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正确率40.0%关于函数$${{y}{=}{l}{n}{（}{\sqrt {{9}{{x}^{2}}{+}{1}}}{−}{3}{x}{）}}$$有如下命题：
$${①{f}{（}{a}{）}{>}{f}{（}{b}{）}{⇒}{a}{<}{b}}$$；
$${②}$$函数图象关于原点中心对称；
$${③}$$函数是定义域与值域相同；
$${④}$$函数图象经过第二$${、}$$四象限．
其中正确命题的个数是（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
2、['函数的综合问题'， '函数零点个数的判定']正确率40.0%下列四个函数中，使得方程$${{f}{[}{f}{(}{x}{)}{]}{=}{x}}$$的实根个数恰为$${{4}}$$的是（）
D
A.$${{f}{(}{x}{)}{=}{2}{{x}^{2}}{+}{x}}$$
B.$${{f}{(}{x}{)}{=}{{2}^{x}}}$$
C.$$f ( x )=\frac{1} {x^{3}}$$
D.$${{f}{(}{x}{)}{=}{|}{3}{x}{−}{1}{|}}$$
3、['函数的综合问题'， '必要不充分条件'， '常见函数的零点']正确率60.0%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{x}^{2}}{+}{a}{x}{+}{b}{{(}{a}{，}{b}{∈}{R}{)}}}$$，则$$\epsilon c b \leq-\frac{1} {4} "$$是$${{“}}$$关于$${{x}}$$的方程$${{f}{(}{f}{(}{x}{)}{)}{=}{0}}$$有四个不同实根，且存在两根之和等于$${{−}{1}{”}}$$的
B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4、['函数的综合问题'， '函数的对称性'， '函数零点的概念'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{x}{|}{x}{−}{2}{|}}$$，直线$${{y}{=}{a}}$$与函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象有三个交点$${{A}{、}{B}{、}{C}}$$，它们的横坐标分别为$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}{{x}_{3}}}$$，则$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}{+}{{x}_{3}}}$$的取值范围是（）
B
A.$${{(}{3}{，}{4}{+}{\sqrt {2}}{)}}$$
B.$${{(}{4}{，}{3}{+}{\sqrt {2}}{)}}$$
C.$${{(}{3}{，}{4}{+}{\sqrt {2}}{]}}$$
D.$${{R}}$$
5、['函数的综合问题'， '函数的周期性'， '函数零点个数的判定']正确率60.0%已知函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$对一切实数$${{x}}$$，满足$${{f}{(}{x}{+}{2}{)}{=}{f}{(}{x}{)}}$$，当$${{x}{∈}{[}{−}{1}{，}{1}{]}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}{=}{{x}^{2}}}$$，那么函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的图象与$${{y}{=}{|}{l}{n}{x}{|}}$$的图象的交点个数为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['函数的综合问题'， '指数方程与指数不等式的解法'， '函数中的恒成立问题']正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$满足对于任意实数$${{m}{，}{n}}$$，总有$${{f}{（}{m}{+}{n}{）}{=}{f}{（}{m}{）}{f}{（}{n}{）}}$$，其中$${{f}{（}{x}{）}{≠}{0}{，}{f}{（}{3}{）}{=}{8}}$$，且当$${{x}{>}{0}}$$时$$f^{\left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)} > 1， \ g ( x )=\frac{3 f ( x-1 )+1} {f ( x-1 )+1}$$，若$$g ( x ) \geqslant g ( 2-x )+\frac2 3$$，则实数$${{x}}$$的取值范围为（）
B
A.$${{x}{⩾}{1}}$$
B.$${{x}{⩾}{2}}$$
C.$${{x}{⩾}{3}}$$
D.$${{x}{⩾}{4}}$$
7、['函数的综合问题'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=l o g_{\frac{1} {2}} \ \left( \begin{matrix} {2-x} \\ \end{matrix} \right) \ -1 o g_{2} \ \left( \begin{matrix} {x+4} \\ \end{matrix} \right)$$，则下列结论中正确的是（）
B
A.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的定义域是$${{[}{−}{4}{，}{2}{]}}$$
B.函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{−}{1}{）}}$$是偶函数
C.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在区间$${{[}{−}{1}{，}{2}{）}}$$上是减函数
D.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象关于直线$${{x}{=}{1}}$$轴对称
8、['函数的综合问题'， '导数与极值']正确率60.0%函数$${{y}{=}{x}{|}{x}{(}{x}{−}{3}{)}{|}{+}{1}}$$（）
B
A.极大值为$${{f}{(}{2}{)}{=}{5}}$$，极小值为$${{f}{(}{0}{)}{=}{1}}$$
B.极大值为$${{f}{(}{2}{)}{=}{5}}$$，极小值为$${{f}{(}{3}{)}{=}{1}}$$
C.极大值为$${{f}{(}{2}{)}{=}{5}}$$，极小值为$${{f}{(}{0}{)}{=}{f}{(}{3}{)}{=}{1}}$$
D.极大值为$${{f}{(}{2}{)}{=}{5}}$$，极小值为$${{f}{(}{3}{)}{=}{1}{，}{f}{(}{−}{1}{)}{=}{−}{3}}$$
9、['函数的综合问题']正确率40.0%设函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{a}{{x}^{3}}{+}{b}{{x}^{2}}{+}{c}{x}{+}{d}{（}{a}{≠}{0}{）}}$$，若$${{0}{<}{2}{f}{（}{2}{）}{=}{3}{f}{（}{3}{）}{=}{4}{f}{（}{4}{）}{<}{1}}$$，则$${{f}{（}{1}{）}{+}{f}{（}{5}{）}}$$的取值范围是（）
A
A.$${（{0}{，}{1}{）}}$$
B.$${（{1}{，}{2}{）}}$$
C.$${（{2}{，}{3}{）}}$$
D.$${（{3}{，}{4}{）}}$$
10、['函数的综合问题'， '函数零点个数的判定']正确率19.999999999999996%当$${{x}{∈}{[}{0}{，}{1}{]}}$$时，下列关于函数$${{y}{=}{(}{m}{x}{−}{1}{{)}^{2}}}$$的图象与$${{y}{=}{\sqrt {{x}{+}{m}}}}$$的图象的交点个数的说法正确的是（）
B
A.当$${{m}{∈}{[}{0}{，}{1}{]}}$$时，有两个交点
B.当$${{m}{∈}{(}{1}{，}{2}{]}}$$时，没有交点
C.当$${{m}{∈}{(}{2}{，}{3}{]}}$$时，有且只有一个交点
D.当$${{m}{∈}{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$时，有两个交点
### 第一题解析 **函数分析**：函数为 $$y = \ln(\sqrt{9x^2 + 1} - 3x)$$。 1. **命题①**：分析单调性。 设 $$g(x) = \sqrt{9x^2 + 1} - 3x$$，求导得 $$g'(x) = \frac{9x}{\sqrt{9x^2 + 1}} - 3$$。 当 $$x > 0$$ 时，$$g'(x) < 0$$；当 $$x < 0$$ 时，$$g'(x) > 0$$，说明 $$g(x)$$ 在 $$x < 0$$ 时递增，在 $$x > 0$$ 时递减。 由于 $$y = \ln(g(x))$$，其单调性与 $$g(x)$$ 一致。因此，若 $$f(a) > f(b)$$，则 $$a < b$$ 成立。 **结论**：①正确。 2. **命题②**：验证奇函数性质。 计算 $$f(-x) = \ln(\sqrt{9x^2 + 1} + 3x)$$。 注意到 $$f(x) + f(-x) = \ln(1) = 0$$，故 $$f(x)$$ 为奇函数，图像关于原点对称。 **结论**：②正确。 3. **命题③**：定义域与值域分析。 定义域要求 $$\sqrt{9x^2 + 1} - 3x > 0$$，对所有实数 $$x$$ 成立，故定义域为 $$(-\infty, +\infty)$$。 值域分析：当 $$x \to +\infty$$，$$f(x) \to -\infty$$；当 $$x \to -\infty$$，$$f(x) \to +\infty$$，且 $$f(x)$$ 连续，故值域为 $$(-\infty, +\infty)$$。 **结论**：③正确。 4. **命题④**：图像象限分析。 当 $$x > 0$$，$$f(x)$$ 递减且 $$f(0) = 0$$，故 $$x > 0$$ 时 $$f(x) < 0$$（第四象限）； 当 $$x < 0$$，$$f(x)$$ 递增且 $$f(0) = 0$$，故 $$x < 0$$ 时 $$f(x) > 0$$（第二象限）。 **结论**：④正确。 **最终答案**：所有命题均正确，选 $$\boxed{A}$$。 --- ### 第二题解析 **目标**：找到满足 $$f(f(x)) = x$$ 有 4 个实根的 $$f(x)$$。 1. **选项A**：$$f(x) = 2x^2 + x$$。 解 $$f(f(x)) = x$$ 得四次方程，可能有多于 4 个实根，不符合。 2. **选项B**：$$f(x) = 2^x$$。 方程 $$2^{2^x} = x$$ 无实解，不符合。 3. **选项C**：$$f(x) = \frac{1}{x^3}$$。 解 $$f(f(x)) = x$$ 即 $$x^9 = x$$，有 3 个实根（$$x = 0, \pm 1$$），不符合。 4. **选项D**：$$f(x) = |3x - 1|$$。 分情况讨论： - 当 $$3x - 1 \geq 0$$，方程为 $$|3(3x - 1) - 1| = x$$，解得 $$x = \frac{4}{9}, \frac{2}{3}$$。 - 当 $$3x - 1 < 0$$，方程为 $$|3(-3x + 1) - 1| = x$$，解得 $$x = \frac{2}{9}, \frac{4}{3}$$。 共 4 个实根，符合要求。 **最终答案**：选 $$\boxed{D}$$。 --- ### 第三题解析 **条件分析**：$$f(x) = x^2 + ax + b$$，要求 $$f(f(x)) = 0$$ 有四个不同实根，且存在两根之和为 $$-1$$。 1. **必要条件**：设 $$f(x) = t$$，则 $$t^2 + at + b = 0$$ 需有两个不同实根 $$t_1, t_2$$，且 $$f(x) = t_1$$ 和 $$f(x) = t_2$$ 各有两个不同实根。 因此，判别式 $$\Delta = a^2 - 4b > 0$$，且 $$t_1 + t_2 = -a$$，$$t_1 t_2 = b$$。 2. **两根之和条件**：设 $$x_1 + x_2 = -1$$，由 $$f(x) = t$$ 的根性质，$$x_1 + x_2 = -a$$，故 $$-a = -1 \Rightarrow a = 1$$。 但进一步推导发现更一般的情况可能成立，需综合判别式和根的性质。 3. **充分性验证**：若 $$b \leq -\frac{1}{4}$$，结合 $$a$$ 的取值，可满足上述条件，但非充分。 实际需更严格条件，如 $$a^2 - 4b > 0$$ 且 $$b < -\frac{1}{4}$$。 **结论**：条件是必要的，但不充分，选 $$\boxed{B}$$。 --- ### 第四题解析 **函数分析**：$$f(x) = x|x - 2|$$，与 $$y = a$$ 有三个交点。 1. **分段函数**： - 当 $$x \geq 2$$，$$f(x) = x^2 - 2x$$； - 当 $$x < 2$$，$$f(x) = -x^2 + 2x$$。 2. **交点条件**：$$y = a$$ 与 $$f(x)$$ 相交三次，需 $$a$$ 在极小值和极大值之间。 极大值为 $$f(1) = 1$$，极小值为 $$f(2) = 0$$，故 $$0 < a < 1$$。 3. **根的和**：设三个交点为 $$x_1, x_2, x_3$$，其中 $$x_1 < 0$$，$$0 < x_2 < 2$$，$$x_3 > 2$$。 由对称性和函数性质，$$x_1 + x_2 + x_3 = 2 + x_3$$，且 $$x_3$$ 随 $$a$$ 增大而增大。 当 $$a \to 0^+$$，$$x_3 \to 2$$，和趋近于 4； 当 $$a \to 1^-$$，$$x_3 \to 1 + \sqrt{2}$$，和趋近于 $$3 + \sqrt{2}$$。 **最终答案**：范围为 $$(4, 3 + \sqrt{2})$$，选 $$\boxed{B}$$。 --- ### 第五题解析 **函数性质**：$$f(x)$$ 是周期为 2 的函数，且在 $$[-1, 1]$$ 上为 $$x^2$$。 1. **图像绘制**：$$f(x)$$ 在 $$[2k - 1, 2k + 1]$$ 上为 $$(x - 2k)^2$$，其中 $$k \in \mathbb{Z}$$。 2. **交点分析**：与 $$y = |\ln x|$$ 的交点需满足 $$(x - 2k)^2 = |\ln x|$$。 在 $$x \in (0, 1]$$，$$|\ln x|$$ 从 $$+\infty$$ 递减到 0，与 $$f(x)$$ 在 $$[0, 1]$$ 上有一个交点。 在 $$x \in [1, e]$$，$$|\ln x|$$ 从 0 递增到 1，与 $$f(x)$$ 在 $$[1, 3]$$ 上有两个交点。 更高区间无更多交点。 **最终答案**：共 3 个交点，选 $$\boxed{C}$$。 --- ### 第六题解析 **函数性质**：$$f(m + n) = f(m)f(n)$$，且 $$f(3) = 8$$，故 $$f(x) = 2^x$$。 1. **表达式转换**：$$g(x) = \frac{3 \cdot 2^{x-1} + 1}{2^{x-1} + 1}$$。 2. **不等式求解**：$$g(x) \geq g(2 - x) + \frac{2}{3}$$。 化简得 $$\frac{3 \cdot 2^{x-1} + 1}{2^{x-1} + 1} \geq \frac{3 \cdot 2^{1-x} + 1}{2^{1-x} + 1} + \frac{2}{3}$$。 通过变量替换和代数运算，解得 $$x \geq 1$$。 **最终答案**：选 $$\boxed{A}$$。 --- ### 第七题解析 **函数分析**：$$f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(2 - x) - \log_2(x + 4)$$。 1. **定义域**：$$2 - x > 0$$ 且 $$x + 4 > 0$$，即 $$-4 < x < 2$$。选项 A 错误。 2. **偶函数验证**：$$y = f(x - 1)$$ 的定义域不对称，非偶函数。选项 B 错误。 3. **单调性**：$$f(x)$$ 在定义域内递减，选项 C 正确。 4. **对称性**：$$f(x)$$ 不关于 $$x = 1$$ 对称，选项 D 错误。 **最终答案**：选 $$\boxed{C}$$。 --- ### 第八题解析 **函数分析**：$$y = x|x(x - 3)| + 1$$。 1. **分段讨论**： - 当 $$x \geq 3$$ 或 $$x \leq 0$$，$$y = x^3 - 3x^2 + 1$$； - 当 $$0 < x < 3$$，$$y = -x^3 + 3x^2 + 1$$。 2. **极值点**： - 在 $$0 < x < 3$$，求导得 $$y' = -3x^2 + 6x$$，极值点为 $$x = 2$$（极大值 5）和 $$x = 0$$（极小值 1）。 - 在 $$x \leq 0$$ 或 $$x \geq 3$$，极值点为 $$x = 0$$ 和 $$x = 3$$（均为 1）。 **最终答案**：选 $$\boxed{C}$$。 --- ### 第九题解析 **函数性质**：$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$，且 $$2f(2) = 3f(3) = 4f(4) = k$$。 1. **方程组建立**：设 $$f(x)$$ 在 $$x = 2, 3, 4$$ 处值为 $$\frac{k}{2}, \frac{k}{3}, \frac{k}{4}$$。 通过插值或待定系数法，解得 $$f(x)$$ 的表达式。 2. **求和范围**：计算 $$f(1) + f(5)$$ 与 $$k$$ 的关系，结合 $$0 < k < 1$$，得 $$f(1) + f(5) \in (1, 2)$$。 **最终答案**：选 $$\boxed{B}$$。 --- ### 第十题解析 **交点分析**：$$y = (mx - 1)^2$$ 与 $$y = \sqrt{x + m}$$ 在 $$x \in [0, 1]$$ 的交点。 1. **选项A**：$$m \in [0, 1]$$ 时，可能有一个或两个交点，不总是两个。 2. **选项B**：$$m \in (1, 2]$$ 时，可能有交点。 3. **选项C**：$$m \in (2, 3]$$ 时，可能有一个交点。 4. **选项D**：$$m \in (3, +\infty)$$ 时，可能无交点。 **验证**：通过具体 $$m$$ 值代入发现选项 C 符合。 **最终答案**：选 $$\boxed{C}$$。 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱