1、['函数的综合问题'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} \left| 2^{x}-\frac{1} {2} \right|， x < 1，} \\ {} & {{} \operatorname{l o g}_{2} \left( x+\frac{1} {2} \right)， x \geqslant1.} \\ \end{aligned} \right.$$若函数$$g ( x )=-x+m ( m > 0 )$$与$$y=f ( x )$$的图像相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$${{A}{，}{B}}$$两点的横坐标分别记为$$x_{1}， ~ x_{2}，$$则$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}}$$的取值范围是（）
B
A.$$\left( 1， \frac{3} {2} \right)$$
B.$$\left[ \operatorname{l o g}_{2} 3， \frac{5} {2} \right)$$
C.$$[ 1， \frac{5} {2} )$$
D.$$[ \operatorname{l o g}_{2} 3， 3 ]$$
2、['函数的综合问题'， '倒序相加法求和'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} x+\operatorname{l n} \frac{\pi x} {\pi-x}$$，若$$f ( \frac{\pi} {2 0 1 9} )+f ( \frac{2 \pi} {2 0 1 9} )+\ldots+f ( \frac{2 0 1 8 \pi} {2 0 1 9} )=1 0 0 9 ( a+b ) l n \pi( a > 0， b > 0 )$$，则$$\frac1 a+\frac1 b$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{8}}$$
3、['函数的综合问题'， '等式的性质']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=a x^{2}-a x+2 b ( a > 0 )$$，存在互不相等的实数$$m， n， p$$，使得$$f ( m )=a n$$，$$f ( n )=a p$$，$$f ( p )=a m$$，则（）
A
A.$${{a}{>}{2}{b}}$$
B.$${{a}{<}{2}{b}}$$
C.$${{a}{>}{4}{b}}$$
D.$${{a}{<}{4}{b}}$$
4、['函数的综合问题'， '函数求值'， '命题的真假性判断']正确率60.0%下列命题中真命题的个数是$${{(}{)}}$$
$${{(}{1}{)}}$$若 $${{a}}$$$${{>}{0}}$$且 $${{a}}$$$${{≠}{1}{，}}$$则$${{∃}}$$ $${{x}}$$$${{∈}{R}{，}}$$ $${{a}{x}}$$$$> 0 ; ~ ( 2 ) \forall$$ $${{x}}$$$${{∈}{R}{，}}$$都有 $${{x}}$$$${^{2}{−}}$$ $${{x}}$$$$+ 1 > \frac{1} {2}$$；
$${{(}{3}{)}{∃}}$$ $${{x}}$$， $${{y}}$$$${{∈}{N}{，}}$$使$${\sqrt {2}}$$ $${{x}}$$$${{+}}$$ $${{y}}$$$${{=}{3}}$$.$${{(}{4}{)}}$$设函数 $${{f}}$$( $${{x}}$$$$)=\left\{\begin{array} {l l} {1-x^{2}， x \leqslant1，} \\ {x^{2}+x-2， x > 1，} \\ \end{array} \right.$$则 $$f \left( \frac{1} {f ( 2 )} \right)$$的值为$${{1}{8}}$$
D
A.$${{4}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
5、['函数的综合问题'， '指数型复合函数的应用'， '函数图象的翻折变换'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%已知$$f ( x )=| e^{x} \!-\! 1 | \!+\! 1$$，若函数$$g ( x )=[ f ( x ) ]^{2}+( a-2 ) f ( x )-2 a$$有三个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$$(-2，-1 )$$
B.$$(-1， 0 )$$
C.$$( 0， 1 )$$
D.$$( 1， 2 )$$
6、['函数的综合问题']正确率40.0%已知$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=\left| 3^{x}-1 \right|+1$$，若关于$${{x}}$$的方程$$\left[ f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \right]^{2}-\left( \begin{matrix} {2+a} \\ \end{matrix} \right) \ f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)+2 a=0$$有三个实根，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$1 < a < 2$$
B.$${{a}{>}{2}}$$
C.$$2 < a < 3$$
D.$${{a}{>}{1}}$$
7、['函数的综合问题'， '函数求值域']正确率60.0%已知函数$$f \ ( \ x ) \ =[ 2 x+l n \ ( \ x+\sqrt{x^{2}+1} ) \ ]+[-2 x+l n \ ( \ -x+\sqrt{x^{2}+1} ) \ ]$$，其中$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，$${{f}{（}{x}{）}}$$的值域为（）
B
A.$$\{-1， ~ 0， ~ 1 \}$$
B.$$\{-1， ~ 0 \}$$
C.$$\{0， ~ 1 \}$$
D.$$\{-1， ~ 1 \}$$
8、['函数的综合问题'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=l o g_{\frac{1} {2}} \ \left( \begin{matrix} {2-x} \\ \end{matrix} \right) \ -1 o g_{2} \ \left( \begin{matrix} {x+4} \\ \end{matrix} \right)$$，则下列结论中正确的是（）
B
A.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的定义域是$$[-4， ~ 2 ]$$
B.函数$$y=f ~ ( x-1 )$$是偶函数
C.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在区间$$[-1， \ 2 )$$上是减函数
D.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象关于直线$${{x}{=}{1}}$$轴对称
9、['函数的综合问题'， '指数与对数的关系']正确率40.0%svg异常
D
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
10、['函数的综合问题'， '导数与单调性'， '利用导数求解方程解的个数'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%若两个函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{x}^{2}}}$$与$$g \left( x \right)=a^{x} \left( a > 0， a \neq1 \right)$$的图象只有一个交点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$\left( \mathrm{e}^{-\frac{2} {e}}， \mathrm{e}^{\frac{2} {e}} \right)$$
B.$$\left( 0， \mathrm{e}^{-\frac{2} {\mathrm{e}}} \right)$$
C.$$\left( 0， \mathrm{e}^{-\frac{2} {\mathrm{e}}} \right) \cup\left( \mathrm{e}^{\frac{2} {\mathrm{e}}}，+\infty\right)$$
D.$$\left( \mathrm{e}^{-\frac{2} {\mathrm{e}}}， 1 \right) \cup\left( 1， \mathrm{e}^{\frac{2} {\mathrm{e}}} \right)$$
1. 解析：
首先分析函数 $$f(x)$$ 的分段情况：
（1）当 $$x < 1$$ 时，$$f(x) = |2^x - \frac{1}{2}|$$。令 $$2^x = t$$，则 $$t \in (0, 2)$$，函数可表示为 $$|t - \frac{1}{2}|$$。
（2）当 $$x \geq 1$$ 时，$$f(x) = \log_2 \left(x + \frac{1}{2}\right)$$，这是一个单调递增函数。
函数 $$g(x) = -x + m$$ 是一条斜率为 -1 的直线，与 $$f(x)$$ 相交于两点 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$。
由于 $$m > 0$$，交点必须满足 $$x_1 < 1$$ 和 $$x_2 \geq 1$$。
对于 $$x_1 < 1$$，方程为 $$|2^{x_1} - \frac{1}{2}| = -x_1 + m$$。由于 $$2^{x_1} \in (0, 2)$$，分两种情况讨论：
（a）$$2^{x_1} \geq \frac{1}{2}$$，即 $$x_1 \geq -1$$，方程为 $$2^{x_1} - \frac{1}{2} = -x_1 + m$$。
（b）$$2^{x_1} < \frac{1}{2}$$，即 $$x_1 < -1$$，方程为 $$\frac{1}{2} - 2^{x_1} = -x_1 + m$$。
对于 $$x_2 \geq 1$$，方程为 $$\log_2 \left(x_2 + \frac{1}{2}\right) = -x_2 + m$$。
由于 $$g(x)$$ 是单调递减函数，而 $$f(x)$$ 在 $$x \geq 1$$ 时单调递增，因此交点唯一。
设 $$x_1$$ 和 $$x_2$$ 为两个交点的横坐标，则 $$x_1 + x_2$$ 的取值范围可以通过分析 $$m$$ 的范围确定。
当 $$m$$ 从 $$\frac{1}{2}$$ 增加到 $$\log_2 \frac{3}{2} + 1$$ 时，$$x_1 + x_2$$ 从 $$1$$ 增加到 $$\frac{3}{2}$$。
因此，$$x_1 + x_2 \in \left(1, \frac{3}{2}\right)$$，对应选项 A。
2. 解析：
函数 $$f(x) = \cos x + \ln \left(\frac{\pi x}{\pi - x}\right)$$。
观察 $$f\left(\frac{k\pi}{2019}\right) + f\left(\frac{(2018 - k)\pi}{2019}\right)$$：
$$f\left(\frac{k\pi}{2019}\right) + f\left(\frac{(2018 - k)\pi}{2019}\right) = \cos \left(\frac{k\pi}{2019}\right) + \cos \left(\frac{(2018 - k)\pi}{2019}\right) + \ln \left(\frac{\frac{k\pi^2}{2019}}{\pi - \frac{k\pi}{2019}}\right) + \ln \left(\frac{\frac{(2018 - k)\pi^2}{2019}}{\pi - \frac{(2018 - k)\pi}{2019}}\right)$$。
化简对数部分：$$\ln \left(\frac{k\pi}{2019 - k}\right) + \ln \left(\frac{(2018 - k)\pi}{2019 - (2018 - k)}\right) = \ln \left(\frac{k(2018 - k)\pi^2}{(2019 - k)(1 + k)}\right)$$。
注意到 $$k(2018 - k) = (2019 - k)(1 + k) - 2019$$，但对数部分无法直接简化。
实际上，题目给出的和为 $$1009(a + b)\ln \pi$$，暗示对称性。
通过计算 $$f\left(\frac{\pi}{2019}\right) + f\left(\frac{2018\pi}{2019}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2019}\right) + \ln \left(\frac{\pi^2}{2018 \cdot 1}\right)$$。
类似地，总和为 $$2 \sum_{k=1}^{1009} \cos \left(\frac{k\pi}{2019}\right) + 1009 \ln \pi^2$$。
因此，$$1009(a + b)\ln \pi = 2S + 2018 \ln \pi$$，其中 $$S$$ 为余弦和。
题目要求 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$$ 的最小值，利用不等式 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$$，当 $$a = b$$ 时取最小值。
由 $$a + b = 2$$，得最小值为 $$2$$，对应选项 A。
3. 解析：
函数 $$f(x) = ax^2 - ax + 2b$$，且 $$a > 0$$。
题目条件为 $$f(m) = an$$，$$f(n) = ap$$，$$f(p) = am$$。
将三个方程相加：$$a(m^2 + n^2 + p^2) - a(m + n + p) + 6b = a(m + n + p)$$。
整理得：$$a(m^2 + n^2 + p^2 - 2m - 2n - 2p) + 6b = 0$$。
由于 $$a > 0$$，且 $$m, n, p$$ 互不相等，必须有 $$m^2 + n^2 + p^2 - 2m - 2n - 2p < 0$$。
设 $$m, n, p$$ 为方程 $$f(x) - ay = 0$$ 的解，通过分析判别式可得 $$a < 4b$$，对应选项 D。
4. 解析：
（1）对于 $$a > 0$$ 且 $$a \neq 1$$，$$a^x > 0$$ 对所有 $$x \in \mathbb{R}$$ 成立，因此命题为真。
（2）$$x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > \frac{1}{2}$$ 对所有 $$x \in \mathbb{R}$$ 成立，命题为真。
（3）存在 $$x = 1$$，$$y = 1$$ 满足 $$\sqrt{2} \cdot 1 + 1 = 3$$，命题为真。
（4）计算 $$f(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4$$，再计算 $$f\left(\frac{1}{4}\right) = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{15}{16} \neq \frac{1}{8}$$，命题为假。
因此真命题个数为 3，对应选项 D。
5. 解析：
函数 $$f(x) = |e^x - 1| + 1$$，其取值范围为 $$[1, +\infty)$$。
设 $$t = f(x)$$，则方程 $$g(x) = 0$$ 转化为 $$t^2 + (a - 2)t - 2a = 0$$，即 $$(t + a)(t - 2) = 0$$。
解得 $$t = -a$$ 或 $$t = 2$$。
由于 $$t \geq 1$$，$$t = -a$$ 必须有 $$-a \geq 1$$，即 $$a \leq -1$$。
同时，$$t = 2$$ 对应 $$f(x) = 2$$，即 $$|e^x - 1| = 1$$，解得 $$x = \ln 2$$ 或 $$x = 0$$。
因此，$$t = -a$$ 必须对应另一个解，即 $$-a > 1$$ 且 $$-a \neq 2$$，即 $$a \in (-2, -1)$$，对应选项 A。
6. 解析：
函数 $$f(x) = |3^x - 1| + 1$$，其取值范围为 $$[1, +\infty)$$。
设 $$t = f(x)$$，方程转化为 $$t^2 - (2 + a)t + 2a = 0$$，即 $$(t - 2)(t - a) = 0$$。
解得 $$t = 2$$ 或 $$t = a$$。
$$t = 2$$ 对应 $$|3^x - 1| = 1$$，解得 $$x = \log_3 2$$ 或 $$x = 0$$。
$$t = a$$ 必须对应另一个解，即 $$a > 1$$ 且 $$a \neq 2$$。
因此，$$a \in (1, 2) \cup (2, +\infty)$$，但题目要求三个实根，对应 $$1 < a < 2$$，选项 A。
7. 解析：
函数 $$f(x) = [2x + \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})] + [-2x + \ln(-x + \sqrt{x^2 + 1})]$$。
注意到 $$\ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$$ 是奇函数，因此 $$f(x) = [2x + \text{arsinh}(x)] + [-2x - \text{arsinh}(x)]$$。
设 $$y = \text{arsinh}(x)$$，则 $$f(x) = [2x + y] + [-2x - y]$$。
由于 $$[a] + [b] \leq [a + b]$$，且 $$2x + y - 2x - y = 0$$，因此 $$f(x) \in \{-1, 0\}$$，对应选项 B。
8. 解析：
函数 $$f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(2 - x) - \log_2(x + 4)$$。
（A）定义域需满足 $$2 - x > 0$$ 且 $$x + 4 > 0$$，即 $$x \in (-4, 2)$$，选项 A 错误。
（B）$$y = f(x - 1)$$ 的定义域为 $$(-3, 3)$$，检查 $$f(-x - 1)$$ 是否等于 $$f(x - 1)$$，不成立，选项 B 错误。
（C）$$f(x)$$ 在 $$[-1, 2)$$ 上单调递减，选项 C 正确。
（D）检查 $$f(2 - x) = f(x)$$，不成立，选项 D 错误。
因此，正确答案为 C。
9. 解析：
题目不完整，无法解析。
10. 解析：
函数 $$f(x) = x^2$$ 与 $$g(x) = a^x$$ 只有一个交点。
当 $$a > 1$$ 时，需满足 $$x^2 = a^x$$ 有唯一解，即 $$a = e^{\frac{2}{e}}$$。
当 $$0 < a < 1$$ 时，需满足 $$x^2 = a^x$$ 有唯一解，即 $$a = e^{-\frac{2}{e}}$$。
因此，$$a \in (0, e^{-\frac{2}{e}}) \cup (e^{\frac{2}{e}}, +\infty)$$，对应选项 C。
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