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正确率40.0%奇函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$${{R}}$$，若$$f ( x+1 )$$为偶函数，且$$f ( 1 )=2$$，则$$f ( 2 0 2 2 )+f ( 2 0 2 3 )$$的值为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{2}}$$
2、['抽象函数的应用']正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$不恒等于零，同时满足$$f ( x+y )=f ( x ) f ( y )，$$且当$${{x}{>}{0}}$$时$$， ~ f ( x ) > 2 0 2 4，$$那么当$${{x}{<}{0}}$$时，下列结论正确的为（）
D
A.$$- 1 < f ( x ) < 0$$
B.$$f ( x ) <-1$$
C.$$f ( x ) > 1$$
D.$$0 < f ( x ) < \frac{1} {2 0 2 4}$$
3、['抽象函数的应用'， '函数求值域'， '函数的奇偶性']正确率80.0%若函数$$y=f ( x )$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，且函数$$F ( x )=a f ( x )+b x+5$$在$$( 0，+\infty)$$上有最大值$${{1}{2}}$$，则函数$$y=F ( x )$$在$$(-\infty， 0 )$$上有$${{(}{)}}$$
A.最小值$${{−}{{1}{2}}}$$
B.最大值$${{−}{{1}{2}}}$$
C.最小值$${{−}{3}}$$
D.最小值$${{−}{2}}$$
4、['利用函数单调性解不等式'， '抽象函数的应用'， '函数单调性的判断']正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于直线$${{x}{=}{2}}$$对称，且$${{f}{(}{x}{)}}$$满足：对任意的$$x_{1}， x_{2} \in(-\infty， 2 ] ( x_{1} \neq x_{2} )$$都有$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} < 0，$$且$$f ( 4 ) \mathbf{=} 0$$，则关于$${{x}}$$不等式$$\frac{f ( x )} {x} < 0$$的解集是$${{(}{)}}$$
D
A.$$(-\infty， 0 ) \cup( 4，+\infty)$$
B.$$( 0， 2 ) \cup( 4，+\infty$$
C.$$( 0， 2 ) \cup( 2， 4 )$$
D.$$(-\infty， 0 ) \cup( 0， 4 )$$
5、['抽象函数的应用'， '函数的三要素'， '函数求定义域']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$${{[}{−}{1}}$$，$${{2}{]}}$$，则函数$$g ( x )=f \left( 2 x-\frac{3} {2} \right)$$的定义域为（）
A
A.$$\left[ \frac{1} {4}， \frac{7} {4} \right]$$
B.$$[ 1， \frac{7} {4} ]$$
C.$$[-1， \frac{1} {4} ]$$
D.$$\left[-1， \frac{7} {4} \right]$$
6、['函数奇偶性的应用'， '抽象函数的应用'， '函数的周期性'， '函数求值']正确率60.0%函数$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，且$$f \left( 1+x \right) ~=f \left( 1-x \right)$$，若$$f \ ( \textbf{1} ) \ =9$$，则$$f \left( \ 2 0 1 9 \right) ~=~ ($$）
A
A.$${{−}{9}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{0}}$$
7、['函数奇偶性的应用'， '抽象函数的应用'， '函数奇、偶性的定义']正确率40.0%若定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足：对任意$$x_{1}， x_{2} \in{\bf R}$$，都有$$f ( x_{1}+x_{2} )$$$$= f ( x_{1} )+f ( x_{2} )+a$$（$${{a}}$$为非零常数），则下列说法一定正确的是（）
D
A.$${{f}{(}{x}{)}}$$为偶函数
B.$${{f}{(}{x}{)}}$$为奇函数
C.$$y=f ( x )+a$$为偶函数
D.$$y=f ( x )+a$$为奇函数
8、['抽象函数的应用'， '函数的奇偶性']正确率80.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$${{R}}$$，且满足：$$f ( x )+f ( y )=2 f ( \frac{x+y} {2} ) f ( \frac{x-y} {2} )$$，$$f ( 1 )=-1$$，$$f ( 2 )=1$$，则$${{(}{)}}$$
A.$$f ( 3 )=1$$
B.$$f ( \frac{1} {2} )=1$$
C.$${{f}{(}{x}{)}}$$为偶函数
D.$${{f}{(}{x}{)}}$$为奇函数
9、['抽象函数的应用'， '函数求定义域']正确率60.0%函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的定义域是$$[ 2，+\infty)$$，则函数$$y=\frac{f ( 2 x )} {x-2}$$的定义域是$${{(}{)}}$$
C
A.$$[ 1，+\infty)$$
B.$$(-\infty， 1 ]$$
C.$$[ 1， 2 ) \cup( 2，+\infty)$$
D.$$[ 2，+\infty)$$
1. 奇函数 $$f(x)$$ 定义域为 $$R$$，且 $$f(x+1)$$ 为偶函数，$$f(1)=2$$。
由 $$f(x+1)$$ 为偶函数，得 $$f(x+1)=f(-x+1)$$。
令 $$x=0$$，得 $$f(1)=f(1)$$，成立。
令 $$x=1$$，得 $$f(2)=f(0)$$，而 $$f(x)$$ 为奇函数，$$f(0)=0$$，故 $$f(2)=0$$。
令 $$x=2$$，得 $$f(3)=f(-1)$$，由奇函数性质 $$f(-1)=-f(1)=-2$$，故 $$f(3)=-2$$。
令 $$x=3$$，得 $$f(4)=f(-2)$$，而 $$f(-2)=-f(2)=0$$，故 $$f(4)=0$$。
以此类推，函数值周期为 4：$$f(1)=2$$，$$f(2)=0$$，$$f(3)=-2$$，$$f(4)=0$$。
计算 $$f(2022)+f(2023)$$：
$$2022 \div 4 = 505 \times 4 + 2$$，余数为 2，对应 $$f(2)=0$$。
$$2023 \div 4 = 505 \times 4 + 3$$，余数为 3，对应 $$f(3)=-2$$。
故和为 $$0 + (-2) = -2$$。
答案：D
2. 函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(x+y)=f(x)f(y)$$，且当 $$x>0$$ 时 $$f(x)>2024$$。
令 $$x=y=0$$，得 $$f(0)=f(0)^2$$，故 $$f(0)=0$$ 或 $$f(0)=1$$。
若 $$f(0)=0$$，则对任意 $$x$$，$$f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0$$，与 $$f(x)$$ 不恒为零矛盾，故 $$f(0)=1$$。
令 $$y=-x$$，得 $$f(0)=f(x)f(-x)=1$$，即 $$f(-x)=\frac{1}{f(x)}$$。
当 $$x<0$$ 时，$$-x>0$$，故 $$f(-x)>2024$$，从而 $$f(x)=\frac{1}{f(-x)}<\frac{1}{2024}$$。
又 $$f(x)>0$$（因为若存在 $$f(x_0)<0$$，则 $$f(x_0/2)^2=f(x_0)<0$$，矛盾），故 $$0 答案：D
3. 奇函数 $$y=f(x)$$，且 $$F(x)=af(x)+bx+5$$ 在 $$(0,+\infty)$$ 上有最大值 12。
令 $$G(x)=af(x)+bx$$，则 $$F(x)=G(x)+5$$。
由于 $$f(x)$$ 为奇函数，$$G(-x)=af(-x)+b(-x)=-af(x)-bx=-G(x)$$，故 $$G(x)$$ 为奇函数。
$$F(x)$$ 在 $$(0,+\infty)$$ 上有最大值 12，即 $$G(x)$$ 在 $$(0,+\infty)$$ 上有最大值 $$12-5=7$$。
由奇函数性质，$$G(x)$$ 在 $$(-\infty,0)$$ 上有最小值 $$-7$$。
故 $$F(x)=G(x)+5$$ 在 $$(-\infty,0)$$ 上有最小值 $$-7+5=-2$$。
答案：D
4. 函数 $$f(x)$$ 关于 $$x=2$$ 对称，且在 $$(-\infty,2]$$ 上递减，$$f(4)=0$$。
由对称性，$$f(4)=f(0)=0$$。
在 $$(-\infty,2]$$ 上递减，故当 $$x<0$$ 时，$$f(x)>f(0)=0$$；当 $$0 由对称性，在 $$[2,+\infty)$$ 上递增，故当 $$2 解不等式 $$\frac{f(x)}{x}<0$$，即 $$f(x)$$ 与 $$x$$ 异号。 当 $$x>0$$ 时：若 $$0 当 $$x<0$$ 时：$$f(x)>0$$，而 $$x<0$$，故符合。 当 $$x=0$$ 时，分母为零，无意义。 故解集为 $$(-\infty,0) \cup (0,2) \cup (2,4)$$。 答案：C
5. 函数 $$f(x)$$ 定义域为 $$[-1,2]$$，求 $$g(x)=f(2x-\frac{3}{2})$$ 的定义域。
需满足 $$-1 \leq 2x - \frac{3}{2} \leq 2$$。
解不等式：$$-1 \leq 2x - \frac{3}{2}$$ 得 $$2x \geq \frac{1}{2}$$，即 $$x \geq \frac{1}{4}$$。
$$2x - \frac{3}{2} \leq 2$$ 得 $$2x \leq \frac{7}{2}$$，即 $$x \leq \frac{7}{4}$$。
故定义域为 $$\left[ \frac{1}{4}, \frac{7}{4} \right]$$。
答案：A
6. 奇函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(1+x)=f(1-x)$$，且 $$f(1)=9$$。
由 $$f(1+x)=f(1-x)$$，知函数关于 $$x=1$$ 对称。
又 $$f(x)$$ 为奇函数，故 $$f(1)=-f(-1)$$，即 $$f(-1)=-9$$。
由对称性，$$f(3)=f(-1)=-9$$。
进一步，$$f(5)=f(-3)=9$$，周期为 4。
计算 $$f(2019)$$：$$2019 \div 4 = 504 \times 4 + 3$$，余数为 3，故 $$f(2019)=f(3)=-9$$。
答案：A
7. 函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)+a$$，$$a \neq 0$$。
令 $$x_1=x_2=0$$，得 $$f(0)=f(0)+f(0)+a$$，即 $$f(0)=-a$$。
令 $$x_2=-x_1$$，得 $$f(0)=f(x_1)+f(-x_1)+a$$，即 $$-a=f(x_1)+f(-x_1)+a$$，故 $$f(x_1)+f(-x_1)=-2a$$。
考虑 $$y=f(x)+a$$，则 $$y(x)+y(-x)=[f(x)+a]+[f(-x)+a]=f(x)+f(-x)+2a=-2a+2a=0$$。
故 $$y(-x)=-y(x)$$，即 $$y=f(x)+a$$ 为奇函数。
答案：D
8. 函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(x)+f(y)=2f(\frac{x+y}{2})f(\frac{x-y}{2})$$，且 $$f(1)=-1$$，$$f(2)=1$$。
令 $$x=y=0$$，得 $$2f(0)=2f(0)^2$$，故 $$f(0)=0$$ 或 $$f(0)=1$$。
若 $$f(0)=0$$，令 $$y=x$$，得 $$2f(x)=2f(x)f(0)=0$$，即 $$f(x)=0$$，与 $$f(1)=-1$$ 矛盾，故 $$f(0)=1$$。
令 $$x=y=1$$，得 $$f(1)+f(1)=2f(1)f(0)$$，即 $$-2=2 \times (-1) \times 1 = -2$$，成立。
令 $$x=2$$，$$y=0$$，得 $$f(2)+f(0)=2f(1)f(1)$$，即 $$1+1=2 \times (-1) \times (-1)=2$$，成立。
令 $$y=-x$$，得 $$f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)=2f(x)$$，故 $$f(-x)=f(x)$$，即 $$f(x)$$ 为偶函数。
答案：C
9. 函数 $$f(x)$$ 定义域为 $$[2,+\infty)$$，求 $$y=\frac{f(2x)}{x-2}$$ 的定义域。
需满足 $$2x \geq 2$$，即 $$x \geq 1$$，且分母 $$x-2 \neq 0$$，即 $$x \neq 2$$。
故定义域为 $$[1,2) \cup (2,+\infty)$$。
答案：C