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正确率19.999999999999996%高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数$$f ( x )=[ x ]$$称为高斯函数，其中$${{x}{∈}{R}{，}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，例如$$[-1. 1 ]=-2， \， \， \， [ 2. 5 ]=2，$$则方程$$[ 2 x+1 ]+[ x ]=4 x$$的所有解的和为（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{7} {4}$$
2、['分段函数与方程、不等式问题'， '分段函数的图象'， '函数零点的值或范围问题']正确率19.999999999999996%函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{aligned} {} & {{} \frac{1} {2^{x}}， x \leqslant0} \\ {} & {{} 2 \operatorname{s i n} \! \left( 2 x+\frac{\pi} {6} \right)， 0 < x < \pi} \\ \end{aligned} \right.$$若$$x_{1}， x_{2}， x_{3}$$是方程$$f ( x )+a=0$$三个不同的根，则$$x_{1}+x_{2}+x_{3}$$的范围是（）
B
A.$$\left(-1， \frac{\pi} {2} \right)$$
B.$$\left( \frac{\pi} {3}-1， \frac{\pi} {3} \right)$$
C.$$\left( \frac{\pi} {3}-1， \frac{\pi} {3}+1 \right)$$
D.$$\left( \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {6}+1 \right)$$
3、['分段函数的图象'， '函数性质的综合应用'， '函数零点的值或范围问题']正确率60.0%函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {c} {| \mathrm{l g} x |， \; \; 0 < x < 1 0} \\ {-\frac{1} {2} x+6， \; \; x > 1 0} \\ \end{array} \right.$$，若$$f \left( \begin{matrix} {a} \\ \end{matrix} \right) ~=f \left( \begin{matrix} {b} \\ \end{matrix} \right) ~=f \left( \begin{matrix} {c} \\ \end{matrix} \right)$$且$$a， ~ b， ~ c$$互不相等，则$${{a}{b}{c}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( \; 1， \; \; 1 0 )$$
B.$$( \， \mathbf{1 0}， \， \mathbf{\Lambda1 2} )$$
C.$$( 5， ~ 6 )$$
D.$$( \ 2 0， \ 2 4 )$$
4、['函数零点的值或范围问题'， '分段函数的图象']正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {1-x， x \leqslant0} \\ {\operatorname{l o g}_{2} x， x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$$f ( f ( x ) )=m$$有两个不同的实数根$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，则$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}}$$的取值范围为（）
A
A.$$[ 2， 3 )$$
B.$$( 2， 3 )$$
C.$$[ 2 \operatorname{l n} \; 2， 4 )$$
D.$$( 2 \operatorname{l n} \， 2， 4 )$$
5、['对数（型）函数的单调性'， '指数式的大小的比较'， '函数的对称性'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%下列说法中，正确的个数是
$${①}$$任取$${{x}{>}{0}}$$，均有$${{3}^{x}{>}{{2}^{x}}}$$；
$${②}$$在同一坐标系中，$${{y}{=}{{2}^{x}}}$$与$$y=2^{-x}$$的图象关于$${{y}}$$轴对称；
$${③}$$函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{5} ( x^{2}-2 x )$$的单调增区间是$$( 1，+\infty) \， ;$$
$${④}$$若方程$$| \operatorname{l o g}_{2} x |=2-x$$的两个根分别为$${{α}{，}{β}{，}}$$则$$\alpha\beta< 1.$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['函数零点所在区间的判定'， '函数零点的概念'， '函数零点存在定理'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的零点为$${{x}_{1}}$$，函数$$g ( x )=4^{x}+2 x-2$$的零点为$${{x}_{2}}$$，若$$| x_{1}-x_{2} | > \frac1 4，$$则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$可以是（）
C
A.$$f ( x )=2 x-\frac{1} {2}$$
B.$$f ( x )=-x^{2}+x-\frac{1} {4}$$
C.$$f ( x )=1-1 0^{x}$$
D.$$f ( x )=\operatorname{l n} ( 8 x-2 )$$
7、['分段函数与方程、不等式问题'， '函数零点的值或范围问题']正确率19.999999999999996%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\left\{\begin{matrix} {| l n x |， 0 < x \leq1 0} \\ {f ( 2 0-x )， 1 0 < x < 2 0} \\ \end{matrix} \right.$$设方程$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=t \ ( t \in R )$$的四个不等实根从小到大依次为$$x_{1}， ~ x_{2}， ~ x_{3}， ~ x_{4}$$，则下列判断中错误的是（）
C
A.$$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=4 0$$
B.$$x_{1} x_{2}=1$$
C.$$x_{3} x_{4}=3 6 1$$
D.$$x_{3} x_{4}-2 0 \， ( \， x_{3}+x_{4} \， ) \， \， \，+3 9 9=0$$
8、['根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点个数的判定'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%已知$${{M}}$$是函数$$f \ ( \ x ) \ =e^{-2 | x-1 |}+2 \operatorname{s i n} [ \pi\ ( \ x-\frac{1} {2} ) \ ]$$在$$x \in[-3， ~ 5 ]$$上的所有零点之和，则$${{M}}$$的值为（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{0}}$$
9、['函数零点的值或范围问题']正确率60.0%函数$$f \left( x \right)=x^{2}-3 x-4$$的零点是（）
D
A.$$( 1，-4 )$$
B.$$( 4，-1 )$$
C.$${{1}{，}{−}{4}}$$
D.$${{4}{，}{−}{1}}$$
10、['对数的运算性质'， '分段函数求值'， '函数零点的值或范围问题']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {e^{x-1}-1， \ x < 2} \\ {\operatorname{l o g}_{3} \frac{x^{2}-1} {3}， x \geqslant2} \\ \end{matrix} \right.$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的零点为（）
A
A.$${{1}{，}{2}}$$
B.$${{1}{，}{−}{2}}$$
C.$${{2}{，}{−}{2}}$$
D.$$1， ~ 2， ~-2$$
1. 解析：
设 $$x = n + \theta$$，其中 $$n \in \mathbb{Z}$$，$$0 \leq \theta < 1$$。代入方程 $$[2x + 1] + [x] = 4x$$ 得：
$$[2n + 2\theta + 1] + [n + \theta] = 4n + 4\theta$$
分情况讨论：
- 当 $$0 \leq \theta < \frac{1}{2}$$ 时，$$[2n + 2\theta + 1] = 2n$$，$$[n + \theta] = n$$，方程化简为 $$3n = 4n + 4\theta$$，无解。
- 当 $$\frac{1}{2} \leq \theta < 1$$ 时，$$[2n + 2\theta + 1] = 2n + 1$$，$$[n + \theta] = n$$，方程化简为 $$3n + 1 = 4n + 4\theta$$，解得 $$\theta = \frac{1 - n}{4}$$。
结合 $$\frac{1}{2} \leq \theta < 1$$，得 $$n = 0$$ 时 $$\theta = \frac{1}{4}$$（舍去，不满足 $$\theta \geq \frac{1}{2}$$）；$$n = -1$$ 时 $$\theta = \frac{1}{2}$$，此时 $$x = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$$。
验证 $$x = -\frac{1}{2}$$ 满足原方程，且为唯一解。和为 $$-\frac{1}{2}$$，但选项无此答案。重新检查发现 $$n = 0$$ 时 $$\theta = \frac{1}{4}$$ 不满足，$$n = -1$$ 时 $$\theta = \frac{1}{2}$$ 是唯一解，故和为 $$-\frac{1}{2}$$，但选项无，可能是题目描述有误或选项不全。
重新考虑 $$x$$ 为整数情况：设 $$x = n$$，则 $$[2n + 1] + [n] = 4n$$，即 $$2n + 1 + n = 4n$$，解得 $$n = 1$$。验证 $$x = 1$$ 满足方程。
综上，解为 $$x = -\frac{1}{2}$$ 和 $$x = 1$$，和为 $$\frac{1}{2}$$，选 $$\boxed{A}$$。
2. 解析：
方程 $$f(x) + a = 0$$ 即 $$f(x) = -a$$。分析函数 $$f(x)$$：
- 当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) = \frac{1}{2^x}$$，单调递减，值域为 $$[1, +\infty)$$。
- 当 $$0 < x < \pi$$ 时，$$f(x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6})$$，值域为 $$[-2, 2]$$。
若 $$-a \in [1, +\infty)$$，即 $$a \leq -1$$，$$f(x) = -a$$ 在 $$x \leq 0$$ 有唯一解 $$x_1 = -\log_2(-a)$$。
若 $$-a \in (0, 2]$$，即 $$-2 \leq a < 0$$，$$f(x) = -a$$ 在 $$0 < x < \pi$$ 有两个解 $$x_2, x_3$$，满足 $$2x + \frac{\pi}{6} = \arcsin\left(-\frac{a}{2}\right)$$ 或 $$\pi - \arcsin\left(-\frac{a}{2}\right)$$。
因此，$$x_1 + x_2 + x_3 = -\log_2(-a) + \frac{\pi}{3}$$。由 $$-2 \leq a < -1$$，得 $$1 < -a \leq 2$$，$$0 < \log_2(-a) \leq 1$$，故 $$x_1 + x_2 + x_3 \in \left(\frac{\pi}{3} - 1, \frac{\pi}{3}\right)$$，选 $$\boxed{B}$$。
3. 解析：
函数 $$f(x)$$ 的图像如下：
- 当 $$0 < x < 10$$ 时，$$f(x) = |\lg x|$$，在 $$(0, 1)$$ 递减，$$(1, 10)$$ 递增，$$f(1) = 0$$，$$f(10) = 1$$。
- 当 $$x > 10$$ 时，$$f(x) = -\frac{1}{2}x + 6$$，递减，$$f(10) = 1$$，$$f(12) = 0$$。
设 $$f(a) = f(b) = f(c) = k$$，则 $$k \in (0, 1)$$。由对称性，$$a \cdot b = 1$$，且 $$c \in (10, 12)$$。因此 $$abc = c \in (10, 12)$$，选 $$\boxed{B}$$。
4. 解析：
方程 $$f(f(x)) = m$$ 有两个不同的实数根 $$x_1, x_2$$。分析 $$f(x)$$：
- 当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) = 1 - x$$，值域为 $$[1, +\infty)$$。
- 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = \log_2 x$$，值域为 $$(-\infty, +\infty)$$。
设 $$f(x) = t$$，则 $$f(t) = m$$。若 $$t \leq 0$$，则 $$f(t) = 1 - t = m$$，即 $$t = 1 - m$$；若 $$t > 0$$，则 $$f(t) = \log_2 t = m$$，即 $$t = 2^m$$。
因此，$$f(x) = 1 - m$$ 或 $$f(x) = 2^m$$。为使 $$f(f(x)) = m$$ 有两个不同的根，需 $$1 - m > 0$$ 且 $$2^m > 0$$，且 $$f(x) = 1 - m$$ 和 $$f(x) = 2^m$$ 各有一个解。
解得 $$x_1 = 1 - (1 - m) = m$$（$$x_1 \leq 0$$），$$x_2 = 2^{2^m}$$（$$x_2 > 0$$）。因此 $$x_1 + x_2 = m + 2^{2^m}$$，由 $$m \in (0, 1)$$，得 $$x_1 + x_2 \in (2, 3)$$，选 $$\boxed{B}$$。
5. 解析：
逐项分析：
- ① 当 $$x > 0$$ 时，$$3^x > 2^x$$ 成立，正确。
- ② $$y = 2^x$$ 与 $$y = 2^{-x}$$ 关于 $$y$$ 轴对称，正确。
- ③ $$f(x) = \log_5(x^2 - 2x)$$ 的增区间为 $$(2, +\infty)$$，$$(1, +\infty)$$ 错误。
- ④ 方程 $$|\log_2 x| = 2 - x$$ 的两个根 $$\alpha, \beta$$ 满足 $$\alpha\beta = 1$$，故 $$\alpha\beta < 1$$ 错误。
综上，正确的有 2 个，选 $$\boxed{B}$$。
6. 解析：
函数 $$g(x) = 4^x + 2x - 2$$ 的零点 $$x_2$$ 满足 $$4^{x_2} + 2x_2 - 2 = 0$$，解得 $$x_2 \approx 0.4$$。
要求 $$|x_1 - x_2| > \frac{1}{4}$$，即 $$x_1 < 0.15$$ 或 $$x_1 > 0.65$$。
选项分析：
- A：$$f(x) = 2x - \frac{1}{2}$$ 的零点 $$x_1 = 0.25$$，不满足。
- B：$$f(x) = -x^2 + x - \frac{1}{4}$$ 无实数零点。
- C：$$f(x) = 1 - 10^x$$ 的零点 $$x_1 = 0$$，满足 $$|0 - 0.4| > \frac{1}{4}$$。
- D：$$f(x) = \ln(8x - 2)$$ 的零点 $$x_1 = \frac{3}{8} = 0.375$$，不满足。
选 $$\boxed{C}$$。
7. 解析：
函数 $$f(x)$$ 在 $$(0, 10]$$ 为 $$|\ln x|$$，在 $$(10, 20)$$ 为 $$f(20 - x)$$，对称于 $$x = 10$$。
设 $$t \in (0, 1)$$，方程 $$f(x) = t$$ 的四个根满足 $$x_1 x_2 = 1$$，$$x_3 + x_4 = 20$$，且 $$(x_3 - 10)(x_4 - 10) = 1$$，即 $$x_3 x_4 - 20(x_3 + x_4) + 399 = 0$$。
选项 C 错误，因为 $$x_3 x_4 = 400 - 1 = 399$$，而非 361。选 $$\boxed{C}$$。
8. 解析：
函数 $$f(x) = e^{-2|x-1|} + 2\sin[\pi(x - \frac{1}{2})]$$ 的零点满足 $$e^{-2|x-1|} = -2\sin[\pi(x - \frac{1}{2})]$$。
由于 $$e^{-2|x-1|} \in (0, 1]$$，$$-2\sin[\pi(x - \frac{1}{2})] \in [-2, 2]$$，故零点位于 $$\sin[\pi(x - \frac{1}{2})] < 0$$ 的区域。
通过图像分析，零点对称分布，和为 $$8$$，选 $$\boxed{C}$$。
9. 解析：
函数 $$f(x) = x^2 - 3x - 4$$ 的零点为 $$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$$，即 $$x = 4$$ 或 $$x = -1$$，选 $$\boxed{D}$$。
10. 解析：
函数 $$f(x)$$ 的零点满足：
- 当 $$x < 2$$ 时，$$e^{x-1} - 1 = 0$$，解得 $$x = 1$$。
- 当 $$x \geq 2$$ 时，$$\log_3 \frac{x^2 - 1}{3} = 0$$，即 $$\frac{x^2 - 1}{3} = 1$$，解得 $$x = 2$$ 或 $$x = -2$$（舍去）。
因此，零点为 $$1$$ 和 $$2$$，选 $$\boxed{A}$$。