函数图象的识别-函数的拓展与综合知识点考前基础选择题自测题答案-天津市等高一数学必修,平均正确率60.0%

1. 分析函数 $$f(x)=\frac{2x \sin x}{x^2+1}$$：

- **奇偶性**：$$f(-x)=-f(x)$$，为奇函数，图象关于原点对称。

- **零点**：当 $$x=0$$ 或 $$\sin x=0$$ 时，$$f(x)=0$$，即 $$x=k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$）。

- **渐近行为**：当 $$x \to \pm\infty$$，分母 $$x^2+1$$ 主导，$$f(x) \approx \frac{2\sin x}{x}$$，振幅逐渐衰减。

- **选项匹配**：由于图象未提供，需选择符合奇函数、零点和衰减特征的选项。

2. 分析函数 $$f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{3} \cos 2x$$：

- **偶函数**：$$f(-x)=f(x)$$，图象关于 $$y$$ 轴对称。

- **振幅变化**：$$\frac{e^x+e^{-x}}{3}$$ 随 $$|x|$$ 增大而增大，$$\cos 2x$$ 为周期性振荡。

- **零点**：由 $$\cos 2x=0$$ 决定，即 $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$$（$$k \in \mathbb{Z}$$）。

- **选项匹配**：需选择偶函数、振幅增大且周期性振荡的图象。

3. 分析函数 $$y=x(\sin x - \sin 2x)$$：

- **奇函数**：$$y(-x)=-y(x)$$，图象关于原点对称。

- **零点**：$$x=0$$ 或 $$\sin x = \sin 2x$$，后者解得 $$x=k\pi$$ 或 $$x=\frac{\pi}{3}+2k\pi$$。

- **振荡行为**：由于 $$\sin x$$ 和 $$\sin 2x$$ 叠加，形成复杂振荡。

- **选项匹配**：选择奇函数且零点符合的图象。

4. 分析函数 $$f(x)=\frac{e^x}{x+1}$$：

- **定义域**：$$x \neq -1$$，在 $$x=-1$$ 处有垂直渐近线。

- **极限行为**：当 $$x \to -1^-$$，$$f(x) \to -\infty$$；当 $$x \to -1^+$$，$$f(x) \to +\infty$$。

- **单调性**：导数 $$f'(x)=\frac{e^x(x)}{(x+1)^2}$$，在 $$x=0$$ 处有临界点。

- **选项匹配**：选择有垂直渐近线且单调性变化的图象。

5. 分析函数 $$f(x)=\ln|x-1|$$：

- **定义域**：$$x \neq 1$$，在 $$x=1$$ 处有垂直渐近线。

- **单调性**：当 $$x>1$$，单调递增；当 $$x<1$$，单调递减。

- **极限行为**：当 $$x \to 1$$，$$f(x) \to -\infty$$。

- **选项匹配**：选择符合定义域和单调性的图象。

7. 分析函数 $$y=|x+1|-|x-1|$$：

- **分段讨论**：
- 当 $$x \leq -1$$，$$y=-(x+1)+(x-1)=-2$$。
- 当 $$-1 < x < 1$$，$$y=(x+1)+(x-1)=2x$$。
- 当 $$x \geq 1$$，$$y=(x+1)-(x-1)=2$$。

- **图象特征**：由两条水平线（$$y=-2$$ 和 $$y=2$$）和一条斜线（$$y=2x$$）组成。

- **选项匹配**：选择符合分段线性特征的图象。

8. 分析函数 $$y=-x \cos x$$：

- **奇函数**：$$y(-x)=-y(x)$$，图象关于原点对称。

- **零点**：当 $$x=0$$ 或 $$\cos x=0$$，即 $$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$。

- **振荡行为**：振幅随 $$|x|$$ 线性增大。

- **选项匹配**：选择奇函数且振幅线性增长的振荡图象。

9. 分析函数 $$y=2^{|\log_2 x|}$$：

- **定义域**：$$x>0$$。

- **分段简化**：
- 当 $$x \geq 1$$，$$\log_2 x \geq 0$$，故 $$y=2^{\log_2 x}=x$$。
- 当 $$0 < x < 1$$，$$\log_2 x < 0$$，故 $$y=2^{-\log_2 x}=x^{-1}$$。

- **图象特征**：由反比例函数（$$x \in (0,1)$$）和直线（$$x \geq 1$$）组成。

- **选项匹配**：选择符合分段定义的图象。