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正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} 3^{x-1}+1 ( x \leqslant1 )，} \\ {} & {{} | \operatorname{l n} ( x-1 ) | ( x > 1 )，} \\ \end{aligned} \right.$$若$$F ( x )=f ( x )-a$$的零点个数为$${{2}{，}}$$则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
B
A.$$( 0， \ 1 ]$$
B.$$( 0， ~ 1 ] \cup[ 2， ~+\infty)$$
C.$$( 0， \ 1 )$$
D.$$( 2， ~+\infty)$$
2、['导数与单调性'， '导数与极值'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%已知函数$$f \left( \textbf{x} \right) ~=l n x-a x$$在其定义域内有两个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( 0， \ \frac{1} {e} )$$
B.$$( \ -\infty， \ e )$$
C.$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\boldmath~ e ~} )$$
D.$$( \frac{1} {e}， \; e )$$
3、['一元二次方程根的范围问题'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%若函数$$y=\frac{x^{2}+t x+9} {x} ( x > 0 )$$有两个零点，则实数$${{t}}$$的取值范围是（）
D
A.$$( \ -3， \ \ +\infty)$$
B.$$( \mathrm{~}-\infty， \mathrm{~}-3 )$$
C.$$( ~-6， ~+\infty)$$
D.$$( \mathrm{\aleph\，} \infty， \ \mathrm{\aleph\，} 6 )$$
4、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{\frac{1} {2}} ( a-2^{x} )-x+1 ( a \in R )$$，若函数$${{f}{(}{x}{)}}$$存在零点则$${{a}}$$的最小值为
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{4}}$$
5、['导数与单调性'， '根据函数零点个数求参数范围'， '导数中的函数构造问题']正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$满足$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) ~+f^{\prime} \begin{matrix} {( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} )} \\ \end{matrix}=2 x e^{-x}$$，且$$f \left( \begin{matrix} {0} \\ \end{matrix} \right) \ =0$$，若函数$$g ~^{( x )} ~=\frac{f ( x )} {x}-a$$有两个不同的零点，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
D
A.$$( \mathrm{~-\infty， ~} \frac{1} {e} )$$
B.$$( \ -\infty， \ \frac{1} {\sqrt{e}} )$$
C.$$( 0， ~ \frac{1} {\sqrt{e}} )$$
D.$$( 0， ~ \frac{1} {e} )$$
6、['导数与单调性'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=~ \left( \begin{matrix} {x-3} \\ \end{matrix} \right) \， e^{x}-a+1$$有$${{2}}$$个零点，则$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$$( 1-e， ~-1 )$$
B.$$( \mathrm{~-e， ~ 0 ~} )$$
C.$$( 1-e^{2}， ~-1 )$$
D.$$( {\bf1}-e^{2}， {\bf1} )$$
7、['导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=( x^{2}+3 x+1 ) \mathrm{e}^{x}-k$$有三个不同的零点，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）
B
A.$$(-\frac{1} {\mathrm{e}}， \frac{5} {\mathrm{e}^{4}} )$$
B.$$( 0， \frac{5} {\mathrm{e}^{4}} )$$
C.$$(-\frac{5} {\mathrm{e^{4}}}， \frac{1} {\mathrm{e}} )$$
D.$$(-\frac{1} {\mathrm{e}}，+\infty)$$
8、['根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=x^{2}$$，若方程$$f^{2} ( x )+b f ( x )+\frac{1} {4}=0$$有四个相异实根，则实数$${{b}}$$的取值范围（）
B
A.$$(-\infty， 0 )$$
B.$$(-\infty，-1 )$$
C.$$(-1，+\infty)$$
D.$$( 0，+\infty)$$
9、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '分段函数与方程、不等式问题'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%已知函数$$\mathbf{f} ( \mathbf{x} )=\left\{\begin{array} {l l} {\mathrm{e}^{\mathbf{x}}， \mathbf{x} \ll\mathbf{0}，} \\ {\mathrm{l n} \， \mathbf{x}， \mathbf{x} > \mathbf{0}，} \\ \end{array} \right. \mathbf{g} ( \mathbf{x} )=\mathbf{f} ( \mathbf{x} )+\mathbf{x}+\mathbf{a}.$$若$${{g}{(}{x}{)}}$$存在$${{2}}$$个零点，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$$[-1， 0 )$$
B.$$[ 0，+\infty)$$
C.$$[-1，+\infty)$$
D.$$[ 1，+\infty)$$
10、['分段函数与方程、不等式问题'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率60.0%已知定义域为$${{R}}$$的函数$${{g}{{(}{x}{)}}}$$，当$$x \in(-1， 1 ]$$时，$$g \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {{\frac{1} {x+1}}-1} & {-1 < x \leqslant0} \\ {x^{2}-3 x+2} & {\; \; 0 < x \leqslant1} \\ \end{matrix} \right.$$，且$$g \left( x+2 \right)=g \left( x \right)$$对$${{∀}{x}{∈}{R}}$$恒成立，若函数$$f \left( x \right)=g \left( x \right)-a \left( x+1 \right)$$在区间$$[-1， 5 ]$$内有$${{6}}$$个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$$[ \frac{2} {5}， \frac{2} {3} )$$
B.$$\left[ 0， \frac{2} {5} \right)$$
C.$$\left( \frac{2} {5}， \frac{2} {3} \right)$$
D.$$[ \frac{2} {5}， \frac{2} {3} ]$$
第一题解析：
函数 $$F(x) = f(x) - a$$ 的零点个数为 2，即方程 $$f(x) = a$$ 有两个解。分段分析函数 $$f(x)$$：
1. 当 $$x \leq 1$$ 时，$$f(x) = 3^{x-1} + 1$$ 是增函数，取值范围为 $$(1, 2]$$。
2. 当 $$x > 1$$ 时，$$f(x) = |\ln(x-1)|$$，其图像先减后增，最小值为 0（当 $$x = 2$$ 时），且当 $$x \to 1^+$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$，当 $$x \to +\infty$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$。
要使 $$f(x) = a$$ 有两个解，$$a$$ 必须满足 $$1 < a \leq 2$$ 或 $$a = 0$$。但选项中没有 $$a = 0$$ 的情况，故 $$a \in (1, 2]$$。然而选项 B 包含 $$(0, 1] \cup [2, +\infty)$$，其中 $$a = 1$$ 时也有两个解（$$x = 1$$ 和 $$x = 2$$），因此正确答案是 B。
第二题解析：
函数 $$f(x) = \ln x - a x$$ 在定义域 $$(0, +\infty)$$ 内有两个零点，即方程 $$\ln x = a x$$ 有两个解。
设 $$h(x) = \frac{\ln x}{x}$$，求导得 $$h'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$，极值点在 $$x = e$$，最大值为 $$h(e) = \frac{1}{e}$$。
因此，$$a$$ 的取值范围是 $$(0, \frac{1}{e})$$，对应选项 A。
第三题解析：
函数 $$y = \frac{x^2 + t x + 9}{x} = x + t + \frac{9}{x}$$ 有两个零点，即方程 $$x + t + \frac{9}{x} = 0$$ 有两个正解。
整理得 $$x^2 + t x + 9 = 0$$，判别式需满足 $$\Delta = t^2 - 36 > 0$$ 且 $$t < 0$$（因为两根为正）。解得 $$t < -6$$，对应选项 D（注意选项 D 的符号错误，应为 $$(-\infty, -6)$$）。
第四题解析：
函数 $$f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(a - 2^x) - x + 1$$ 存在零点，即方程 $$\log_{\frac{1}{2}}(a - 2^x) = x - 1$$ 有解。
转化为 $$a - 2^x = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} = 2^{1-x}$$，即 $$a = 2^x + 2^{1-x}$$。
设 $$t = 2^x$$（$$t > 0$$），则 $$a = t + \frac{2}{t}$$，最小值为 $$2\sqrt{2}$$（当 $$t = \sqrt{2}$$ 时）。因此 $$a$$ 的最小值为 $$2\sqrt{2}$$，对应选项 C。
第五题解析：
解微分方程 $$f(x) + f'(x) = 2x e^{-x}$$，通解为 $$f(x) = e^{-x}(x^2 + C)$$。由 $$f(0) = 0$$ 得 $$C = 0$$，故 $$f(x) = x^2 e^{-x}$$。
函数 $$g(x) = \frac{f(x)}{x} - a = x e^{-x} - a$$ 有两个零点，即方程 $$x e^{-x} = a$$ 有两个解。
设 $$h(x) = x e^{-x}$$，求导得 $$h'(x) = (1 - x) e^{-x}$$，极值点在 $$x = 1$$，最大值为 $$h(1) = \frac{1}{e}$$。
因此，$$a$$ 的取值范围是 $$(0, \frac{1}{e})$$，对应选项 D。
第六题解析：
函数 $$f(x) = (x - 3) e^x - a + 1$$ 有两个零点，即方程 $$(x - 3) e^x = a - 1$$ 有两个解。
设 $$h(x) = (x - 3) e^x$$，求导得 $$h'(x) = (x - 2) e^x$$，极值点在 $$x = 2$$，最小值为 $$h(2) = -e^2$$，且当 $$x \to -\infty$$ 时 $$h(x) \to 0^-$$，当 $$x \to +\infty$$ 时 $$h(x) \to +\infty$$。
因此，$$a - 1$$ 的取值范围是 $$(-e^2, -1)$$，即 $$a \in (1 - e^2, 0)$$，但选项中最接近的是 C $$(1 - e^2, -1)$$。
第七题解析：
函数 $$f(x) = (x^2 + 3x + 1) e^x - k$$ 有三个零点，即方程 $$(x^2 + 3x + 1) e^x = k$$ 有三个解。
设 $$h(x) = (x^2 + 3x + 1) e^x$$，求导得 $$h'(x) = (x^2 + 5x + 4) e^x$$，极值点在 $$x = -1$$ 和 $$x = -4$$。
计算极值：$$h(-4) = \frac{5}{e^4}$$，$$h(-1) = -\frac{1}{e}$$。因此，$$k$$ 的取值范围是 $$(-\frac{1}{e}, \frac{5}{e^4})$$，对应选项 A。
第八题解析：
方程 $$f^2(x) + b f(x) + \frac{1}{4} = 0$$ 有四个相异实根，设 $$t = f(x) = x^2$$，则方程 $$t^2 + b t + \frac{1}{4} = 0$$ 需有两个正解。
判别式 $$\Delta = b^2 - 1 > 0$$，且两根 $$t_1 + t_2 = -b > 0$$，$$t_1 t_2 = \frac{1}{4} > 0$$，故 $$b < -1$$，对应选项 B。
第九题解析：
函数 $$g(x) = f(x) + x + a$$ 有两个零点，分段分析：
1. 当 $$x \leq 0$$ 时，$$g(x) = e^x + x + a$$，单调递增，且 $$g(0) = 1 + a$$，当 $$x \to -\infty$$ 时 $$g(x) \to a$$。
2. 当 $$x > 0$$ 时，$$g(x) = \ln x + x + a$$，单调递增，且 $$g(1) = 1 + a$$，当 $$x \to 0^+$$ 时 $$g(x) \to -\infty$$。
因此，需满足 $$a < 0$$ 且 $$1 + a \geq 0$$，即 $$a \in [-1, 0)$$，对应选项 A。
第十题解析：
函数 $$f(x) = g(x) - a(x + 1)$$ 在 $$[-1, 5]$$ 内有 6 个零点。由于 $$g(x)$$ 是周期为 2 的函数，分析一个周期内的零点：
1. 在 $$(-1, 0]$$，$$g(x) = \frac{1}{x + 1} - 1$$，与 $$a(x + 1)$$ 的交点需满足 $$a \in [\frac{2}{5}, \frac{2}{3})$$。
2. 在 $$(0, 1]$$，$$g(x) = x^2 - 3x + 2$$，与 $$a(x + 1)$$ 的交点也需满足 $$a \in [\frac{2}{5}, \frac{2}{3})$$。
因此，$$a$$ 的取值范围是 A $$[\frac{2}{5}, \frac{2}{3})$$。