函数求值域-函数的拓展与综合知识点课后进阶自测题解析-福建省等高一数学必修,平均正确率54.0%

1. 函数$$f(x)=\frac{1}{2}\sin x\cos x$$，其中$$\frac{\pi}{8}

化简：$$f(x)=\frac{1}{4}\sin 2x$$，定义域为$$\frac{\pi}{4}<2x<\frac{5\pi}{6}$$。

$$\sin 2x$$在区间$$\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]$$单调递增，在$$\left[\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}\right)$$单调递减。

最大值在$$2x=\frac{\pi}{2}$$处，即$$x=\frac{\pi}{4}$$，$$f_{\max}=\frac{1}{4}\times1=\frac{1}{4}$$。

最小值在端点：当$$2x\to\frac{\pi}{4}^+$$，$$\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$f\to\frac{1}{4}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{8}$$；当$$2x\to\frac{5\pi}{6}^-$$，$$\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}$$，$$f\to\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$$。

由于$$\frac{\sqrt{2}}{8}>\frac{1}{8}$$，且端点不包含，值域为$$\left(\frac{1}{8},\frac{1}{4}\right]$$。

答案：B

2. 已知实数$$x$$，$$y$$满足$$2x-y+2=0$$，求$$\sqrt{(x-9)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2-4x-4y+8}$$的最小值。

化简第二个根式：$$x^2+y^2-4x-4y+8=(x-2)^2+(y-2)^2$$。

原式表示点$$P(x,y)$$到点$$A(9,0)$$和点$$B(2,2)$$的距离之和，且$$P$$在直线$$2x-y+2=0$$上。

求$$A$$关于直线的对称点$$A'$$：设$$A'(a,b)$$，中点在直线上且$$AA'$$与直线垂直。

直线斜率$$k=2$$，$$AA'$$斜率$$-\frac{1}{2}$$，过$$A(9,0)$$：$$y-0=-\frac{1}{2}(x-9)$$。

中点$$M\left(\frac{a+9}{2},\frac{b+0}{2}\right)$$在直线$$2x-y+2=0$$上：$$2\times\frac{a+9}{2}-\frac{b}{2}+2=0$$，即$$2a+18-b+4=0$$，$$2a-b+22=0$$。

$$A'$$在直线$$y=-\frac{1}{2}(x-9)$$上：$$b=-\frac{1}{2}(a-9)$$。

代入：$$2a-(-\frac{1}{2}(a-9))+22=0$$，$$2a+\frac{1}{2}a-\frac{9}{2}+22=0$$，$$\frac{5}{2}a+\frac{35}{2}=0$$，$$a=-7$$，$$b=-\frac{1}{2}(-7-9)=8$$。

$$A'(-7,8)$$，最小距离为$$A'B$$长度：$$\sqrt{(-7-2)^2+(8-2)^2}=\sqrt{81+36}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$$。

答案：A

3. 函数$$g(x)=x^2+m$$是$$(-\infty,0)$$上的正函数，即存在区间$$[a,b]\subseteq(-\infty,0)$$，$$a

由于$$g(x)$$在$$(-\infty,0)$$上单调递减（导数$$2x<0$$），所以$$g(a)=b$$，$$g(b)=a$$。

即$$a^2+m=b$$，$$b^2+m=a$$，两式相减：$$a^2-b^2=b-a$$，$$(a-b)(a+b)=-(a-b)$$。

由于$$a

代入$$b=-1-a$$，由$$a^2+m=-1-a$$，得$$m=-a^2-a-1$$。

$$a$$在$$(-\infty,0)$$内，且$$b=-1-a<0$$，所以$$a>-1$$。

又$$a

所以$$a\in(-1,-\frac{1}{2})$$。

$$m=-a^2-a-1$$，开口向下，对称轴$$a=-\frac{1}{2}$$，在$$(-1,-\frac{1}{2})$$上单调递增。

当$$a\to-1^+$$，$$m\to-1+1-1=-1$$；当$$a\to-\frac{1}{2}^-$$，$$m\to-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{4}$$。

所以$$m\in(-1,-\frac{3}{4})$$。

答案：B

4. 集合$$A=\{y|y=\sqrt{9-x^2}\}$$，$$B=\{y|y=2^x\}$$，求$$A\cap B$$。

$$A:y=\sqrt{9-x^2}\geq0$$，且$$9-x^2\geq0$$，所以$$x\in[-3,3]$$，$$y\in[0,3]$$。

$$B:y=2^x>0$$，值域$$(0,+\infty)$$。

所以$$A\cap B=(0,3]$$。

答案：C

6. 函数$$f(x)=\begin{cases} -\ln x, & 01 \end{cases}$$，且$$0

由于$$f(x)$$在$$(0,1]$$递减（$$-\ln x$$递减），在$$(1,+\infty)$$递减（$$\frac{1}{x}$$递减），且$$f(1)=0$$，$$f(x)\to+\infty$$当$$x\to0^+$$，$$f(x)\to0$$当$$x\to+\infty$$。

所以$$a\in(0,1)$$，$$b\in(1,+\infty)$$，且$$f(a)=f(b)$$即$$-\ln a=\frac{1}{b}$$，所以$$b=\frac{1}{-\ln a}$$。

求$$af(b)+bf(a)=a\cdot\frac{1}{b}+b\cdot(-\ln a)$$。

由$$-\ln a=\frac{1}{b}$$，所以原式$$=\frac{a}{b}+b\cdot\frac{1}{b}=\frac{a}{b}+1$$。

令$$t=-\ln a$$，则$$a=e^{-t}$$，$$b=\frac{1}{t}$$，$$t\in(0,+\infty)$$。

所以$$\frac{a}{b}=e^{-t}\cdot t$$，原式$$=te^{-t}+1$$。

令$$h(t)=te^{-t}+1$$，$$h'(t)=e^{-t}-te^{-t}=e^{-t}(1-t)$$。

当$$t<1$$时$$h'(t)>0$$，$$t>1$$时$$h'(t)<0$$，最大值在$$t=1$$处，$$h(1)=1\cdot e^{-1}+1=\frac{1}{e}+1$$。

当$$t\to0^+$$，$$h(t)\to0+1=1$$；当$$t\to+\infty$$，$$h(t)\to0+1=1$$。

所以$$h(t)\in(1,\frac{1}{e}+1]$$。

答案：C

7. 函数$$y=\frac{3x+1}{x-2}$$，$$x\leq1$$的值域。

化简：$$y=\frac{3x+1}{x-2}=3+\frac{7}{x-2}$$。

由于$$x\leq1$$，$$x-2\leq-1$$，所以$$\frac{7}{x-2}\in[-7,0)$$。

因此$$y=3+\frac{7}{x-2}\in[-4,3)$$。

答案：A

8. 函数$$g(x)=x^2-2$$，$$f(x)=\begin{cases} g(x)+x+4, & x

先解$$x0$$，$$(x-2)(x+1)>0$$，所以$$x<-1$$或$$x>2$$。

$$x\geq g(x)$$即$$-1\leq x\leq2$$。

当$$x<-1$$或$$x>2$$时，$$f(x)=x^2-2+x+4=x^2+x+2$$。

当$$x<-1$$，$$x^2+x+2$$开口向上，对称轴$$x=-\frac{1}{2}$$，在$$x<-1$$递减，$$f(x)>f(-1)=1-1+2=2$$。

当$$x>2$$，递增，$$f(x)>f(2)=4+2+2=8$$。

当$$-1\leq x\leq2$$，$$f(x)=x^2-2-x=x^2-x-2$$，对称轴$$x=\frac{1}{2}$$，最小值$$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2=-\frac{9}{4}$$，最大值在端点：$$f(-1)=1+1-2=0$$，$$f(2)=4-2-2=0$$。

所以值域为$$\left[-\frac{9}{4},0\right]\cup(2,+\infty)$$。

答案：D

9. 函数$$f(x)=\frac{4x-3}{5-2x}$$的值域。

解：$$y=\frac{4x-3}{5-2x}$$，反解$$x$$：$$y(5-2x)=4x-3$$，$$5y-2yx=4x-3$$，$$5y+3=4x+2yx=x(4+2y)$$。

所以$$x=\frac{5y+3}{4+2y}$$，分母$$4+2y\neq0$$，即$$y\neq-2$$。

值域为$$(-\infty,-2)\cup(-2,+\infty)$$。

答案：B