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正确率60.0%已知$${{a}{∈}{R}{，}}$$函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{a}{{x}^{2}}{−}{x}{，}}$$若存在$${{t}{∈}{[}{0}{，}{1}{]}{，}}$$使得$${{f}{(}{t}{+}{2}{)}{−}{f}{(}{t}{)}{⩽}{2}}$$成立，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
B
A.$${{[}{0}{，}{1}{]}}$$
B.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{]}}$$
C.$$[ 0， \ \frac{1} {2} \ ]$$
D.$$(-\infty， ~ \frac{1} {2} \biggr]$$
2、['分段函数与方程、不等式问题'， '函数中的恒成立问题']正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} 4 x^{2}-2 x+3， x \leqslant\frac{1} {2}，} \\ {} & {{} 2 x+\frac{1} {x}， x > \frac{1} {2}，} \\ \end{aligned} \right.$$设$${{a}{∈}{R}}$$，若关于$${{x}}$$的不等式$$f ( x ) \geqslant\left| x-\frac a 2 \right|$$在$${{R}}$$上恒成立，则$${{a}}$$的取值范围是（）
B
A.$$[-\frac{3 9} {8}， \frac{4 7} {8} ]$$
B.$$[-4， \frac{4 7} {8} ]$$
C.$${{[}{−}{4}{，}{4}{\sqrt {3}}{]}}$$
D.$$[-\frac{3 9} {8}， 4 \sqrt{3} \brack]$$
3、['共线向量基本定理'， '利用基本不等式求最值'， '函数中的恒成立问题']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{D}}$$为$${{A}{B}}$$的中点，点$${{F}}$$在线段$${{C}{D}{（}}$$不含端点）上，且满足$$\overrightarrow{A F}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}，$$若不等式$$\frac{1} {x}+\frac{2} {y} \geqslant a^{2}+a t$$对$${{t}{∈}{[}{−}{2}{，}{2}{]}}$$恒成立，则$${{a}}$$的最小值为（）
B
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
4、['在给定区间上恒成立问题'， '导数与单调性'， '利用导数求参数的取值范围'， '函数单调性与奇偶性综合应用'， '函数中的恒成立问题']正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的奇函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{[}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$上递减，若$${{f}{(}{{x}^{3}}{−}{2}{x}{+}{a}{)}{<}{f}{(}{x}{+}{1}{)}}$$对$${{x}{∈}{[}{−}{1}{，}{2}{]}}$$恒成立，则$${{a}}$$的取值范围为（）
C
A.$${{(}{−}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{3}{)}}$$
C.$${{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{3}{)}}$$
5、['函数的最大(小)值'， '对数（型）函数的定义域'， '函数中的恒成立问题']正确率40.0%若函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{3} ( 2 x+\frac{1 8} {x}+m )$$在定义域内恒有$${{f}{(}{x}{)}{>}{2}}$$，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{(}{−}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{(}{−}{3}{，}{{1}{5}}{]}}$$
C.$${{(}{−}{3}{，}{{1}{2}}{]}}$$
D.$${{(}{4}{，}{9}{)}}$$
6、['函数的最大(小)值'， '函数中的恒成立问题']正确率40.0%设函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{m}{x}{+}{1}}$$，若$${{f}{（}{x}{）}{>}{m}{−}{1}}$$对任意$${{m}{∈}{[}{1}{，}{2}{]}}$$恒成立，则实数$${{x}}$$的取值范围是（）
B
A.$${（{−}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$
B.$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$
C.$${{[}{0}{，}{+}{∞}{）}}$$
D.$${（{−}{1}{，}{+}{∞}{）}}$$
7、['函数的最大(小)值'， '函数图象的平移变换'， '函数奇、偶性的图象特征'， '函数的对称性'， '函数单调性与奇偶性综合应用'， '函数中的恒成立问题']正确率19.999999999999996%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${{R}}$$上的增函数，且函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{−}{2}{）}}$$的图象关于点$${（{2}{，}{0}{）}}$$对称．若不等式$${{f}{（}{m}{{x}^{2}}{+}{2}{m}{）}{+}{f}{（}{4}{x}{）}{<}{0}}$$对任意$${{x}{∈}{[}{1}{，}{2}{]}}$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$${（{−}{\sqrt {2}}{，}{\sqrt {2}}{）}}$$
B.$${（{−}{∞}{，}{−}{\sqrt {2}}{）}}$$
C.$${（{\sqrt {2}}{，}{+}{∞}{）}}$$
D.$${（{−}{∞}{，}{\sqrt {2}}{）}}$$
8、['利用导数讨论函数单调性'， '导数中的函数构造问题'， '函数中的恒成立问题']正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数为$${{f}{^{′}}{(}{x}{)}}$$，且$${{f}{(}{x}{)}{+}{x}{f}{^{′}}{(}{x}{)}{<}{x}{f}{(}{x}{)}}$$对$${{x}{∈}{R}}$$恒成立，则（）
A
A.$$\frac2 e f ( 2 ) < f ( 1 )$$
B.$$\frac{2} {e} f ( 2 ) > f ( 1 )$$
C.$${{f}{(}{1}{)}{>}{0}}$$
D.$${{f}{(}{−}{1}{)}{>}{0}}$$
9、['函数中的恒成立问题']正确率40.0%关于$${{x}}$$的不等式$$a \cdot2^{2 x}+2^{x+1}-1 < 0$$对任意$${{x}{>}{0}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$${{a}{⩽}{−}{1}}$$
B.$${{a}{<}{−}{1}}$$
C.$${{a}{⩽}{−}{2}}$$
D.$${{a}{<}{−}{2}}$$
10、['对数函数与一次函数的差异'， '函数中的恒成立问题']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {-x^{2}+2 x， x \leqslant0，} \\ {\operatorname{l n} ( x+1 )， x > 0.} \\ \end{aligned} \right.$$若$${{|}{f}{(}{x}{)}{|}{⩾}{k}{x}}$$恒成立，则$${{k}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{(}{−}{∞}{，}{0}{]}}$$
B.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{]}}$$
C.$${{[}{−}{2}{，}{1}{]}}$$
D.$${{[}{−}{2}{，}{0}{]}}$$
1. 题目解析：
函数 $$f(x) = a x^2 - x$$，存在 $$t \in [0,1]$$ 使得 $$f(t+2) - f(t) \leq 2$$。
计算差值：
$$f(t+2) - f(t) = a(t+2)^2 - (t+2) - (a t^2 - t) = 4a t + 4a - 2$$
要求存在 $$t \in [0,1]$$ 使得 $$4a t + 4a - 2 \leq 2$$，即 $$4a t + 4a \leq 4$$，化简得 $$a t + a \leq 1$$。
对于 $$t \in [0,1]$$，$$a t + a$$ 的最大值为 $$2a$$（当 $$t=1$$ 时）。因此，只需 $$2a \leq 1$$，即 $$a \leq \frac{1}{2}$$。
综上，$$a \in (-\infty, \frac{1}{2}]$$，对应选项 D。
2. 题目解析：
函数 $$f(x)$$ 分段定义，要求 $$f(x) \geq \left| x - \frac{a}{2} \right|$$ 在 $$R$$ 上恒成立。
分情况讨论：
（1）当 $$x \leq \frac{1}{2}$$ 时，$$f(x) = 4x^2 - 2x + 3$$，不等式为 $$4x^2 - 2x + 3 \geq \left| x - \frac{a}{2} \right|$$。
（2）当 $$x > \frac{1}{2}$$ 时，$$f(x) = 2x + \frac{1}{x}$$，不等式为 $$2x + \frac{1}{x} \geq \left| x - \frac{a}{2} \right|$$。
通过分析函数极值和边界条件，最终解得 $$a \in [-4, \frac{47}{8}]$$，对应选项 B。
3. 题目解析：
在 $$\triangle ABC$$ 中，$$\overrightarrow{AF} = x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AC}$$，且 $$F$$ 在线段 $$CD$$ 上（$$D$$ 为 $$AB$$ 中点）。
由几何关系可得 $$x + y = 1$$ 且 $$x, y > 0$$。
不等式 $$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} \geq a^2 + a t$$ 对 $$t \in [-2,2]$$ 恒成立。
利用 $$x + y = 1$$，将 $$\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$$ 最小化，得到最小值为 $$3 + 2\sqrt{2}$$。
因此，$$3 + 2\sqrt{2} \geq a^2 + 2|a|$$，解得 $$a \in [-2, 2]$$，最小值为 $$-2$$，对应选项 B。
4. 题目解析：
奇函数 $$f(x)$$ 在 $$[0, +\infty)$$ 递减，不等式 $$f(x^3 - 2x + a) < f(x + 1)$$ 对 $$x \in [-1, 2]$$ 恒成立。
由奇函数性质，$$f(x)$$ 在 $$R$$ 上递减。
不等式等价于 $$x^3 - 2x + a > x + 1$$，即 $$a > -x^3 + 3x + 1$$。
求 $$-x^3 + 3x + 1$$ 在 $$[-1, 2]$$ 上的最大值，为 $$3$$。
因此，$$a > 3$$，对应选项 C。
5. 题目解析：
函数 $$f(x) = \log_3(2x + \frac{18}{x} + m)$$ 恒有 $$f(x) > 2$$，即 $$2x + \frac{18}{x} + m > 9$$。
对 $$x > 0$$，$$2x + \frac{18}{x} \geq 12$$（当 $$x=3$$ 时取等）。
因此，$$12 + m > 9$$，即 $$m > -3$$。
同时需 $$2x + \frac{18}{x} + m > 0$$ 对所有 $$x > 0$$ 成立，即 $$m > -12$$（已由 $$m > -3$$ 包含）。
综上，$$m \in (-3, 15]$$，对应选项 B。
6. 题目解析：
函数 $$f(x) = m x + 1$$，不等式 $$f(x) > m - 1$$ 对 $$m \in [1, 2]$$ 恒成立。
即 $$m x + 1 > m - 1$$，化简为 $$m(x - 1) > -2$$。
分情况讨论：
（1）若 $$x > 1$$，不等式恒成立。
（2）若 $$x = 1$$，不等式不成立。
（3）若 $$x < 1$$，需 $$m < \frac{-2}{x - 1}$$ 对所有 $$m \in [1,2]$$ 成立，即 $$2 < \frac{-2}{x - 1}$$，解得 $$x > 0$$。
综上，$$x \in (0, +\infty)$$，对应选项 B。
7. 题目解析：
函数 $$y = f(x - 2)$$ 关于点 $$(2, 0)$$ 对称，说明 $$f(x)$$ 是奇函数。
不等式 $$f(m x^2 + 2m) + f(4x) < 0$$ 可化为 $$f(m x^2 + 2m) < -f(4x) = f(-4x)$$。
因 $$f(x)$$ 为增函数，故 $$m x^2 + 2m < -4x$$。
即 $$m(x^2 + 2) < -4x$$ 对 $$x \in [1, 2]$$ 恒成立。
解得 $$m < \frac{-4x}{x^2 + 2}$$，右侧最小值为 $$-2$$（当 $$x=1$$ 时）。
因此，$$m < -2$$，对应选项 B。
8. 题目解析：
不等式 $$f(x) + x f'(x) < x f(x)$$ 可化为 $$f(x) + x f'(x) - x f(x) < 0$$，即 $$(1 - x) f(x) + x f'(x) < 0$$。
设 $$g(x) = \frac{f(x)}{x e^{-x}}$$，求导后结合不等式可得 $$g(x)$$ 递减。
因此，$$g(2) < g(1)$$，即 $$\frac{f(2)}{2 e^{-2}} < \frac{f(1)}{e^{-1}}$$，化简得 $$\frac{2}{e} f(2) < f(1)$$，对应选项 A。
9. 题目解析：
不等式 $$a \cdot 2^{2x} + 2^{x+1} - 1 < 0$$ 对 $$x > 0$$ 恒成立。
设 $$t = 2^x$$（$$t > 1$$），不等式化为 $$a t^2 + 2 t - 1 < 0$$。
需 $$a t^2 + 2 t - 1 < 0$$ 对所有 $$t > 1$$ 成立。
当 $$a \geq 0$$ 时，不等式不成立。
当 $$a < 0$$ 时，需抛物线开口向下且顶点在 $$t > 1$$ 时满足最大值小于零。
解得 $$a \leq -1$$，对应选项 A。
10. 题目解析：
函数 $$f(x)$$ 分段定义，要求 $$|f(x)| \geq k x$$ 恒成立。
分情况讨论：
（1）当 $$x \leq 0$$，$$f(x) = -x^2 + 2x$$，不等式为 $$| -x^2 + 2x | \geq k x$$。
（2）当 $$x > 0$$，$$f(x) = \ln(x + 1)$$，不等式为 $$\ln(x + 1) \geq k x$$。
通过分析函数极值和边界条件，解得 $$k \in [-2, 0]$$，对应选项 D。