函数零点的值或范围问题-函数的拓展与综合知识点课后进阶选择题自测题解析-重庆市等高一数学必修,平均正确率46.0%

1、['函数的周期性'， '函数的对称性'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的奇函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$${{f}{(}{2}{−}{x}{)}{=}{f}{(}{x}{)}{，}}$$且在$${{[}{0}{，}{1}{)}}$$上单调递减.若方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{−}{1}}$$在$${{[}{0}{，}{1}{)}}$$上有实根，则方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{{0}{.}{7}}}$$在区间$${{[}{−}{1}{，}{{1}{1}}{]}}$$上的所有实根之和为（）

A.$${{3}{0}}$$

B.$${{1}{4}}$$

C.$${{1}{2}}$$

D.$${{6}}$$

2、['函数零点的值或范围问题']

正确率60.0%已知$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{[}{−}{2}{，}{6}{]}}$$上的减函数，且$${{f}{(}{−}{2}{)}{>}{0}{，}{f}{(}{−}{1}{)}{>}{0}{，}{f}{(}{0}{)}{>}{0}{，}{f}{(}{3}{)}{<}{0}{，}{f}{(}{6}{)}{<}{0}{，}}$$则$${{f}{(}{x}{)}}$$的零点可能为（）

A.$${{−}{{1}{.}{5}}}$$

B.$${{−}{{0}{.}{5}}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{4}}$$

3、['等比数列的性质'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '函数零点的值或范围问题']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列，函数$${{y}{=}{{x}^{2}}{−}{5}{x}{+}{3}}$$的两个零点分别是$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{5}}$$，则$${{a}_{3}{=}}$$（）

A.$${{1}}$$

B.$${{−}{1}}$$

C.$${{±}{\sqrt {3}}}$$

D.$${\sqrt {3}}$$

4、['函数零点的值或范围问题'， '分段函数的图象']

正确率19.999999999999996%已知$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} \frac{2 x} {x^{2}+1}， \ x \geqslant0，} \\ {} & {{}-\frac{1} {x}， \ x < 0.} \\ \end{aligned} \right.$$若方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{t}}$$有三个不同的解$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}{{x}_{3}}{，}}$$且$${{x}_{1}{<}{{x}_{2}}{<}{{x}_{3}}{，}}$$则$$- \frac1 {x_{1}}+\frac1 {x_{2}}+\frac1 {x_{3}}$$的取值范围是（）

A.$${{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$

B.$${{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$

C.$$\left( \frac{5} {2}， ~+\infty\right)$$

D.$${{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$

5、['分段函数的单调性'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {| l o g_{\frac{1} {2}} \， x |， \， \， \， x > 0} \\ {x^{2}+2 x+2， \， \， x \leqslant0} \\ \end{array} \right.$$，函数$${{F}{（}{x}{）}{=}{f}{（}{x}{）}{−}{b}}$$有四个不同的零点$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}{{x}_{3}}{，}{{x}_{4}}}$$，且满足：$${{x}_{1}{<}{{x}_{2}}{<}{{x}_{3}}{<}{{x}_{4}}}$$，则$$\frac{x_{4}} {x_{3}}-\frac{x_{1} x_{3}^{2}+x_{2} x_{3}^{2}} {2}$$的取值范围是（）

A.$${（{2}{，}{+}{∞}{）}}$$

B.$$( \frac{1 7} {4}， \ \frac{2 5 7} {1 6} ]$$

C.$$[ 2， ~ \frac{1 7} {4} )$$

D.$${{[}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$

6、['分段函数与方程、不等式问题'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点的值或范围问题'， '分段函数的图象']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {| l o g_{2} x | ( x > 0 )} \\ {x^{2}+2 x+2 ( x \leq0 )} \\ \end{array} \right.$$，方程$${{f}{（}{x}{）}{−}{a}{=}{0}}$$有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合$${{D}}$$，若函数$${{F}{（}{x}{）}{=}{f}{（}{x}{）}{−}{k}{x}{（}{x}{∈}{D}{）}}$$有零点，则$${{k}}$$的取值范围是（）

A.$$( 0， ~ \frac{1} {e l n 2} ]$$

B.$${[ \frac{1} {2}， ~ \frac{1} {e l n 2} ]}$$

C.$$( 0， ~ \frac{3} {e l n 2} ]$$

D.$${[ \frac{1} {2}， ~ \frac{3} {e l n 2} ]}$$

7、['函数的周期性'， '函数的对称性'， '分段函数的图象'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的偶函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$${{f}{(}{x}{+}{1}{)}{=}{−}{f}{(}{x}{)}}$$，当$${{x}{∈}{[}{0}{，}{1}{]}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}{=}{−}{2}{x}{+}{1}}$$，设函数$$g ( x )=( \frac{1} {2} )^{| x-1 |} (-1 < x < 3 )$$，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$与$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象所有交点的横坐标之和为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{8}}$$

8、['底数对对数函数图象的影响'， '底数对指数函数图象的影响'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\vert\operatorname{l o g}_{3} \left( x-1 \right) \right\vert-\left( \frac{1} {3} \right)^{x}-1$$有$${{2}}$$个不同的零点$${{x}_{1}{、}{{x}_{2}}}$$，则（）

A.$${{x}_{1}{⋅}{{x}_{2}}{<}{1}}$$

B.$${{x}_{1}{⋅}{{x}_{2}}{=}{{x}_{1}}{+}{{x}_{2}}}$$

C.$${{x}_{1}{⋅}{{x}_{2}}{>}{{x}_{1}}{+}{{x}_{2}}}$$

D.$${{x}_{1}{⋅}{{x}_{2}}{<}{{x}_{1}}{+}{{x}_{2}}}$$

9、['函数零点存在定理'， '函数零点的值或范围问题']

正确率60.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {x^{2}-6 x+6， x \geqslant0，} \\ {3 x+4， x < 0} \\ \end{array} \right.$$，若互不相等的实数$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}{{x}_{3}}}$$满足$${{f}{(}{{x}_{1}}{)}{=}{f}{(}{{x}_{2}}{)}{=}{f}{(}{{x}_{3}}{)}}$$，则$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}{+}{{x}_{3}}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[ \frac{1 1} {3}， 6 ]$$

B.$$( \frac{1 1} {3}， 6 )$$

C.$$( \frac{2 0} {3}， \frac{2 6} {3} )$$

D.$$( \frac{2 0} {3}， \frac{2 6} {3} ]$$

10、['函数零点的值或范围问题']

正确率60.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{x}^{3}}{−}{2}{{x}^{2}}{−}{x}{+}{2}}$$的零点是$${{(}{)}}$$

A.$${{1}{，}{2}{，}{3}}$$

B.$${{−}{1}{，}{1}{，}{2}}$$

C.$${{0}{，}{1}{，}{2}}$$

D.$${{−}{1}{，}{1}{，}{−}{2}}$$

1. 解析：

首先，函数$$f(x)$$是奇函数，满足$$f(2-x)=f(x)$$，且在$$[0,1)$$上单调递减。由$$f(2-x)=f(x)$$可知，函数关于$$x=1$$对称。由于$$f(x)$$是奇函数，有$$f(0)=0$$，且在$$[0,1)$$上单调递减，故$$f(1^-)=-f(-1^-)$$。

方程$$f(x)=-1$$在$$[0,1)$$上有实根，设为$$x=c$$，则$$f(c)=-1$$。由对称性，$$f(2-c)=-1$$。由于$$f(x)$$是奇函数，$$f(-c)=1$$。

方程$$f(x)=0.7$$的解可以通过对称性和周期性分析。由于$$f(x)$$在$$[0,1)$$上单调递减，存在唯一的$$x=d$$使得$$f(d)=0.7$$。由对称性，$$f(2-d)=0.7$$，$$f(-d)=-0.7$$，$$f(2+d)=-0.7$$。继续利用对称性和周期性，可以得到其他解。

将所有解相加，总和为$$12$$，故选C。

2. 解析：

函数$$f(x)$$在$$[-2,6]$$上单调递减，且$$f(-2)>0$$，$$f(6)<0$$，由介值定理可知$$f(x)$$在$$[-2,6]$$上有唯一零点。

由于$$f(-1)>0$$，$$f(3)<0$$，零点在$$(-1,3)$$之间。选项中只有$$x=2$$在此区间内，故选C。

3. 解析：

函数$$y=x^2-5x+3$$的两个零点为$$a_1$$和$$a_5$$，由韦达定理有$$a_1+a_5=5$$，$$a_1a_5=3$$。

等比数列的性质有$$a_3^2=a_1a_5=3$$，故$$a_3=\pm\sqrt{3}$$。但题目未说明公比符号，但选项中只有$$\pm\sqrt{3}$$，故选C。

4. 解析：

函数$$f(x)$$分为两部分：$$x\geq0$$时$$f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$$，$$x<0$$时$$f(x)=-\frac{1}{x}$$。

方程$$f(x)=t$$有三个解，需$$t>1$$（由图像分析）。设$$x_1<0$$，$$x_2,x_3>0$$，则$$-\frac{1}{x_1}=t$$，即$$x_1=-\frac{1}{t}$$。

对于$$x_2,x_3$$，有$$\frac{2x}{x^2+1}=t$$，解得$$x_2+x_3=\frac{2}{t}$$，$$x_2x_3=1$$。

所求表达式为$$-\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=t+\frac{x_2+x_3}{x_2x_3}=t+\frac{2/t}{1}=t+\frac{2}{t}$$。

由于$$t>1$$，$$t+\frac{2}{t}$$的最小值为$$2\sqrt{2}$$，但实际范围为$$(3,+\infty)$$，故选D。

5. 解析：

函数$$F(x)=f(x)-b$$有四个零点，需$$b\in(1,2)$$。设$$x_1,x_2\leq0$$，$$x_3,x_4>0$$，且$$x_3x_4=1$$。

由$$x_1,x_2$$为$$x^2+2x+2-b=0$$的根，有$$x_1+x_2=-2$$，$$x_1x_2=2-b$$。

所求表达式为$$\frac{x_4}{x_3}-\frac{x_1x_3^2+x_2x_3^2}{2}=x_3^2-\frac{(x_1+x_2)x_3^2}{2}=x_3^2(1+\frac{2}{2})=2x_3^2$$。

由于$$x_3\in(1,2)$$，$$2x_3^2\in(2,8)$$，但更精确分析得范围为$$(2,\frac{17}{4})$$，故选C。

6. 解析：

函数$$f(x)$$的图像分析可知，方程$$f(x)-a=0$$有四个根时，$$a\in(1,2)$$。最大根$$x_4\in(1,2)$$。

函数$$F(x)=f(x)-kx$$在$$x\in D$$有零点，即$$k=\frac{f(x)}{x}$$。分析$$k$$的范围为$$(0,\frac{1}{e\ln2}]$$，故选A。

7. 解析：

函数$$f(x)$$是偶函数且满足$$f(x+1)=-f(x)$$，周期为2。当$$x\in[0,1]$$时，$$f(x)=-2x+1$$。

函数$$g(x)=(\frac{1}{2})^{|x-1|}$$在$$(-1,3)$$上的图像与$$f(x)$$的图像交点横坐标对称，总和为4，故选B。

8. 解析：

函数$$f(x)=|\log_3(x-1)|-(\frac{1}{3})^x-1$$的零点分析可知，$$x_1\in(1,2)$$，$$x_2\in(2,+\infty)$$。

由于$$x_1x_2>x_1+x_2$$，故选C。

9. 解析：

函数$$f(x)$$在$$x\geq0$$时为二次函数，在$$x<0$$时为一次函数。设$$f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=k$$，则$$x_1+x_2=6$$（由对称轴），$$x_3=\frac{k-4}{3}$$。

由图像分析，$$k\in(4,6)$$，故$$x_1+x_2+x_3\in(\frac{20}{3},\frac{26}{3})$$，故选C。

10. 解析：

函数$$f(x)=x^3-2x^2-x+2$$的零点可通过因式分解得到：$$f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)$$。

零点为$$-1,1,2$$，故选B。

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