围是（）
A
A.$$\left( \frac{5-\sqrt{3}} {4}， 1 \right)$$
B.$$\left( 1， \frac{5+\sqrt{3}} {4} \right)$$
C.$$\left( \frac{1} {2}， 1 \right)$$
D.$$( 1， 2 )$$
4、['利用诱导公式化简'， '函数的新定义问题'， '导数的四则运算法则'， '给值求角'， '半角公式'， '特殊角的三角函数值'， '函数零点的值或范围问题']正确率19.999999999999996%给出定义：设$$f^{\prime} ( x )$$是函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的导函数，$$f^{\prime\prime} ( x )$$是函数$$f^{\prime} ( x )$$的导函数，若$$f^{\prime\prime} ( x )$$有零点$${{x}_{0}}$$，则称点$$( x_{0}， f ( x_{0} ) )$$为原函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的$${{“}}$$拐点$${{”}}$$。已知函数$$f \left( x \right)=\frac{\operatorname{s i n} x} {\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x}$$的拐点是$$M ( x_{0}， f ( x_{0} ) )$$，则点$${{M}{(}{)}}$$
D
A.在直线$$y=-3 x$$上
B.在直线$${{y}{=}{3}{x}}$$上
C.在直线$$y=\frac{1} {3}$$上
D.在直线$$y=\frac{1} {2}$$上
5、['扇形弧长公式'， '函数的新定义问题'， '弧度与角度的换算公式']正确率60.0%密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为$${{6}{{0}{0}{0}}}$$份，每一份叫做$${{1}}$$密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位$${{7}}$$写成$${{“}}$$$${{0}{−}{{0}{7}}}$$$${{”}}$$，$${{4}{7}{8}}$$密位写成$${{“}}$$$${{4}{−}{{7}{8}}}$$$${{”}}$$，$${{1}}$$周角等于$${{6}{{0}{0}{0}}}$$密位，记作$${{1}}$$周角$${{=}{{6}{0}}{−}{{0}{0}}}$$，$${{1}}$$直角$${{=}{{1}{5}}{−}{{0}{0}}}$$．如果一个半径为$${{2}}$$的扇形，它的面积为$$\frac{7} {6} \pi$$，则其圆心角用密位制表示为（）
B
A.$${{1}{2}{−}{{5}{0}}}$$
B.$${{1}{7}{−}{{5}{0}}}$$
C.$${{2}{1}{−}{{0}{0}}}$$
D.$${{3}{5}{−}{{0}{0}}}$$
6、['函数的新定义问题'， '导数的四则运算法则'， '倒序相加法求和'， '函数的对称性']正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \left( a \neq0 \right)$$，设$${{f}{^{′}}{{(}{x}{)}}}$$是函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的导函数，$${{f}{^{′}}{^{′}}{{(}{x}{)}}}$$是函数$${{f}{^{′}}{{(}{x}{)}}}$$的导函数，若方程$$f^{\prime\prime} \left( x \right)=0$$有实数解$${{x}_{0}}$$，则称点$$\left( x_{0}， f \left( x_{0} \right) \right)$$为函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的$${{“}}$$拐点$${{”}}$$.任何一个三次函数都有$${{“}}$$拐点$${{”}}$$，且其$${{“}}$$拐点$${{”}}$$恰好就是该函数的对称中心．设函数$$f \left( x \right)=\frac{1} {3} x^{3}-\frac{1} {2} x^{2}+3 x-\frac{5} {1 2}$$，则$$f ( {\frac{1} {2 0 1 6}} )+f ( {\frac{2} {2 0 1 6}} )+\ldots\ldots+f ( {\frac{2 0 1 4} {2 0 1 6}} )+f ( {\frac{2 0 1 5} {2 0 1 6}} )=0$$）
B
A.$${{2}{0}{1}{6}}$$
B.$${{2}{0}{1}{5}}$$
C.$${{1}{0}{0}{8}}$$
D.$$1 0 0 7. 5$$
7、['在给定区间上恒成立问题'， '函数的新定义问题']正确率40.0%定义$$\left| \begin{matrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \\ \end{matrix} \right|=a d-b c，$$如$$\left| \begin{matrix} {1} & {2} \\ {3} & {4} \\ \end{matrix} \right|=1 \times4-2 \times3=-2.$$且当$$x \! \in[ 0， \! 2 ]$$时，$$\left| \begin{matrix} {4} & {3} \\ {2^{x+1}} & {1} \\ \end{matrix} \right| \geq k$$有解，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）
A
A.$${{(}{{−}{∞}{，}{−}}{5}{]}}$$
B.$${{(}{{−}{∞}{，}{−}}{9}{]}}$$
C.$${{(}{{−}{∞}{，}{−}}{8}{]}}$$
D.$${{(}{{−}{∞}{，}{−}}{2}{]}}$$
8、['函数的新定义问题'， '函数的最大(小)值'， '绝对值不等式的解法']正确率40.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$${{A}}$$，若存在非零实数$${{t}}$$，使得对于任意$$x \in C ( C \subset A )$$，有$$x ~+~ t \in A$$，且$$f ( x ~+~ t ) \leqslant$$$${{f}{(}{x}{)}}$$，则称$${{f}{(}{x}{)}}$$为$${{C}}$$上的$${{t}}$$低调函数．如果定义域为$$[ \， 0，+\infty)$$的函数$$f ( x )=~-\mid x-m^{2} \mid~+~ m^{2}$$，且$${{f}{(}{x}{)}}$$为$$[ \， 0，+\infty)$$上的$${{1}{0}}$$低调函数，那么实数$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$$[-5， 5 ]$$
B.$$[-\sqrt{5}， \sqrt{5} ]$$
C.$$[-\sqrt{1 0}， \sqrt{1 0} ]$$
D.$$[-\frac{\sqrt{5}} {2}， \frac{\sqrt{5}} {2} ]$$
9、['函数的新定义问题'， '函数的最大(小)值'， '分段函数的单调性'， '一般幂函数的图象和性质']正确率19.999999999999996%定义新运算$${{⊗}}$$：当$${{a}{⩾}{b}}$$时$$， \， \， a \otimes b=a$$；当$${{a}{<}{b}}$$时$$， \， \， a \otimes b=b^{2}$$.则函数$$f ( x )=$$$$( 1 \otimes x ) x-( 2 \otimes x )$$$$( x \in[-2， 2 ] )$$的最大值为 （）
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{1}{2}}$$
10、['函数的新定义问题'， '导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性']正确率60.0%已知$$y=f ( x )， x \in R$$，对于给定的正数$${{M}}$$，定义函数$$f_{M} ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {f ( x )， f ( x ) \leqslant M} \\ {M， f ( x ) > M} \\ \end{array} \right.$$，取函数$$f ( x )=2-x-e^{-x}$$，若对任意的$${{x}{∈}{R}}$$恒有$$f_{M} ( x )=f ( x )$$，则
D
A.$${{M}}$$的最大值为$${{2}}$$
B.$${{M}}$$的最小值为$${{2}}$$
C.$${{M}}$$的最大值为$${{1}}$$
D.$${{M}}$$的最小值为$${{1}}$$
### 第一题解析 **函数定义分析** 函数 $$f(x)$$ 分段定义如下： - 当 $$x \in [0, 2)$$ 时，$$f(x) = (2 - [x]) \cdot |x - 1|$$，其中 $$[x]$$ 是取整函数。 - 当 $$x = 2$$ 时，$$f(x) = 1$$。 **分段讨论** 1. **区间 $$[0, 1)$$**：$$[x] = 0$$，所以 $$f(x) = 2|x - 1| = 2(1 - x)$$。 2. **区间 $$[1, 2)$$**：$$[x] = 1$$，所以 $$f(x) = 1 \cdot |x - 1| = |x - 1| = x - 1$$。 3. **点 $$x = 2$$**：$$f(2) = 1$$。 **选项分析** 1. **选项①**：定义域 $$y = \sqrt{x - f(x)}$$ 要求 $$x - f(x) \geq 0$$。 - 在 $$[0, 1)$$：$$x - 2(1 - x) = 3x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}$$。 - 在 $$[1, 2)$$：$$x - (x - 1) = 1 \geq 0$$ 恒成立。 - 在 $$x = 2$$：$$2 - 1 = 1 \geq 0$$。 综上，定义域为 $$\left[\frac{2}{3}, 2\right]$$，**正确**。 2. **选项②**：$$B = \{x | f_3(x) = x, x \in A\}$$，其中 $$A = \{0, 1, 2\}$$。 - 计算 $$f_3(x)$$ 的迭代： - $$f(0) = 2(1 - 0) = 2$$，$$f_2(0) = f(2) = 1$$，$$f_3(0) = f(1) = 0$$。 - $$f(1) = 0$$，$$f_2(1) = f(0) = 2$$，$$f_3(1) = f(2) = 1$$。 - $$f(2) = 1$$，$$f_2(2) = f(1) = 0$$，$$f_3(2) = f(0) = 2$$。 - 所以 $$B = \{0, 1, 2\}$$，与 $$A$$ 相同，**正确**。 3. **选项③**：计算 $$f_{2017}\left(\frac{8}{9}\right) + f_{2018}\left(\frac{8}{9}\right)$$。 - 首先计算 $$f\left(\frac{8}{9}\right) = 2\left(1 - \frac{8}{9}\right) = \frac{2}{9}$$。 - 迭代 $$f_2\left(\frac{8}{9}\right) = f\left(\frac{2}{9}\right) = 2\left(1 - \frac{2}{9}\right) = \frac{14}{9}$$。 - 继续迭代发现周期性，但直接计算可得 $$f_{2017}\left(\frac{8}{9}\right) + f_{2018}\left(\frac{8}{9}\right) = \frac{16}{9}$$，**正确**。 4. **选项④**：集合 $$M = \{x | f_{12}(x) = x, x \in [0, 2]\}$$。 - 通过迭代分析，$$M$$ 至少包含 8 个不动点，**正确**。 综上，四个选项均正确，答案为 **D**。 **答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 第二题解析 **定义运算分析** 定义运算 $$a \Theta b$$ 如下： - 若 $$a \leq b$$，则 $$a \Theta b = \log_a b$$。 - 若 $$a > b$$，则 $$a \Theta b = \log_b a$$。 **步骤计算** 1. 计算 $$2 \Theta 4$$： - 由于 $$2 \leq 4$$，所以 $$2 \Theta 4 = \log_2 4 = 2$$。 2. 计算 $$8 \Theta 2$$： - 由于 $$8 > 2$$，所以 $$8 \Theta 2 = \log_2 8 = 3$$。 **答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 第三题解析 **定义运算分析** 定义运算 $$a \otimes b$$ 如下： - 若 $$a \leq b$$，则 $$a \otimes b = a^2 - ab$$。 - 若 $$a > b$$，则 $$a \otimes b = b^2 - ab$$。 **函数分析** 函数 $$f(x) = (2x - 1) \otimes (x - 1)$$ 需要分段讨论： 1. 当 $$2x - 1 \leq x - 1$$ 即 $$x \leq 0$$ 时： $$f(x) = (2x - 1)^2 - (2x - 1)(x - 1) = 4x^2 - 4x + 1 - 2x^2 + 3x - 1 = 2x^2 - x$$。 2. 当 $$2x - 1 > x - 1$$ 即 $$x > 0$$ 时： $$f(x) = (x - 1)^2 - (2x - 1)(x - 1) = x^2 - 2x + 1 - 2x^2 + 3x - 1 = -x^2 + x$$。 **方程分析** 方程 $$f(x) = t$$ 有三个不等实根，即函数 $$f(x)$$ 与水平线 $$y = t$$ 有三个交点。 - 在 $$x \leq 0$$ 区间，$$f(x) = 2x^2 - x$$ 是一个开口向上的抛物线，顶点在 $$x = \frac{1}{4}$$（不在定义域内），在 $$x \leq 0$$ 时单调递减。 - 在 $$x > 0$$ 区间，$$f(x) = -x^2 + x$$ 是一个开口向下的抛物线，顶点在 $$x = \frac{1}{2}$$，最大值为 $$\frac{1}{4}$$。 为了使方程有三个根，$$t$$ 必须满足 $$0 < t < \frac{1}{4}$$。设三个根为 $$x_1, x_2, x_3$$，其中 $$x_1 < 0$$，$$0 < x_2 < \frac{1}{2}$$，$$\frac{1}{2} < x_3 < 1$$。 通过对称性和抛物线性质，可以推导出 $$x_1 + x_2 + x_3$$ 的范围是 $$\left(1, \frac{5 + \sqrt{3}}{4}\right)$$。 **答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 第四题解析 **拐点定义** 拐点是二阶导数为零的点 $$(x_0, f(x_0))$$。 **函数分析** 函数 $$f(x) = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$$，求导后分析二阶导数的零点。 通过计算可得 $$f''(x_0) = 0$$ 时，$$f(x_0) = \frac{1}{2}$$，因此拐点在直线 $$y = \frac{1}{2}$$ 上。 **答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 第五题解析 **扇形面积公式** 扇形面积 $$A = \frac{1}{2} r^2 \theta$$，其中 $$r = 2$$，$$A = \frac{7}{6}\pi$$。 解得 $$\theta = \frac{7}{12}\pi$$ 弧度。 **转换为密位制** 一周角 $$2\pi$$ 弧度对应 $$6000$$ 密位，因此 $$\theta = \frac{7}{12}\pi \times \frac{6000}{2\pi} = 1750$$ 密位，写作 $$17-50$$。 **答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 第六题解析 **拐点性质** 三次函数的拐点是对称中心，$$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{5}{12}$$ 的拐点在 $$x = \frac{1}{2}$$。 利用对称性，$$f\left(\frac{k}{2016}\right) + f\left(1 - \frac{k}{2016}\right) = 2f\left(\frac{1}{2}\right)$$。 求和结果为 $$1007.5$$。 **答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 第七题解析 **行列式计算** 定义 $$\left|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right| = ad - bc$$。 对于 $$\left|\begin{matrix} 4 & 3 \\ 2^{x+1} & 1 \end{matrix}\right| = 4 \times 1 - 3 \times 2^{x+1} = 4 - 3 \times 2^{x+1}$$。 当 $$x \in [0, 2]$$ 时，$$2^{x+1} \in [2, 8]$$，行列式值范围为 $$[-20, -2]$$。 不等式 $$4 - 3 \times 2^{x+1} \geq k$$ 有解，要求 $$k \leq -2$$。 **答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 第八题解析 **低调函数定义** 函数 $$f(x) = -|x - m^2| + m^2$$ 在 $$[0, +\infty)$$ 上是 $$10$$ 低调函数，即存在 $$t = 10$$ 使得 $$f(x + 10) \leq f(x)$$。 分析可得 $$m^2 \leq 5$$，即 $$m \in [-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$$。 **答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 第九题解析 **新运算定义** 定义 $$a \otimes b$$ 为： - 若 $$a \geq b$$，则 $$a \otimes b = a$$。 - 若 $$a < b$$，则 $$a \otimes b = b^2$$。 **函数分析** 函数 $$f(x) = (1 \otimes x)x - (2 \otimes x)$$ 分段讨论： 1. 当 $$x \leq 1$$：$$1 \otimes x = 1$$，$$2 \otimes x = 2$$，所以 $$f(x) = x - 2$$。 2. 当 $$1 < x \leq 2$$：$$1 \otimes x = x^2$$，$$2 \otimes x = 2$$，所以 $$f(x) = x^3 - 2$$。 3. 当 $$x > 2$$：$$1 \otimes x = x^2$$，$$2 \otimes x = x^2$$，所以 $$f(x) = x^3 - x^2$$。 在区间 $$[-2, 2]$$ 内，最大值出现在 $$x = 2$$，$$f(2) = 8 - 2 = 6$$。 **答案**：$$\boxed{C}$$ --- ### 第十题解析 **函数截断定义** 定义 $$f_M(x) = \min(f(x), M)$$，要求 $$f_M(x) = f(x)$$ 对所有 $$x \in \mathbb{R}$$ 成立，即 $$f(x) \leq M$$ 恒成立。 函数 $$f(x) = 2 - x - e^{-x}$$ 的最大值为 $$1$$（通过求导可得），因此 $$M$$ 的最小值为 $$1$$。 **答案**：$$\boxed{D}$$ 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱