利用函数单调性比较大小-函数的拓展与综合知识点回顾进阶选择题自测题答案-江西省等高一数学必修,平均正确率48.0%

1. 比较 $$a = x_2 \sin x_1$$ 和 $$b = x_1 \sin x_2$$ 的大小关系，其中 $$0 < x_1 < x_2 < 1$$。

解析：构造函数 $$f(x) = \frac{\sin x}{x}$$，求导得 $$f'(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$$。在 $$(0, 1)$$ 区间内，$$x < \tan x$$，故 $$f'(x) < 0$$，即 $$f(x)$$ 单调递减。因此，对于 $$x_1 < x_2$$，有 $$\frac{\sin x_1}{x_1} > \frac{\sin x_2}{x_2}$$，即 $$x_2 \sin x_1 > x_1 \sin x_2$$，所以 $$a > b$$。答案为 A。

2. 函数 $$f(x)$$ 在 $$(-1, +\infty)$$ 上单调递增，且 $$y = f(x-1)$$ 为偶函数，比较 $$f\left(-\frac{11}{2}\right)$$、$$f(-4)$$、$$f(3)$$ 的大小。

解析：由 $$y = f(x-1)$$ 为偶函数，得 $$f(x-1) = f(-x-1)$$，即 $$f(x) = f(-x-2)$$。因此，$$f(-4) = f(2)$$，$$f\left(-\frac{11}{2}\right) = f\left(\frac{7}{2}\right)$$。由于 $$f(x)$$ 在 $$(-1, +\infty)$$ 上单调递增，且 $$2 < 3 < \frac{7}{2}$$，故 $$f(-4) < f(3) < f\left(-\frac{11}{2}\right)$$。答案为 D。

3. 函数 $$f(x)$$ 是偶函数，且在 $$(-\infty, 0]$$ 上单调递增，比较 $$f(-3)$$、$$f(\sqrt{7})$$、$$f(\pi)$$ 的大小。

解析：由于 $$f(x)$$ 是偶函数，有 $$f(-3) = f(3)$$。又 $$f(x)$$ 在 $$(-\infty, 0]$$ 上单调递增，故在 $$[0, +\infty)$$ 上单调递减。因为 $$0 < \sqrt{7} < 3 < \pi$$，所以 $$f(\pi) < f(3) < f(\sqrt{7})$$，即 $$f(\pi) < f(-3) < f(\sqrt{7})$$。答案为 B。

4. 比较三角函数的大小。

解析：

A. $$\tan \frac{7\pi}{8} = \tan\left(\pi - \frac{\pi}{8}\right) = -\tan \frac{\pi}{8} < 0$$，而 $$\tan \frac{\pi}{6} > 0$$，故 A 错误。

B. $$\cos \frac{15\pi}{8} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{\pi}{8}$$，$$\cos \frac{14\pi}{9} = \cos\left(2\pi - \frac{4\pi}{9}\right) = \cos \frac{4\pi}{9}$$。由于 $$\frac{\pi}{8} < \frac{4\pi}{9}$$ 且余弦函数在 $$(0, \pi)$$ 上单调递减，故 $$\cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{4\pi}{9}$$，即 B 错误。

C. $$\cos 515^\circ = \cos 155^\circ$$，$$\cos 530^\circ = \cos 170^\circ$$。由于 $$155^\circ < 170^\circ$$ 且余弦函数在 $$(0, \pi)$$ 上单调递减，故 $$\cos 155^\circ > \cos 170^\circ$$，即 C 错误。

D. $$\sin 250^\circ = \sin(-70^\circ) = -\sin 70^\circ$$，$$\sin 260^\circ = \sin(-80^\circ) = -\sin 80^\circ$$。由于 $$\sin 70^\circ > \sin 80^\circ$$，故 $$-\sin 70^\circ < -\sin 80^\circ$$，即 $$\sin 250^\circ < \sin 260^\circ$$，D 错误。

综上，无正确选项，但题目要求选择正确选项，可能是题目描述有误。

5. 已知 $$a > b > 0$$，判断选项的正确性。

解析：

A. $$\frac{b}{a} < \frac{a}{b}$$，因为 $$a > b > 0$$，故 A 错误。

B. $$2^a > 2^b$$，因为指数函数单调递增，故 B 错误。

C. $$a b > b^2$$，因为 $$a > b > 0$$，两边乘以正数 $$b$$ 得 $$a b > b^2$$，故 C 正确。

D. $$\ln b < \ln a$$，因为对数函数单调递增，故 D 错误。

答案为 C。

6. 奇函数 $$f(x)$$ 在 $$[0, +\infty)$$ 上单调递减，比较 $$a = -f(\log_2 3)$$、$$b = f(\log_2 3)$$、$$c = f(\log_3 2)$$ 的大小。

解析：由奇函数性质，$$a = -f(\log_2 3) = f(-\log_2 3)$$。因为 $$\log_2 3 > 1$$，$$0 < \log_3 2 < 1$$，且 $$f(x)$$ 在 $$[0, +\infty)$$ 上单调递减，故 $$f(\log_2 3) < f(\log_3 2) < f(0) = 0$$。因此，$$f(-\log_2 3) > f(\log_3 2) > f(\log_2 3)$$，即 $$a > c > b$$。答案为 C。

7. 函数 $$f(x) = x^2 + |x - m|$$ 是偶函数，比较 $$a = f(\log_{\frac{1}{3}} e)$$、$$b = f(\log_3 \pi)$$、$$c = f(e^m)$$ 的大小。

解析：由偶函数性质，$$f(x) = f(-x)$$，代入得 $$|x - m| = |-x - m|$$，解得 $$m = 0$$。因此，$$f(x) = x^2 + |x|$$。计算得：

$$a = f(\log_{\frac{1}{3}} e) = f(-\ln 3) = (\ln 3)^2 + \ln 3$$，

$$b = f(\log_3 \pi) = (\log_3 \pi)^2 + \log_3 \pi$$，

$$c = f(e^0) = f(1) = 1 + 1 = 2$$。

由于 $$\ln 3 > 1$$，$$\log_3 \pi > 1$$，且 $$(\ln 3)^2 + \ln 3 > (\log_3 \pi)^2 + \log_3 \pi > 2$$，故 $$a > b > c$$。答案为 D。

8. 奇函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(x+2) + f(x) = 0$$，且在 $$[0, 1]$$ 上 $$f(x) = \log_2 (x+1)$$，比较 $$f(\log_2 7)$$、$$f(-5)$$、$$f(6)$$ 的大小。

解析：由 $$f(x+2) = -f(x)$$，得 $$f(x+4) = f(x)$$，即周期为 4。计算：

$$f(-5) = -f(5) = -f(1) = -\log_2 2 = -1$$，

$$f(6) = f(2) = -f(0) = 0$$，

$$f(\log_2 7) = f(\log_2 7 - 4)$$（因为 $$\log_2 7 \approx 2.807$$）。

由于 $$f(x)$$ 在 $$[0, 1]$$ 上单调递增，且 $$f(\log_2 7 - 4)$$ 的值接近于 $$f(-1.193)$$，由奇函数性质 $$f(-1.193) = -f(1.193)$$。由于 $$f(1.193)$$ 的值在 $$(0, 1)$$ 之间，故 $$f(\log_2 7)$$ 的值在 $$(-1, 0)$$ 之间。因此，$$f(-5) < f(\log_2 7) < f(6)$$。答案为 C。

9. 比较 $$a = \log_{0.9} 1.1$$、$$b = 0.9^{1.1}$$、$$c = 1.1^{0.9}$$ 的大小。

解析：

$$a = \log_{0.9} 1.1 < 0$$（因为 $$0.9 < 1$$ 且 $$1.1 > 1$$），

$$b = 0.9^{1.1} \approx 0.9$$，

$$c = 1.1^{0.9} \approx 1.1$$。

因此，$$c > b > a$$。答案为 B。

10. 偶函数 $$f(x)$$ 在 $$(-\infty, 0)$$ 上单调递减，比较 $$a = f(\log_2 \frac{1}{5})$$、$$b = f(\log_2 4.1)$$、$$c = f(2^{0.8})$$ 的大小。

解析：由偶函数性质，$$f(x) = f(-x)$$，且在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递增。计算：

$$a = f(-\log_2 5) = f(\log_2 5)$$，

$$b = f(\log_2 4.1)$$，

$$c = f(2^{0.8})$$。

因为 $$2^{0.8} \approx 1.741$$，$$\log_2 4.1 \approx 2.034$$，$$\log_2 5 \approx 2.321$$，且 $$f(x)$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递增，故 $$c < b < a$$。答案为 D。