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正确率40.0%已知函数$$f \ ( \ x ) \ =\sqrt{3} \sin\omega x-\cos\omega x， \ \ x=\frac{\pi} {3}$$为$$y=f ~ ( x )$$的对称轴，且$${{f}{（}{x}{）}}$$在区间$$( \mathrm{\Pi-\frac{\pi} {3}， \} \frac{\pi} {3} )$$单调，则$${{ω}{=}{（}}$$）
B
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{5}}$$
2、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '使三角函数取最值时自变量的取值（集合）'， '函数求解析式'， '函数中的恒成立问题']正确率19.999999999999996%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi) ( \omega> 0， | \varphi| < \frac{\pi} {2} )$$满足$$f ( x )+f (-x-\frac{3 \pi} {2} )=0， \， \， \， x=\frac{\pi} {4}$$为$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个极大值点，且$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$( \frac{\pi} {3}， \frac{7 \pi} {1 2} )$$上单调，则满足条件的$${{ω}}$$有（）
A
A.$${{3}}$$个
B.$${{4}}$$个
C.$${{5}}$$个
D.无数多个
3、['函数求解析式'， '函数单调性的判断'， '函数零点的概念'， '等差数列的前n项和的应用'， '分段函数的图象']正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {2^{x}-1 ( 0 \leqslant x \leqslant1 )} \\ {f ( x-1 )+m ( x > 1 )} \\ \end{array} \right.$$在定义域$$[ 0，+\infty)$$上单调递增，且对于任意$${{a}{⩾}{0}}$$，方程$$f ( x )=a$$有且只有一个实数解，则函数$$g ( x )=f ( x )-x$$在区间$$[ 0， 2^{n} ] \left( n \in N^{*} \right)$$上的所有零点的和为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{n ( n+1 )} {2}$$
B.$$2^{2 n-1}+2^{n-1}$$
C.$$\frac{( 2^{n}+1 )^{2}} {2}$$
D.$${{2}^{n}{−}{1}}$$
4、['在给定区间上恒成立问题'， '函数求解析式']正确率40.0%已知定义在区间$$( \; \frac{1} {2}， \; 3 )$$上的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$满足$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~+x f^{\prime} \begin{matrix} {\left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)} \\ \end{matrix}=3 x^{2}-2 a x+1$$，且$$f ~ ( {\bf1} ) ~=2-a$$，若$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \leq0$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
D
A.$$[ \frac{3} {2}， ~+\infty)$$
B.$$[ 2， ~+\infty)$$
C.$$[ \frac{5} {2}， ~+\infty)$$
D.$$[ \frac{1 0} {3}， ~+\infty)$$
6、['函数奇偶性的应用'， '函数求解析式']正确率60.0%$${{f}{（}{x}{）}}$$为$${{R}}$$上的奇函数，且当$${{x}{⩾}{0}}$$时$$f ~ ( \textbf{x} ) ~=~ \textbf{x} ~ ( \textbf{1}+\textbf{x}^{3} )$$，则当$${{x}{<}{0}}$$时$${{f}{（}{x}{）}}$$为（）
C
A.$$x ( 1+x^{3} )$$
B.$$- x ~ ( \mathrm{1}-x^{3} )$$
C.$$x ( 1-x^{3} )$$
D.$$- x ~ ( 1+x^{3} )$$
7、['函数的对称性'， '函数求解析式']正确率40.0%设函数$$y=f ( x )$$的图象与$$y=\operatorname{l g} ( x+a ) ( a$$为常数)的图象关于直线$${{y}{=}{−}{x}}$$对称．且$$f ( 1 )=\frac{9} {1 0}$$，则$$f (-1 )=\alpha$$）
D
A.$$\frac{9} {1 0}$$
B.$$- \frac{9} {1 0}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{−}{9}}$$
8、['函数求解析式']正确率60.0%已知函数$$f \left( x+1 \right)=4 x+1$$，则$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的解析式是$${{f}{{(}{x}{)}}{=}}$$（）
B
A.$${{4}{x}{+}{3}}$$
B.$${{4}{x}{−}{3}}$$
C.$${{3}{x}{+}{2}}$$
D.$${{3}{x}{−}{4}}$$
9、['函数求解析式']正确率40.0%已知$$f ( \sqrt{x}+1 )=x+1$$，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的解析式为$${{(}{)}}$$
B
A.$$f ( x )=x^{2}$$
B.$$f ( x )=x^{2}-2 x+2 ( x \geqslant1 )$$
C.$$f ( x )=x^{2}+1 ( x \geq1 )$$
D.$$f ( x )=x^{2}-2 x ( x \geq1 )$$
10、['函数求解析式']正确率60.0%设函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$是一次函数，$$f \left[ f \left( x \right) \right]=4 x-3$$，则$${{f}{{(}{1}{)}}{=}}$$
B
A.$${{3}}$$或$${{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{1}}$$或$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{3}}$$或$${{1}}$$
### 题目1解析给定函数 $$f(x) = \sqrt{3} \sin \omega x - \cos \omega x$$，可以化简为： $$f(x) = 2 \sin \left( \omega x - \frac{\pi}{6} \right)$$
由题意，$$x = \frac{\pi}{3}$$ 是函数的对称轴，故： $$\omega \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$ 解得： $$\omega = 2 + 3k$$
又函数在区间 $$(\pi - \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$$ 上单调，故周期 $$T \geq \frac{2\pi}{3}$$，即： $$\frac{2\pi}{\omega} \geq \frac{2\pi}{3} \Rightarrow \omega \leq 3$$
结合 $$\omega = 2 + 3k$$ 且 $$\omega \leq 3$$，得 $$\omega = 2$$（对应 $$k = 0$$）。
选项 C 正确。
--- ### 题目2解析由 $$f(x) + f(-x - \frac{3\pi}{2}) = 0$$，函数关于点 $$\left( -\frac{3\pi}{4}, 0 \right)$$ 对称。
又 $$x = \frac{\pi}{4}$$ 是极大值点，故： $$\omega \cdot \frac{\pi}{4} + \varphi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$
由对称性，函数周期 $$T$$ 满足： $$\frac{3\pi}{4} - \left( -\frac{3\pi}{4} \right) = \frac{3\pi}{2} = \frac{T}{2} \Rightarrow T = 3\pi$$
故 $$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2}{3}$$。
验证单调性：函数在 $$(\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{12})$$ 上单调，需 $$\omega$$ 满足导数不变号。经检验，$$\omega = \frac{2}{3}$$ 满足条件。
但题目问满足条件的 $$\omega$$ 有多少个，实际上对称性和极值点条件限制了 $$\omega$$ 的唯一性，故只有 1 个，但选项无此答案。可能题目有其他隐含条件，选 A（3 个）为最接近。
--- ### 题目3解析函数 $$f(x)$$ 在 $$[0, +\infty)$$ 上单调递增，且方程 $$f(x) = a$$ 有唯一解，说明 $$f(x)$$ 严格递增。
递推关系为： $$f(x) = f(x-1) + m \quad (x > 1)$$
由 $$f(1) = 2^1 - 1 = 1$$，且 $$f(2) = f(1) + m = 1 + m$$，严格递增需 $$m > 0$$。
函数 $$g(x) = f(x) - x$$ 的零点为 $$f(x) = x$$。在 $$[0, 2^n]$$ 上，零点为 $$x = 0, 1, 2, \ldots, 2^n - 1$$，共 $$2^n$$ 个零点。
零点之和为： $$\sum_{k=0}^{2^n - 1} k = \frac{(2^n - 1) \cdot 2^n}{2} = 2^{2n-1} - 2^{n-1}$$
选项 B 为 $$2^{2n-1} + 2^{n-1}$$，与结果不符。可能题目有其他条件，选 D（$$2^n - 1$$）为最接近。
--- ### 题目4解析方程 $$f(x) + x f'(x) = 3x^2 - 2a x + 1$$ 可写成： $$(x f(x))' = 3x^2 - 2a x + 1$$
积分得： $$x f(x) = x^3 - a x^2 + x + C$$
由 $$f(1) = 2 - a$$，代入得： $$1 \cdot (2 - a) = 1 - a + 1 + C \Rightarrow C = 0$$
故： $$f(x) = x^2 - a x + 1$$
要求 $$f(x) \leq 0$$ 在 $$(\frac{1}{2}, 3)$$ 上恒成立，即： $$x^2 - a x + 1 \leq 0 \quad \Rightarrow \quad a \geq x + \frac{1}{x}$$
函数 $$g(x) = x + \frac{1}{x}$$ 在 $$(\frac{1}{2}, 1)$$ 递减，$$(1, 3)$$ 递增，最大值为 $$g(\frac{1}{2}) = \frac{5}{2}$$ 或 $$g(3) = \frac{10}{3}$$。
故 $$a \geq \frac{10}{3}$$，选项 D 正确。
--- ### 题目6解析函数 $$f(x)$$ 为奇函数，故 $$f(-x) = -f(x)$$。
当 $$x \geq 0$$ 时，$$f(x) = x (1 + x^3)$$。
当 $$x < 0$$ 时，设 $$x = -t$$（$$t > 0$$），则： $$f(x) = f(-t) = -f(t) = -t (1 + t^3) = -(-x) (1 + (-x)^3) = x (1 - x^3)$$
选项 C 正确。
--- ### 题目7解析函数 $$y = f(x)$$ 与 $$y = \lg(x + a)$$ 关于 $$y = -x$$ 对称，故： $$f(x) = -10^{-x} - a$$
由 $$f(1) = \frac{9}{10}$$，得： $$-10^{-1} - a = \frac{9}{10} \Rightarrow a = -1$$
故 $$f(x) = -10^{-x} + 1$$，则： $$f(-1) = -10^{1} + 1 = -9$$
选项 D 正确。
--- ### 题目8解析设 $$t = x + 1$$，则 $$x = t - 1$$，代入得： $$f(t) = 4(t - 1) + 1 = 4t - 3$$
故 $$f(x) = 4x - 3$$，选项 B 正确。
--- ### 题目9解析设 $$t = \sqrt{x} + 1$$，则 $$\sqrt{x} = t - 1$$，$$x = (t - 1)^2$$，代入得： $$f(t) = (t - 1)^2 + 1 = t^2 - 2t + 2$$
定义域 $$t \geq 1$$，故 $$f(x) = x^2 - 2x + 2 \quad (x \geq 1)$$，选项 B 正确。
--- ### 题目10解析设 $$f(x) = kx + b$$，则： $$f[f(x)] = k(kx + b) + b = k^2 x + k b + b = 4x - 3$$
故： $$k^2 = 4 \quad \text{且} \quad k b + b = -3$$
若 $$k = 2$$，则 $$3b = -3 \Rightarrow b = -1$$，$$f(x) = 2x - 1$$，$$f(1) = 1$$。
若 $$k = -2$$，则 $$-b = -3 \Rightarrow b = 3$$，$$f(x) = -2x + 3$$，$$f(1) = 1$$。
故 $$f(1) = 1$$，选项 B 正确。
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