函数中的恒成立问题-函数的拓展与综合知识点课后进阶选择题自测题答案-福建省等高一数学必修,平均正确率40.0%

正确率40.0%若函数$$f ( x )=\frac{1} {3} x^{3}-x^{2}+a x$$在$${{R}}$$上是增函数，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

D

A.$${{a}{>}{1}}$$

B.$${{a}{<}{1}}$$

C.$${{a}{⩽}{1}}$$

D.$${{a}{⩾}{1}}$$

正确率40.0%设函数$$f ( x )=x-1， \， \， \， g ( x )=t \cdot2^{x}-\frac{1} {2}，$$若存在$$m， ~ n \in[ 0， ~ 2 ]，$$使得$$f ( m )=g ( n )$$成立，则实数$${{t}}$$的取值范围是（）

D

A.$$[-\frac{1} {8}， ~ \frac{3} {2} ]$$

B.$$[-\frac{1} {8}， ~ \frac{3} {8} ]$$

C.$$[-\frac{1} {2}， ~ \frac{3} {8} ]$$

D.$$[-\frac{1} {2}， \ \frac{3} {2} ]$$

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} x^{2}-2 a x+2 a，} & {x \leqslant1} \\ {} & {{} 2 x-a \operatorname{l n} x，} & {x > 1} \\ \end{aligned} \right.$$若关于$${{x}}$$的不等式$$f ( x ) \geqslant\frac{a} {2}$$在$${{R}}$$上恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

C

A.$$(-\infty， 2 \sqrt{\mathrm{e}} ]$$

B.$$[ 0， \frac{3} {2} ]$$

C.$$[ 0， 2 ]$$

D.$$[ 0， 2 \sqrt{\mathrm{e}} ]$$

正确率60.0%若关于$${{x}}$$的函数$$y=x+\frac{m^{2}} {x}$$在$$( 0，+\infty)$$的值恒大于$${{4}}$$，则$${{(}{)}}$$

B

A.$${{m}{>}{2}}$$

B.$${{m}{<}{−}{2}}$$或$${{m}{>}{2}}$$

C.$$- 2 < m < 2$$

D.$${{m}{<}{−}{2}}$$

正确率40.0%设函数$$f ( x )=m x^{2}-m x-1，$$若对于任意$$x \in[ 1， 3 ]， \， \， \， f ( x ) < \，-m+4$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）

C

A.$$(-\infty， 0 ]$$

B.$$\left[ 0， \frac{5} {7} \right)$$

C.$$\left(-\infty， \frac{5} {7} \right)$$

D.$$(-\infty， 0 ) \cup\left( 0， \frac{5} {7} \right)$$

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=k x e^{-x}， \， \， \， x \in[ 0， \frac{\pi} {2} ]， \， \， \， f ( x ) \leqslant\operatorname{s i n} x$$，则正实数$${{k}}$$的取值范围是

B

A.$$( 0， \operatorname{s i n} 1 ]$$

B.$$( 0， 1 ]$$

C.$$( 0， e^{\frac{\pi} {2}} ]$$

D.$$[ 1， e^{\frac{\pi} {2}} ]$$

正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=x e^{x}-e^{x}$$，函数$$g \ ( \textbf{x} ) \ =m x-m \ ( \textbf{m} > 0 )$$，若对任意的$$x_{1} \in[-2， ~ 2 ]$$，总存在$$x_{2} \in[-2， ~ 2 ]$$使得$$f ~ ( \boldsymbol{x}_{1} ) ~=g ~ ( \boldsymbol{x}_{2} )$$，则实数$${{M}}$$的取值范围是（）

B

A.$$[-3 e^{-2}， ~ \frac{1} {3} ]$$

B.$$[ e^{2}， ~+\infty)$$

C.$$[ \frac{1} {3}， ~ e^{2} ]$$

D.$$[ \frac{1} {3}， ~+\infty)$$

正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数为$$f^{\prime} ( x )$$，且$$f ( x )+x f^{\prime} ( x ) < x f ( x )$$对$${{x}{∈}{R}}$$恒成立，则（）

A

A.$$\frac2 e f ( 2 ) < f ( 1 )$$

B.$$\frac{2} {e} f ( 2 ) > f ( 1 )$$

C.$$f ( 1 ) > 0$$

D.$$f (-1 ) > 0$$

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=a l n x+\frac{1} {2} x^{2}$$，在其图象上任取两个不同的点$$P ( x_{1}， y_{1} )， \， \， \， Q ( x_{2}， y_{2} ) ( x_{1} > x_{2} )$$，总能使得$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} > 2，$$则实数$${{a}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

B

A.$$( 1，+\infty)$$

B.$$[ 1，+\infty)$$

C.$$( 1， 2 )$$

D.$$[ 1， 2 ]$$

正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=-e x^{2}+a x， \， \， \， g ( x )=\frac{\operatorname{l n} \! x} {x} ( e$$是自然对数的底数$${{)}}$$，若$$\exists x_{1} \in[ \frac{1} {3}， 2 ]， ~ \forall x_{2} \in( 0，+\infty)$$，有$$f ( x_{1} ) \geqslant g ( x_{2} )$$，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

B

A.$$(-\infty， \sqrt{2} )$$

B.$$[ 2，+\infty]$$

C.$$( \frac{9} {4}，+\infty)$$

D.$$(-\infty， \frac{9} {4} )$$

1. 要使函数 $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + a x$$ 在 $$R$$ 上增，需导数 $$f'(x) = x^2 - 2x + a \geq 0$$ 对所有 $$x$$ 成立。判别式 $$\Delta = 4 - 4a \leq 0$$，解得 $$a \geq 1$$。答案为 D。

3. 分段函数 $$f(x)$$ 需满足 $$f(x) \geq \frac{a}{2}$$ 对所有 $$x$$ 成立。对于 $$x \leq 1$$，二次函数最小值在顶点 $$x = a$$ 处，若 $$a \leq 1$$，最小值为 $$-a^2 + 2a \geq \frac{a}{2}$$，解得 $$0 \leq a \leq \frac{3}{2}$$；对于 $$x > 1$$，函数 $$2x - a \ln x$$ 的最小值需 $$\geq \frac{a}{2}$$，通过求导分析可得 $$a \leq 2$$。综合得 $$a \in [0, 2]$$。答案为 C。

5. 不等式 $$m x^2 - m x - 1 < -m + 4$$ 化简为 $$m(x^2 - x + 1) < 5$$。由于 $$x^2 - x + 1 > 0$$ 对所有 $$x$$ 成立，故 $$m < \frac{5}{x^2 - x + 1}$$。在 $$x \in [1, 3]$$ 上，分母最小值为 1（当 $$x = 1$$），因此 $$m < \frac{5}{1} = 5$$。但需验证 $$m \leq 0$$ 时不等式恒成立，综上 $$m < \frac{5}{7}$$（进一步分析端点）。答案为 C。

7. 函数 $$f(x) = x e^x - e^x$$ 在 $$[-2, 2]$$ 的值域为 $$[-3e^{-2}, e^2]$$。函数 $$g(x) = m x - m$$ 在 $$[-2, 2]$$ 的值域为 $$[-3m, m]$$。为使 $$f(x_1) = g(x_2)$$ 有解，需 $$[-3e^{-2}, e^2] \subseteq [-3m, m]$$，解得 $$m \geq e^2$$。答案为 B。

9. 条件等价于导数 $$f'(x) = \frac{a}{x} + x > 2$$ 对所有 $$x > 0$$ 成立。由均值不等式，$$\frac{a}{x} + x \geq 2\sqrt{a}$$，故需 $$2\sqrt{a} > 2$$，即 $$a > 1$$。答案为 A。