函数零点个数的判定-函数的拓展与综合知识点课后进阶自测题答案-辽宁省等高一数学必修,平均正确率40.0%

步骤1：确定定义域。$$\sqrt{x+1}$$ 要求 $$x+1 \geq 0$$，即 $$x \geq -1$$。

步骤2：设 $$f(x) = 0$$，即 $$\sqrt{x+1} = x^2$$。

步骤3：两边平方得 $$x+1 = x^4$$，即 $$x^4 - x - 1 = 0$$。

步骤4：分析方程 $$x^4 - x - 1 = 0$$ 的实数解。

令 $$g(x) = x^4 - x - 1$$，求导得 $$g'(x) = 4x^3 - 1$$。

$$g'(x) = 0$$ 时，$$x = \sqrt[3]{\frac{1}{4}} \approx 0.63$$。

计算 $$g(-1) = 1$$，$$g(0) = -1$$，$$g(1) = -1$$，$$g(2) = 13$$。

由中间值定理，$$g(x)$$ 在 $$(-1, 0)$$ 和 $$(1, 2)$$ 各有一个零点。

但需验证 $$\sqrt{x+1} = x^2$$ 的解是否在定义域内：

对于 $$x \in (-1, 0)$$，$$\sqrt{x+1} \in (0, 1)$$，而 $$x^2 \in (0, 1)$$，可能有一个解。

对于 $$x \in (1, 2)$$，$$\sqrt{x+1} \in (\sqrt{2}, \sqrt{3}) \approx (1.414, 1.732)$$，而 $$x^2 \in (1, 4)$$，可能有一个解。

验证 $$x = 1$$：$$\sqrt{2} \approx 1.414 \neq 1$$，无解。

验证 $$x \approx 1.22$$：$$\sqrt{2.22} \approx 1.49$$，$$1.22^2 \approx 1.488$$，接近解。

综上，函数 $$f(x)$$ 有两个零点，答案为 $$C$$。

步骤1：定义域 $$x \geq -1$$。

步骤2：设 $$f(x) = 0$$，即 $$\sqrt{x+1} = x^3$$。

步骤3：两边平方得 $$x+1 = x^6$$，即 $$x^6 - x - 1 = 0$$。

步骤4：分析方程 $$x^6 - x - 1 = 0$$ 的实数解。

令 $$h(x) = x^6 - x - 1$$，求导得 $$h'(x) = 6x^5 - 1$$。

$$h'(x) = 0$$ 时，$$x = \sqrt[5]{\frac{1}{6}} \approx 0.698$$。

计算 $$h(-1) = 1$$，$$h(0) = -1$$，$$h(1) = -1$$，$$h(2) = 61$$。

由中间值定理，$$h(x)$$ 在 $$(-1, 0)$$ 和 $$(1, 2)$$ 各有一个零点。

验证 $$\sqrt{x+1} = x^3$$ 的解：

对于 $$x \in (-1, 0)$$，$$\sqrt{x+1} \in (0, 1)$$，而 $$x^3 \in (-1, 0)$$，无解。

对于 $$x \in (1, 2)$$，$$\sqrt{x+1} \in (\sqrt{2}, \sqrt{3}) \approx (1.414, 1.732)$$，而 $$x^3 \in (1, 8)$$，可能有一个解。

验证 $$x \approx 1.13$$：$$\sqrt{2.13} \approx 1.46$$，$$1.13^3 \approx 1.44$$，接近解。

综上，函数 $$f(x)$$ 有一个零点，答案为 $$B$$。

步骤1：分析 $$f(x)$$ 的性质。

$$f(x)$$ 是偶函数，且 $$f(1+x) = f(1-x)$$，说明 $$f(x)$$ 关于 $$x=1$$ 对称。

当 $$x \in [0, 1]$$ 时，$$f(x) = x$$，由对称性和偶性可推出 $$f(x)$$ 在其他区间的表达式。

步骤2：分析 $$g(x)$$ 的表达式。

$$g(x) = \begin{cases} \log_4 x & x > 0 \\ 4^x & x \leq 0 \end{cases}$$。

步骤3：求 $$h(x) = 0$$ 的解，即 $$f(x) = g(x)$$。

在 $$x \in [0, 1]$$，$$f(x) = x$$，$$g(x) = \log_4 x$$，方程 $$x = \log_4 x$$ 无解（因为 $$\log_4 x \leq 0$$ 而 $$x \geq 0$$）。

在 $$x \in [1, 2]$$，由对称性 $$f(x) = f(2-x)$$，方程 $$f(x) = \log_4 x$$ 需具体求解。

在 $$x \in [-1, 0]$$，$$f(x) = f(-x) = -x$$，$$g(x) = 4^x$$，方程 $$-x = 4^x$$ 有一个解。

通过对称性和周期性分析，总共有 $$6$$ 个零点，答案为 $$B$$。

步骤1：分析 $$f(x)$$ 的性质。

$$f(x+1) = -f(x)$$，说明 $$f(x)$$ 是周期为 $$2$$ 的函数。

当 $$x \in [-1, 1]$$ 时，$$f(x) = 1 - x^2$$，可推出其他区间的表达式。

步骤2：分析 $$g(x)$$ 的表达式。

$$g(x) = \begin{cases} \lg x & x > 0 \\ -\frac{1}{x} & x < 0 \end{cases}$$。

步骤3：求 $$h(x) = 0$$ 的解，即 $$f(x) = g(x)$$。

在 $$x \in [-1, 1]$$，$$f(x) = 1 - x^2$$，$$g(x)$$ 在 $$x > 0$$ 时为 $$\lg x$$，在 $$x < 0$$ 时为 $$-\frac{1}{x}$$。

通过周期性和函数图像分析，总共有 $$8$$ 个零点，答案为 $$B$$。

步骤1：分析 $$f(x)$$ 的性质。

$$f(x)$$ 是奇函数，且 $$f(x) = -f(x+2)$$，说明 $$f(x)$$ 是周期为 $$4$$ 的函数。

当 $$x \in [0, 2]$$ 时，$$f(x) = -x^2 + 2x$$，可推出其他区间的表达式。

步骤2：分析 $$g(x) = |\lg x|$$ 的图像。

$$g(x)$$ 在 $$x \in (0, 1]$$ 单调递减，在 $$x \in [1, +\infty)$$ 单调递增。

步骤3：求交点个数。

通过图像分析，$$f(x)$$ 与 $$g(x)$$ 在 $$x > 0$$ 有 $$5$$ 个交点，答案为 $$B$$。

已知 $$f(x) + h(x) = 10^x$$，且 $$f(x)$$ 是奇函数，$$h(x)$$ 是偶函数。

步骤1：利用奇偶性求解 $$f(x)$$ 和 $$h(x)$$。

由 $$f(-x) + h(-x) = 10^{-x}$$，即 $$-f(x) + h(x) = 10^{-x}$$。

联立 $$f(x) + h(x) = 10^x$$，解得：

$$h(x) = \frac{10^x + 10^{-x}}{2}$$，$$f(x) = \frac{10^x - 10^{-x}}{2}$$。

步骤2：验证选项。

A. $$h(0) = 1 \neq 0$$，错误。

B. $$f(1) = \frac{10 - 0.1}{2} = 4.95$$，$$h(-2) = \frac{0.01 + 100}{2} = 50.005$$，$$f(1) < h(-2)$$，错误。

C. $$h(x)$$ 在 $$(-\infty, 0)$$ 单调递减，错误。

D. $$f(x) = 0$$ 只有 $$x = 0$$ 一个解，正确。

答案为 $$D$$。

步骤1：分析 $$M(a)$$ 的定义。

$$f(x) = |x^3 + a|$$ 在 $$[-1, 1]$$ 上的最大值 $$M(a)$$。

$$f(x)$$ 的最大值可能出现在 $$x = -1$$、$$x = 1$$ 或 $$x = 0$$。

计算 $$f(-1) = | -1 + a |$$，$$f(1) = |1 + a|$$，$$f(0) = |a|$$。

$$M(a) = \max(|a - 1|, |a + 1|, |a|)$$。

步骤2：求解方程 $$M(x) - \lg(|x| + 1) = 1$$。

通过图像分析，方程有 $$3$$ 个解，答案为 $$C$$。

步骤1：设 $$f(x) = 0$$，即 $$a(x^2 - x) + \frac{1}{x} = 0$$。

整理得 $$a x^3 - a x^2 + 1 = 0$$。

步骤2：要求方程 $$a x^3 - a x^2 + 1 = 0$$ 有且仅有两个实数解。

这意味着方程有一个二重根和一个单根。

设二重根为 $$x = r$$，则 $$f(r) = 0$$ 且 $$f'(r) = 0$$。

求导得 $$f'(x) = 3a x^2 - 2a x$$，令 $$f'(r) = 0$$，得 $$r = 0$$ 或 $$r = \frac{2}{3}$$。

若 $$r = 0$$，代入 $$f(0) = 1 \neq 0$$，不成立。

若 $$r = \frac{2}{3}$$，代入 $$f\left(\frac{2}{3}\right) = a \left(\frac{4}{9} - \frac{2}{3}\right) + \frac{3}{2} = 0$$，解得 $$a = \frac{27}{4}$$。

验证 $$a = \frac{27}{4}$$ 时方程的解：

$$\frac{27}{4} x^3 - \frac{27}{4} x^2 + 1 = 0$$，解得 $$x = \frac{2}{3}$$（二重根）和 $$x = -1$$（单根）。

答案为 $$D$$。

步骤1：分析 $$f(x)$$ 的表达式。

$$f(x) = \begin{cases} 2^x & x \leq 1 \\ \log_2 (x - 1) & x > 1 \end{cases}$$。

步骤2：求 $$F(x) = 0$$ 的解，即 $$f(f(x)) + f(x) - 1 = 0$$。

分情况讨论：

1. 当 $$x \leq 1$$，$$f(x) = 2^x$$，方程变为 $$f(2^x) + 2^x - 1 = 0$$。

若 $$2^x \leq 1$$，即 $$x \leq 0$$，$$f(2^x) = 2^{2^x}$$，方程 $$2^{2^x} + 2^x - 1 = 0$$ 无解。

若 $$2^x > 1$$，即 $$x > 0$$，$$f(2^x) = \log_2 (2^x - 1)$$，方程 $$\log_2 (2^x - 1) + 2^x - 1 = 0$$ 需数值求解。

2. 当 $$x > 1$$，$$f(x) = \log_2 (x - 1)$$，方程变为 $$f(\log_2 (x - 1)) + \log_2 (x - 1) - 1 = 0$$。

通过分析，总共有 $$4$$ 个零点，答案为 $$B$$。

步骤1：求导分析。

令 $$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 6$$，求导得 $$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$$。

令 $$f'(x) = 0$$，解得 $$x = -1$$ 或 $$x = 3$$。

步骤2：计算极值。

$$f(-1) = -1 - 3 + 9 - 6 = -1$$，$$f(3) = 27 - 27 - 27 - 6 = -33$$。

步骤3：分析函数图像。

当 $$x \to -\infty$$，$$f(x) \to -\infty$$；当 $$x \to +\infty$$，$$f(x) \to +\infty$$。

由中间值定理，函数在 $$(-\infty, -1)$$、$$(-1, 3)$$ 和 $$(3, +\infty)$$ 各有一个零点。

但计算 $$f(4) = 64 - 48 - 36 - 6 = -26$$，$$f(5) = 125 - 75 - 45 - 6 = -1$$，$$f(6) = 216 - 108 - 54 - 6 = 48$$，说明在 $$(5, 6)$$ 有一个零点。

综上，方程有三个不同实根，答案为 $$D$$。